高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.3 直线、平面平行的判定与性质课件 文.ppt

第八章立体几何 8 3直线 平面平行的判定与性质 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 答题模板系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 直线与平面平行的判定与性质 a a b a b a a a b a a b 知识梳理 1 答案 2 面面平行的判定与性质 a b a b p a b a b 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若一条直线平行于一个平面内的一条直线 则这条直线平行于这个平面 2 若一条直线平行于一个平面 则这条直线平行于这个平面内的任一条直线 3 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 思考辨析 答案 4 如果两个平面平行 那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 5 若直线a与平面 内无数条直线平行 则a 6 空间四边形abcd中 e f分别是ab ad的中点 则ef 平面bcd 7 若 直线a 则a 答案 1 若直线l不平行于平面 且l 则下列说法正确的是 内的所有直线与l异面 内不存在与l平行的直线 内存在唯一的直线与l平行 内的直线与l都相交 解析由题意知 直线l与平面 相交 则直线l与平面 内的直线只有相交和异面两种位置关系 因而只有 是正确的 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 设 是三个不同的平面 m n是两条不同的直线 在命题 m n 且 则m n 中的横线处填入下列三组条件中的一组 使该命题为真命题 n m n n m 可以填入的条件有 解析由面面平行的性质定理可知 正确 当n m 时 n和m在同一平面内 且没有公共点 所以平行 正确 或 解析答案 1 2 3 4 5 3 下列命题中正确的是 若a b是两条直线 且a b 那么a平行于经过b的任何平面 若直线a和平面 满足a 那么a与 内的任何直线平行 平行于同一条直线的两个平面平行 若直线a b和平面 满足a b a b 则b 解析 中 a可以在过b的平面内 中 a与 内的直线可能异面 中 两平面可相交 中 由直线与平面平行的判定定理知 b 正确 解析答案 1 2 3 4 5 4 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 e为dd1的中点 则bd1与平面aec的位置关系为 平行 解析如图 连结bd 设bd ac o 连结eo 在 bdd1中 o为bd的中点 所以eo为 bdd1的中位线 则bd1 eo 而bd1 平面ace eo 平面ace 所以bd1 平面ace 解析答案 1 2 3 4 5 5 过三棱柱abc a1b1c1任意两条棱的中点作直线 其中与平面abb1a1平行的直线共有 条 解析各中点连线如图 只有面efgh与面abb1a1平行 在四边形efgh中有6条符合题意 6 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1如图 四棱锥p abcd中 ad bc ab bc ad e f h分别为线段ad pc cd的中点 ac与be交于o点 g是线段of上一点 1 求证 ap 平面bef 命题点1直线与平面平行的判定 题型一直线与平面平行的判定与性质 解析答案 bc綊ae 四边形abce是平行四边形 o为ac的中点 又 f是pc的中点 fo ap fo 平面bef ap 平面bef ap 平面bef 证明连结ec 2 求证 gh 平面pad 证明连结fh oh f h分别是pc cd的中点 fh pd fh 平面pad 又 o是be的中点 h是cd的中点 oh ad oh 平面pad 又fh oh h 平面ohf 平面pad 又 gh 平面ohf gh 平面pad 解析答案 命题点2直线与平面平行性质定理的应用 1 证明 gh ef 证明因为bc 平面gefh bc 平面pbc 且平面pbc 平面gefh gh 所以gh bc 同理可证ef bc 因此gh ef 解析答案 2 若eb 2 求四边形gefh的面积 解析答案 思维升华 解如图 连结ac bd交于点o bd交ef于点k 连结op gk 因为pa pc o是ac的中点 所以po ac 同理可得po bd 又bd ac o 且ac bd都在底面内 所以po 底面abcd 又因为平面gefh 平面abcd 且po 平面gefh 所以po 平面gefh 解析答案 思维升华 因为平面pbd 平面gefh gk 所以po gk 且gk 底面abcd 从而gk ef 所以gk是梯形gefh的高 由ab 8 eb 2得eb ab kb