极限定义在高等数学中的应用.doc

韩 山 师 范 学 院学 生 毕 业 论 文（2008届）题目（中文） 极限定义在高等数学中的应用 （英文） The Application of Limit Definition in Higher Mathematics 系别： 数学与信息技术系 专业： 数学与应用数学 班级： 20041111 姓名： 林 晓 鹏 学号: 2004111137 指导教师： 林齐平 讲师 韩山师范学院教务处制诚 信 声 明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。毕业论文作者签名： 签名日期： 年 月 日摘要极限概念是微积分学中最重要，最基本的概念。掌握好利用定义证明函数极限是学好高等数学的基础。极限有数列极限，函数极限，多元函数极限等几类，本文直接或间接地用极限定义来证明一些我们经常见到高等数学问题。关键词：极限；极限定义；数列极限；函数极限AbstractThe definition of the limit is the most important and basic concept in the infinitesimal calculus. Mastering the ways of using the definition to probe the limit of function lays a foundation for studying the higher mathematics well. There are the limit of series, limit of function and functional limit of several variables and so on. In this paper, the definition of the limit is used directly or indirectly to prove some common problems of higher mathematics.Keywords: limit, definition of limit, limit of series, limit of function目 录1.数列极限(1)1.1 适当放大法(1)1.2 分步法(2)2.函数极限(2)3.一元函数极限(3)3.1 限制法(4)4.左、右函数极限(4)5.二元函数极限(5)5.1 放缩法(7)参考文献(9)致 谢(10)极限定义在高等数学中的应用 在高等数学中我们经常见到很多证明问题可以直接或间接用极限定义来证明，极限定义本身很优美，在利用它证明其他问题的时候会起到很好的效果，能使整个证明过程简洁优美起来，参看文献1，2，3，4，5，6，7，8极限有数列极限，函数极限，多元函数极限等几类，我们在每个不同类型的极限中都先列出定义，然后试图把每一类的不同应用整理出来1、数列极限数列极限定义: 设是一个数列，是一个确定的数，若对任给的正数，总存在正整数，使得当时，都有，则称数列收敛于，称为它的极限，并记作 或 .数列极限的“”定义中含有和，其中是预先给定的，关键是求出，而的取值一般是由决定的，有时记作.定义中的常数具有二重性即具有很小正数的固定性，又具有随意小的任意性3当固定时，逼近的程也就确定了；当不定时，任意小时，逼近的无限性也就刻画出来了一般地来说，越小就越大由于是通过求得的，因而对应的不是唯一的，关键是找出存在的，一旦合乎定义的找到了，用比它大的任何自然数来代替均可，但要找到存在的不是那么容易的，下面介绍一些技巧：1.1 适当放大法有时不等式比较复杂，不便解出，于是可将绝对值不等式适当放大,转化为的形式,然后在放大化简的不等式的基础上再讨论极限证明问题这样可把问题简化，例 1. 证明证明：用适当放大法估计不等式当时，都有.1.2 分步法有时为了解题的方便，要对n作某些限制，使更容易简化，于是先假定(是某个常数)，然后放大，再解不等式，求出.令则时，有.例2设,证明证明4 :因为，于是，, 当时，当固定，取 充分大，当时， ，于是当时，即.2、函数极限函数极限定义: 设为定义在,+)上的函数,是一个定数,若对任给正数,存在正数,使得适合时有， 则称函数当趋于以为极限，记作 或 . 函数趋于的极限定义与数列 的极限定义很相似.