高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 正弦定理、余弦定理课件.ppt

第三章三角函数 解三角形 3 7正弦定理 余弦定理 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 审题路线图系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 正弦定理 余弦定理在 abc中 若角a b c所对的边分别是a b c r为 abc外接圆半径 则 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 知识梳理 1 答案 2rsinb 2rsinc sina sinb sinc 答案 3 在 abc中 已知a b和a时 解的情况如下 在 abc中 常有以下结论 1 a b c 2 在三角形中大边对大角 大角对大边 3 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 5 tana tanb tanc tana tanb tanc 6 a b a b sina sinb cosa cosb 知识拓展 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 2 在 abc中 若sina sinb 则a b 3 在 abc的六个元素中 已知任意三个元素可求其他元素 4 当b2 c2 a2 0时 三角形abc为锐角三角形 当b2 c2 a2 0时 三角形为直角三角形 当b2 c2 a2 0时 三角形为钝角三角形 5 在三角形中 已知两边和一角就能求三角形的面积 思考辨析 答案 考点自测 2 d 1 2 3 4 5 解析答案 1 1 2 3 4 5 解析答案 abc的面积等于 1 2 3 4 5 解析答案 4 abc中 若bcosc ccosb asina 则 abc的形状为 三角形 解析由已知得sinbcosc cosbsinc sin2a sin b c sin2a sina sin2a 又sina 0 abc为直角三角形 直角 1 2 3 4 5 解析答案 解析由正弦定理知 sina sin b c sinbcosc cosbsinc 返回 1 2 3 4 5 解析答案 题型分类深度剖析 a 1个b 2个c 0个d 无法确定 bsina a b 满足条件的三角形有2个 b 利用正弦定理 余弦定理解三角形 题型一 解析答案 45 30 105 即2b2 b2 c2 2bccosa 解析答案 解得b 1 1 解析答案 思维升华 1 判断三角形解的个数的两种方法 代数法 根据大边对大角的性质 三角形内角和公式 正弦函数的值域等判断 几何图形法 根据条件画出图形 通过图形直观判断解的个数 2 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形 可用正弦定理 也可用余弦定理 用正弦定理时 需判断其解的个数 用余弦定理时 可根据一元二次方程根的情况判断解的个数 思维升华 1 已知在 abc中 a x b 2 b 45 若三角形有两解 则x的取值范围是 解析若三角形有两解 则必有a b x 2 c 跟踪训练1 解析答案 设ab x 由余弦定理 得bc2 ac2 ab2 2ac abcosa 化简得x2 2x 1 0 x 1 即ab 1 1 解析答案 和三角形面积有关的问题 题型二 解析答案 所以 cos2b sin2c sin2c 2sinccosc 由 解得tanc 2 2 若 abc的面积为3 求b的值 解析答案 思维升华 思维升华 跟踪训练2 解析答案 又 b2 a2 c2 2accosb 即a2 c2 8 由 联立解得a c 2 解析答案 正弦 余弦定理的简单应用 题型三 解析答案 即sinc0 于是有cosb 0 b为钝角 所以 abc是钝角三角形 答案a a 等边三角形b 直角三角形c 等腰三角形或直角三角形d 等腰直角三角形 解析答案 1 cosb c a c 2a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 abc为直角三角形 答案b 命题点2求解几何计算问题 例4 2015 课标全国 如图 在 abc中 d是bc上的点 ad平分 bac abd面积是 adc面积的2倍 因为s abd 2s adc bad cad 所以ab 2ac 解析答案 解因为s abd s adc bd dc 在 abd和 adc中 由余弦定理 知ab2 ad2 bd2 2ad bdcos adb ac2 ad2 dc2 2ad dccos adc 故ab2 2ac2 3ad2 bd2 2dc2 6 由 1 知ab 2ac 所以ac 1 解析答案 思维升华 1 判断三角形形状的方法 化边 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 化角 通过三角恒等变形 得出内角的关系 从而判断三角形的形状 此时要注意应用a b c 这个结论 2 求解几何计算问题要注意 根据已知的边角画出图形并在图中标示 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 思维升华 1 在 abc中 内角a b c所对的边长分别是a b c 若c acosb 2a b cosa 则 abc的形状为 a 等腰三角形b 直角三角形c 等腰直角三角形d 等腰或直角三角形 跟踪训练3 解析答案 解析 c acosb 2a b cosa c a b 由正弦定理得sinc sinacosb 2sinacosa sinbcosa