db 1 4 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 1 利用线面平行的定义 无公共点 2 利用线面平行的判定定理 a b a b a 3 利用面面平行的性质定理 a a 4 利用面面平行的性质 a a a 1 如图所示 在四棱锥p abcd中 abc acd 90 bac cad 60 e为pd的中点 ab 1 求证 ce 平面pab 跟踪训练1 解析答案 nac dac 60 ac cd c为nd的中点 又 e为pd的中点 ec pn ec 平面pab pn 平面pab ce 平面pab 如图所示 延长dc ab 设其交于点n 连结pn 2 如图所示 cd ab均与平面efgh平行 e f g h分别在bd bc ac ad上 且cd ab 求证 四边形efgh是矩形 证明 cd 平面efgh 而平面efgh 平面bcd ef cd ef 同理hg cd he ab且gf ab ef hg 同理he gf 四边形efgh为平行四边形 cd ef he ab hef为异面直线cd和ab所成的角 又 cd ab he ef 平行四边形efgh为矩形 解析答案 例3如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 e f g h分别是ab ac a1b1 a1c1的中点 求证 1 b c h g四点共面 证明 g h分别是a1b1 a1c1的中点 gh是 a1b1c1的中位线 gh b1c1 又 b1c1 bc gh bc b c h g四点共面 题型二平面与平面平行的判定与性质 解析答案 2 平面efa1 平面bchg 证明 e f分别是ab ac的中点 ef bc ef 平面bchg bc 平面bchg ef 平面bchg a1g綊eb 四边形a1ebg是平行四边形 a1e gb a1e 平面bchg gb 平面bchg a1e 平面bchg a1e ef e 平面efa1 平面bchg 解析答案 引申探究1 在本例条件下 若d为bc1的中点 求证 hd 平面a1b1ba 证明如图所示 连结hd a1b d为bc1的中点 h为a1c1的中点 hd a1b 又hd 平面a1b1ba a1b 平面a1b1ba hd 平面a1b1ba 解析答案 2 在本例条件下 若d1 d分别为b1c1 bc的中点 求证 平面a1bd1 平面ac1d 解析答案 思维升华 证明如图所示 连结a1c交ac1于点m 四边形a1acc1是平行四边形 m是a1c的中点 连结md d为bc的中点 a1b dm a1b 平面a1bd1 dm 平面a1bd1 解析答案 思维升华 dm 平面a1bd1 又由三棱柱的性质知 d1c1綊bd 四边形bdc1d1为平行四边形 dc1 bd1 又dc1 平面a1bd1 bd1 平面a1bd1 dc1 平面a1bd1 又 dc1 dm d dc1 dm 平面ac1d 平面a1bd1 平面ac1d 思维升华 思维升华 证明面面平行的方法 1 面面平行的定义 2 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 3 利用垂直于同一条直线的两个平面平行 4 两个平面同时平行于第三个平面 那么这两个平面平行 5 利用 线线平行 线面平行 面面平行 的相互转化 如图 在三棱锥s abc中 as ab 过a作af sb 垂足为f 点e g分别是棱sa sc的中点 求证 平面efg 平面abc 证明因为as ab af sb 所以f是sb的中点 又因为e是sa的中点 所以ef ab 又ef 平面abc ab 平面abc 所以ef 平面abc 同理eg 平面abc 又ef eg e 所以平面efg 平面abc 跟踪训练2 解析答案 例4如图所示 在四面体abcd中 截面efgh平行于对棱ab和cd 试问截面在什么位置时其截面面积最大 题型三平行关系的综合应用 解析答案 思维升华 解 ab 平面efgh 平面efgh与平面abc和平面abd分别交于fg eh ab fg ab eh fg eh 同理可证ef gh 截面efgh是平行四边形 设ab a cd b fgh 即为异面直线ab和cd所成的角或其补角 又设fg x gh y 解析答案 思维升华 s efgh fg gh sin x 0 a x 0且x a x a为定值 解析答案 思维升华 即当截面efgh的顶点e f g h为棱ad ac bc bd的中点时截面面积最大 思维升华 思维升华 利用线面平行的性质 可以实现与线线平行的转化 尤其在截面图的画法中 常用来确定交线的位置 对于最值问题 常用函数思想来解决 如图所示 四棱锥p abcd的底面是边长为a的正方形 侧棱pa 底面abcd 在侧面pbc内 有be pc于e 且be a 试在ab上找一点f 使ef 平面pad 跟踪训练3 解析答案 返回 解如图所示 在平面pcd内 过e作eg cd交pd于g 连结ag 在ab上取点f 使af eg eg cd af eg af 