因为它们的自变数的变化趋势相同(与)，只不过自变数的变化形态不同.函数的自变数取区间,)的一切实数，续地增大；而数列 的自变数只取一切正整数，离散地无限增大证明数列极限关键是找正整数，证明函数极限关键是找到正数.例3. 证明证明:（限定），要使不等式成立.解得.取.于是，有，即有时，极限不一定存在，这种情况，我们可以用反证法,反证法的根本思想也是利用极限定义，用此类方法从另一个侧面也加深了我们对极限定义的认识和理解，同时可以把复杂的问题简单化.例4. 证明不存在.1证明（反证法）:若，因,知=0，从而，.但，取极限0,矛盾.3、一元函数极限一元函数极限定义: 设函数在点的某个空心领域内有定义, 是定数，若对任给的,存在正数 (),使得当时有,则称函数当趋于时以A为极限，记作 或 .函数极限是数列极限的推广，数列极限是函数极限的特殊情形（自变量取自然数的情形）5.两者都是关于自变量的极限，只是数列极限中的因变量，在函数极限中用另一种表达方式，函数极限中的一般也依赖于，一般来说，愈小，也相应地要小一些.数列极限是研究趋于无穷过程中数列值的变化趋势，而函数极限是研究当过程中函数值的变化趋势.所以数列极限和函数极限有相通性，解决函数极限问题关键是找出具有可变性的，一旦找到了，就可以用任意比它小的正数代替.3.1 限制法例5 证明2证明：当时有,若限制于（此时）则. 于是，对任给的，只要取，则当时便有 .注：解题时，要注意对-1的限制，如果不限制，那么题中就变成了，也就是，但这是不充许的，因为我们要求所求的只和，有关.因此需要限制，且要适当.如上例中的限制，对所做的限制是为了简化解题做服务，上例中是为了使分母，便于放大从而有，但如果限制，由于不一定，所以达不到放大的效果.4、左、右函数极限（左、右）极限定义：设函数在（）内有定义，为定数.若对任给的，存在正数，使得当（）时有，则称为函数当趋于时的右（左）极限，记作 （）. 例6 设证明6（1）； （2）证明： （1），（限定），要使不等式 成立解得，取。于是，有，即 （2），（限定），要使不等式 成立.解得。取.于是，有，即 函数趋近于的左极限和右极限与函数趋近于的极限，有着一定的联系.如果函数趋近于左极限等于右极限，则函数趋近于的极限存在，且等于左右极限.否则函数趋近于的极限不存在.如上例中，则函数在0的邻域不存在极限.5、二元函数极限二元函数极限定义： 设f为定义在上的二元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数.若对任给正数，总存在某正数，使得当时，都有，则称在上当时，以为极限，记作.当，分别用坐标，表示时也可写作.二重极限是指点在函数的定义域内以任意方式趋近于点时，都趋近于确定的常数.这里要强调点的邻域以“任意方式”趋近于点这一点.这个邻域可以是圆，矩形或更复杂的形式，可以说是“全面包围”，在做题时应注意.例7依定义验证.2证明： 因为 .先限制在点（2,1）的1的方邻域满足，于是有，。所以,.设为任给的正数，取，则当， 时，就有.即如果，当以x轴或y轴的方式趋向于时，能趋向于一个确定的常数A，也不能说函数极限是.例如函数在坐标原点附近的情形，由于对任何，有，从而有，同样也有. 以. 点（0,0）的任何邻域包含有的点也包含有这样的点，我们易证明不存在.但是如果以某两种方式趋近于时，不能趋向于同一个数，那我们倒可以说时，肯定不会有极限.5.1 放缩法例8用定义证明.证明: 因为 所以 于是对当有,即.本例是用放缩法证明的.通过放大，然后对分母的缩小从而使问题简化但放缩的时候要注意不能改变其定义域如上例证: 因为， 于是对当有即. 上面是错误的证明，因为其忽略了函数的定义域，尽管利用不等式能求出极限为0，但不等式两端的函数的定义域不同，左端 面右端为 ，所以此不等式改变了原函数的定义域所以在用放缩法的时候要多加注意其定义域的一致性参考文献1 裴礼文编.数学分析中的典型问题与方法M.高等教育出版社.2005.12 华东师范大学数学系编. 数学分析M.第三版.高等教育出版社.2004.13 明清河著. 数学分析的思想与方法M. 山东大学出版社.2004.74 吴良森. 数学分析学习指导书M. 北京：高等教育出版社.20045 朱时编著. 数学分析札记M. 贵州教育出版社.1994.26 欧阳光中，姚允龙，周渊编.数学分析（上册）M.上海，复旦大学出版社.2002.47