第1章1.1（二）.doc

明目标、知重点1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题1正弦定理的常见变形：(1)sin Asin Bsin Cabc；(2)2R；(3)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(4)sin A，sin B，sin C.2三角形面积公式的推广(1)Sabsin Cbcsin Acasin B.(2)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)情境导学我们应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时一解，有时两解，有时又无解，这究竟是怎么回事？探究点一三角形面积公式的拓展思考1ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？答habsin Ccsin B，hbcsin Aasin C，hcasin Bbsin A.思考2将思考1中得到的结论代入三角形面积公式Sah，可以推导出怎样的三角形面积公式？答Sabsin C，Sbcsin A，Sacsin B.例1在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且B30，c2，b2，求ABC的面积S.解由正弦定理得sin C.又cb，C60或C120.当C60时，A90，Sbc2；当C120时，A30，Sbcsin A.ABC的面积S为2或.反思与感悟求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误跟踪训练1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos A，a2，c，求角C和ABC的面积解在ABC中，cos A，sin A，且A为锐角，由得sin C.ca，0CA，C，ABC，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，SABCacsin B1.探究点二正弦定理在实际生活中的应用例2如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65，求山的高度BC.(精确到1 m)解过点D作DEAC交BC于E，因为DAC20，所以ADE160，于是ADB36016065135.又BAD352015，所以ABD30.在ABD中，由正弦定理，AB1 000(m)在RtABC中，BCABsin 351 000sin 35811(m)答山的高度约为811 m.反思与感悟运用正弦定理解决实际问题中与高度有关的问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解跟踪训练2一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔间的距离为_ km.答案30解析如图，由已知条件，得AC60 km，BAC30，ACB180(9015)105，ABC45.由正弦定理BC30(km)探究点三利用正弦定理判断三角形的形状例3在ABC中，已知，试判断ABC的形状解令k，由正弦定理，得：aksin A，bksin B，cksin C，代入已知条件，得，即tan Atan Btan C.又A，B，C(0，)，所以ABC，从而ABC为正三角形反思与感悟借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明等跟踪训练3已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，且a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得bcos Aacos B.由正弦定理得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0.A、B为ABC的内角，0A，0B，AB.AB0，即AB.故ABC为等腰三角形探究点四正弦定理在几何中的应用例4在ABC中，AD是BAC的平分线，如图所示，用正弦定理证明：.证明设BAD，BDA，CDA180.在ABD和ACD中分别运用正弦定理，得，又sin(180)sin ，所以，即.反思与感悟平面几何中的有关计算或证明问题常转化为三角形中的问题，然后灵活运用正弦定理和其它定理加以解决跟踪训练4如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45，求BD的长解在ABC中，AB5，AC9，BCA30.由正弦定理，得，sinABC.ADBC，BAD180ABC，于是sinBADsinABC.同理，在ABD中，AB5，sinBAD，ADB45，由正弦定理：，解得BD.故BD的长为.1在ABC中，AC，BC2，B60，则角C_.答案75解析由正弦定理得，sin A.BC2AC，A为锐角A45.C75.2在ABC中，若abc135，则_.答案解析由条件得，sin Asin C.同理可得sin Bsin C.3ABC中，AB，AC1，B30，求ABC的面积解由正弦定理得，sin C.0Cb，AB.B只有一解B45.7不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a5，b4，A120；(2)a9，b10，A60；(3)c50，b72，C135.解(1)sin Bsin 120，ab，B为锐角，所以三角形有一解(2)sin Bsin 60，而1，所以当B为锐角时，满足sin B的角有60B90，故对应的钝角B有90B120，也满足AB180，故三角形有两解(3)cb，C180，故三角形无解二、能力提升8在ABC中，则ABC的形状是_三角形答案等腰或直角解析在ABC中，acos Abcos B，由正弦定理，得2Rsin Acos A2Rsin Bcos B，sin 2Asin 2B.2A2B或2A2B180，AB或AB90.故ABC为等腰三角形或直角三角形9在ABC中，若tan A，C150，BC1，则AB_.答案解析tan A，A(0，180)，sin A.由正弦定理知，AB.10ABC中，A，BC3，则ABC的周长为_(用含B的三角函数式表示)答案6sin3解析在ABC中，由正弦定理得，化简得AC2sin B，化简得AB2sin，所以三角形的周长为3ACAB32sin B2sin33sin B3cos B6sin3.11如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，求A、B两点的距离解由题意知ABC30，由正弦定理，AB50(m)故A、B两点的距离为50 m.12在ABC中，已知c10，求a、b及ABC的内切圆半径解由正弦定理知，.即sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.又ab，2A2B，即AB.ABC是直角三角形，且C9