四边形fega为平行四边形 fe ag 解析答案 又ag 平面pad fe 平面pad ef 平面pad f即为所求的点 又pa 面abcd pa bc 又bc ab bc 面pab pb bc pc2 bc2 pb2 bc2 ab2 pa2 解析答案 故点f是ab上靠近b点的一个三等分点 返回 答题模板系列 典例 14分 如图 在四棱锥s abcd中 已知底面abcd为直角梯形 其中ad bc bad 90 sa 底面abcd sa ab bc 2 tan sda 1 求四棱锥s abcd的体积 答题模板系列 5 立体几何中的探索性问题 温馨提醒 解析答案 返回 答题模板 ad 3 2分 由题意知四棱锥s abcd的底面为直角梯形 且sa ab bc 2 规范解答 2 在棱sd上找一点e 使ce 平面sab 并证明 解当点e位于棱sd上靠近d的三等分点处时 可使ce 平面sab 8分 证明如下 取sd上靠近d的三等分点为e 取sa上靠近a的三等分点为f 连结ce ef bf bc綊ef ce bf 12分 又 bf 平面sab ce 平面sab ce 平面sab 14分 温馨提醒 答题模板 解析答案 答题模板 解决立体几何中的探索性问题的步骤第一步 写出探求的最后结论 第二步 证明探求结论的正确性 第三步 给出明确答案 第四步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范 温馨提醒 温馨提醒 1 立体几何中的探索性问题主要是对平行 垂直关系的探究 对条件和结论不完备的开放性问题的探究 解决这类问题一般根据探索性问题的设问 假设其存在并探索出结论 然后在这个假设下进行推理论证 若得到合乎情理的结论就肯定假设 若得到矛盾的结论就否定假设 2 这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤 从结论出发 要使 成立 只需使 成立 返回 思想方法感悟提高 1 平行问题的转化关系2 直线与平面平行的主要判定方法 1 定义法 2 判定定理 3 面与面平行的性质 3 平面与平面平行的主要判定方法 1 定义法 2 判定定理 3 推论 4 a a 方法与技巧 1 在推证线面平行时 一定要强调直线不在平面内 否则会出现错误 2 在解决线面 面面平行的判定时 一般遵循从 低维 到 高维 的转化 即从 线线平行 到 线面平行 再到 面面平行 而在应用性质定理时 其顺序恰好相反 但也要注意 转化的方向总是由题目的具体条件而定 决不可过于 模式化 3 解题中注意符号语言的规范应用 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 平面 平面 点a c b d 则直线ac 直线bd的充要条件是 ab cd ad cb ab与cd相交 a b c d四点共面 解析充分性 a b c d四点共面 由平面与平面平行的性质知ac bd 必要性显然成立 15 解析答案 2 2015 安徽改编 已知m n是两条不同直线 是两个不同平面 则下列命题正确的是 若 垂直于同一平面 则 与 平行 若m n平行于同一平面 则m与n平行 若 不平行 则在 内不存在与 平行的直线 若m n不平行 则m与n不可能垂直于同一平面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析对于 垂直于同一平面 关系不确定 故 错 对于 m n平行于同一平面 m n关系不确定 可平行 相交 异面 故 错 对于 不平行 但 内能找出平行于 的直线 如 中平行于 交线的直线平行于 故 错 对于 若假设m n垂直于同一平面 则m n 其逆否命题即为 故 正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 设l为直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 若l l 则 若l l 则 若l l 则 若 l 则l 解析l l 则 与 可能平行 也可能相交 故 项错 由 同垂直于一条直线的两个平面平行 可知 项正确 由l l 可知 故 项错 由 l 可知l与 可能平行 也可能l 也可能相交 故 项错 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 给出下列关于互不相同的直线l m n和平面 的三个命题 若l与m为异面直线 l m 则 若 l m 则l m 若 l m n l 则m n 其中真命题的个数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 中当 与 不平行时 也可能存在符合题意的l m 中l与m也可能异面 答案1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 下列四个正方体图形中 a b为正方体的两个顶点 m n p分别为其所在棱的中点 能得出ab 平面mnp的图形的序号是 解析 中易知np aa mn a b 