sinacosb cosasinb sinacosb 2sinacosa sinbcosa cosa sinb sina 0 cosa 0或sinb sina abc为等腰或直角三角形 答案d bd2 ab2 ad2 2ab adcos bad 返回 解析答案 审题路线图系列 审题路线图系列 二审结论会转换 规范解答 温馨提醒 审题路线图 返回 审题路线图 规范解答 温馨提醒 规范解答 规范解答 温馨提醒 温馨提醒 1 本题将正弦定理 余弦定理和和差公式综合进行考查 具有一定的综合性 要求考生对公式要熟练记忆 通过审题理清解题方向 2 本题还考查考生的基本运算求解能力 要求计算准确无误 尽量简化计算过程 减少错误 温馨提醒 返回 思想方法感悟提高 2 解题中要灵活使用正弦定理 余弦定理进行边 角的互化 一般要只含角或只含边 方法与技巧 1 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角 进而求出其他的边和角时 有时可能出现一解 两解 所以要进行分类讨论 2 在解三角形或判断三角形形状时 要注意三角函数值的符号和角的范围 防止出现增解 漏解 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 解析答案 解析因为3sina 5sinb 所以由正弦定理可得3a 5b 令a 5 b 3 c 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则由余弦定理c2 a2 b2 2abcosc 得49 25 9 2 3 5cosc a 解析答案 3 若 abc的三个内角满足sina sinb sinc 5 11 13 则 abc a 一定是锐角三角形b 一定是直角三角形c 一定是钝角三角形d 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 可设a 5x b 11x c 13x x 0 c为钝角 abc为钝角三角形 答案c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 c2 a b 2 6 c2 a2 b2 2ab 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案c 由 得 ab 6 0 即ab 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即a2 c2 b2 ac c 解析答案 解析由sina sinbcosc 得sin b c sinbcosc 得sinbcosc cosbsinc sinbcosc 得cosbsinc 0 显然sinc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 又b c 2 b2 2bc c2 4 b2 c2 52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosa 8 解析答案 8 已知a b c分别为 abc三个内角a b c的对边 a 2 且 2 b sina sinb c b sinc 则 abc面积的最大值为 解析由正弦定理 可得 2 b a b c b c a 2 a2 b2 c2 bc 即b2 c2 a2 bc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由b2 c2 bc 4 得b2 c2 4 bc b2 c2 2bc 即4 bc 2bc bc 4 解析答案 解由正弦定理得到 sinbcosa sinacosb 3 sinbcosc cosbsinc 即sin a b 3sin b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 abc的周长a b c 14 b 14 4a 解得a 2 a 14舍去 则b 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 因为sinc sinb 所以c b 可知c为锐角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因此sina sin b c sinbcosc cosbsinc 解析设ab c 则由ac2 ab2 bc2 2ab bc cosb知7 c2 4 2c 即c2 2c 3 0 c 3 负值舍去 b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 即3cos a b 5cosc 0 所以3cos a b 5cos a b 0 所以3cosacosb 3sinasinb 5cosacosb 5sinasinb 0 即cosacosb 4sinasinb 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 b 解析答案 所以 adb 45 从而 bad 15 dac 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以c 180 120 30 30 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 ab 2sinc bc 2sina 又a c 120 ab 2bc 2sinc 4sin 120 c 2 sinc 2sin120 cosc 2cos120 sinc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由于0 c 120 且 是第一象限角