高中数学 第一章立体几何初步 1.4.1 空间图形的基本关系与公理课件 北师大版必修2.ppt

4空间图形的基本关系与公理 第1课时空间图形的基本关系与公理 1 空间点与直线 点与平面的位置关系 2 空间直线与平面的位置关系 做一做1如图点 直线 平面的关系如下 则o ab ab 答案 o 3 空间图形的公理 做一做2下列说法正确的是 a 三点确定一个平面b 四边形一定是平面图形c 三角形一定是平面图形d 平面 和平面 有不同在一条直线上的三个交点解析 本题考查平面的基本知识 a选项 当三点共线时有无数多个平面 b选项 四边形有空间四边形与平面四边形之分 c选项 三角形的三个顶点不共线 根据公理1可知此三个顶点确定一个平面 d选项 若具有这个条件 则 与 重合 故选c 答案 c 解 1 a b c ab 2 因为a b 所以ab 又因为c ab 所以c 4 空间平面与平面的位置关系 除重合外 5 空间两条直线的位置关系 做一做4已知a b是异面直线 直线c a 则c与b a 一定是异面直线b 一定是相交直线c 不可能是平行直线d 不可能是相交直线解析 若a b异面 c a 则c与b相交或异面 故c正确 答案 c 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 如果直线a与直线b是异面直线 直线b与直线c也是异面直线 那么直线a与直线c也一定是异面直线 2 如果两个平面有三个公共点 那么这两个平面必重合 3 平面 与平面 会只有一个公共点 4 不共线的四点最多可确定4个平面 5 两两相交的三条直线必共面 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 探究一空间点 线 面位置关系的语言转换 例1 用符号语言表示下列语句 并画成图形 1 直线l经过平面 内两点a b 2 直线l在平面 外 且过平面 内一点p 3 直线l在平面 内 又在平面 内 4 直线l是平面 与 的交线 平面 内有一条直线m与l平行 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 解 1 a b a l b l 2 l p l p 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 3 l l 4 l m m l 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 变式训练1根据下列符号表示的语句 说明点 线 面之间的位置关系 并画出相应的图形 1 a b 2 l m a a l 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 解 1 点a在平面 内 点b不在平面 内 如图所示 2 直线l在平面 内 直线m与平面 相交于点a 且点a不在直线l上 如图所示 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 探究二公理1的应用 例2 证明 两两相交且不共点的三条直线在同一平面内 探究四 证明 如图所示 已知l1 l2 a l2 l3 b l1 l3 c 方法一 同一法 l1 l2 a l1和l2确定一个平面 l2 l3 b b l2 又l2 b 同理可证c 又b l3 c l3 l3 直线l1 l2 l3在同一平面内 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 探究四 方法二 重合法 l1 l2 a l1 l2确定一个平面 l2 l3 b l2 l3确定一个平面 a l2 l2 a a l2 l2 a 同理可证b b c c 不共线的三个点a b c既在平面 内 又在平面 内 平面 和 重合 即直线l1 l2 l3在同一平面内 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 变式训练2若a b c d四点共面 b c d e四点也共面 则a b c d e五点的位置关系是 a 共面b 不共面c 共线d 不确定 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 解析 已知条件中都有b c d三点共面 但是b c d三点也可能共线 所以要分情况讨论 当b c d三点共线时 这五点共线 共面的情况有三种 第一种情况 这五点共线 第二种情况 这五个点在同一个平面内 即共面 第三种情况 这五个点不共面 如图所示 当b c d三点不共线时 这三点确定唯一一个平面 所以当a b c d共面时 a 又b c d e共面 所以e 所以这五点共面于平面 从而这五点共线 共面情况不确定 故选d 答案 d 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 探究三公理2的应用 例3 如图所示 在正方体abcd a b c d 中 m n分别是所在棱的中点 连接d m并延长 交c b 的延长线于点e 连接c n并延长 交cb的延长线于点f 求证 直线ef 平面bcc b 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 分析 要证明直线在平面内 需说明直线上有两个点在这个平面内 证明 b 平面bcc b c 平面bcc b 直线bc 平面bcc b 又c n cb f f cb f 平面bcc b 同理可得e 平面bcc b 直线ef 平面bcc b 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 变式训练3若l1 l2 l3与l1 l2分别相交于点c b 求证 l1 l2 l3在同一平面内 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 证明 l1 l2 l1 l2确定一个平面记为 l1 l3 c c l1 l1 c l2 l3 b b l2 l2 b b l3 c l3 l3 即l1 l2 