平面mnp 平面aa b可得出ab 平面mnp 如图 中 np ab 能得出ab 平面mnp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 6 在四面体a bcd中 m n分别是 acd bcd的重心 则四面体的四个面中与mn平行的是 解析如图 取cd的中点e 连结ae be 则em ma 1 2 en bn 1 2 所以mn ab 所以mn 平面abd mn 平面abc 平面abd与平面abc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 平面abcd 平面a1b1c1d1 mn pq 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 如图 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 e f g h分别是棱cc1 c1d1 d1d cd的中点 n是bc的中点 动点m在四边形efgh上及其内部运动 则m满足条件 时 有mn 平面b1bdd1 解析因为hn bd hf dd1 所以平面nhf 平面b1bdd1 故线段fh上任意点m与n相连 都有mn 平面b1bdd1 答案不唯一 m 线段fh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 如图 abcd与adef为平行四边形 m n g分别是ab ad ef的中点 求证 1 be 平面dmf 证明如图 连结ae 则ae必过df与gn的交点o 连结mo 则mo为 abe的中位线 所以be mo 又be 平面dmf mo 平面dmf 所以be 平面dmf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 平面bde 平面mng 证明因为n g分别为平行四边形adef的边ad ef的中点 所以de gn 又de 平面mng gn 平面mng 所以de 平面mng 又m为ab中点 所以mn为 abd的中位线 所以bd mn 又bd 平面mng mn 平面mng 所以bd 平面mng 又de与bd为平面bde内的两条相交直线 所以平面bde 平面mng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 如图 e f g h分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱bc cc1 c1d1 aa1的中点 求证 1 eg 平面bb1d1d 证明取b1d1的中点o 连结go ob 易证四边形bego为平行四边形 故ob ge 由线面平行的判定定理即可证eg 平面bb1d1d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 平面bdf 平面b1d1h 证明由题意可知bd b1d1 如图 连结hb d1f 易证四边形hbfd1是平行四边形 故hd1 bf 又b1d1 hd1 d1 bd bf b 所以平面bdf 平面b1d1h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 11 已知m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 下列命题中错误的是 若m m 则 若 则 若m n m n 则 若m n是异面直线 m m n n 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由线面垂直的性质可知 正确 由面面平行的性质可知 正确 m n m n 可能平行 也可能相交 故 错误 由线面平行的性质和面面平行的判定定理可知 正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 如图 空间四边形abcd的两条对棱ac bd的长分别为5和4 则平行于两条对棱的截面四边形efgh在平移过程中 周长的取值范围是 gh 5k eh 4 1 k 周长 8 2k 又 0 k 1 周长的范围为 8 10 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 13 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 o为底面abcd的中心 p是dd1的中点 设q是cc1上的点 则点q满足条件 时 有平面d1bq 平面pao 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析如图 假设q为cc1的中点 因为p为dd1的中点 所以qb pa 连结db 因为p o分别是dd1 db的中点 所以d1b po 又d1b 平面pao qb 平面pao 所以d1b 平面pao qb 平面pao 又d1b qb b 所以平面d1bq 平面pao 故q满足条