l3在同一平面内 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 探究四公理3的应用 例4 如图所示 在棱长均相等的正三棱锥a bcd中 e g分别为bc ab的中点 点f在cd上 点h在ad上 且有df fc dh ha 2 3 求证 ef gh bd交于一点 分析 先证明gh和ef共面且交于一点o 然后说明o是平面abd和平面bcd的公共点 而平面abd和平面bcd相交于直线bd 根据公理3 两个平面相交 有且只有一条交线 因此点o在交线上 即点o在直线bd上 从而证明了直线ef gh bd都过点o 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 证明 因为e g分别为bc ab的中点 所以ge ac ge ac 又df fc dh ha 2 3 所以fh ac fh ac 所以fh ge fh ge 所以四边形efhg是一个梯形 设gh与ef相交于点o 则o在平面abd内 又在平面bcd内 所以o在平面abd与平面bcd的交线上 而这两个平面的交线是bd 且交线只有一条 所以点o在直线bd上 所以ef gh bd交于一点 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 变式训练4如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 a1c与平面bdc1交于点m bd与ac交于点o 则 a m bc1b m dc1c m c1od m b1b 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 解析 因为m a1c a1c 平面a1acc1 所以m 平面a1acc1 因为m 平面bdc1 且平面a1acc1 平面bdc1 c1o 所以m c1o 故选c 答案 c 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 探究五公理4的应用 例5 如图所示 点p是 abc所在平面外一点 点d e分别是 pab和 pbc的重心 求证de ac de ac 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 证明 如图所示 连接pd pe 并延长分别交ab bc于点m n 因为点d e分别是 pab pbc的重心 所以m n分别是ab bc的中点 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 变式训练5如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别为棱a1a c1c的中点 求证 四边形mbnd1为平行四边形 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 证明 取b1b的中点p 连接c1p mp 因为n为c1c的中点 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 对点 线 面的位置关系考虑不全而致误典例空间四点中 如果任意三点都不共线 那么由这四点可以确定多少个平面 说明理由 错解 因为不共线的三点确定一个平面 所以由题设条件中的四点可确定四个平面 正解 空间任意三点都不共线的四个点有两种位置关系 第一种 当由其中任意不共线的三点所确定的平面都过第四个点时 由这四个点只能确定一个平面 第二种 当由其中任意不共线的三点所确定的平面都不过第四个点时 由这四个点可确定四个平面 综上所述 由题设条件中的四点可确定一个或四个平面 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 变式训练有空间不同的五个点 1 若有某四点共面 则这五点最多可确定多少个平面 2 若任意四点都在同一平面内 则这五点共能确定多少个平面 并证明你的结论 探究四 探究一 探究二 探究三 探究五 易错辨析 解 1 当共面的四点任意三点不共线 另一点不在该平面内时 这五点确定的平面最多 如图所示 最多可确定5个平面 2 若任意四点都在同一平面内 这五点必共面 证明如下 若a b c d四点在平面 内 又a b c p在同一平面内 可分如下情况证明 若a b c三点不共线 则平面 为a b c确定的平面 所以点p在平面内 故五点共面 若a b c三点在直线l上 则当点d或p也在l上时 五点共面 若点d p都不在l上 则直线dp与直线ab必在a b d p所在的平面内 点c也在这一平面内 从而五点也共面 探究四 123456 1 如图所示 该图形用符号语言可表示为 a m n m n ab m n m n ac m n a m a nd m n a m a n答案 a 123456 2 有下列四种说法 过三个点确定一个平面 矩形是平面图形 三条直线两两相交 则它们确定一个平面 两个相交平面把空间分成四个区域 其中错误的序号是 a 和 b 和 c 和 d 和 解析 只有不共线的三点才能确定一个平面 故 错 三条直线两两相交 交于三点时 确定一个平面 交于一点时 可确定一个或三个平面 故 错 选b 答案 b 123456 123456 3 在空间四边形abcd中 e f分别为ab ad上的点 且ae eb af fd 1 4 又h g分别为bc cd的中点 则 a bd 平面efgh 且四边形efgh是矩形b ef 平面bcd 且四边形efgh是梯形c hg 平面abd 且四边形efgh是菱形d eh 平面adc 且四边形efgh是平行四边形 123456 123456 4 设平面 与平面 相交于直线l a b 且直线ab l c 则直线ab 答案 c 123456 5 如图所示 l 在梯形abcd中 ad bc 且ab cd 求证 ab cd l共点 相交于一点 123456 证明 如图所示 在梯形abcd中 设ab cd e 因为ab cd 所以e e 又 l 所以e l 即ab cd l共点 相交于一点 123