山东省青岛市城阳一中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（理科）一选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的1集合a=y|y=lgx，x1，b=2，1，1，2则下列结论正确的是( )aab=2，1b（cra）b=（，0）cab=（0，+）d（cra）b=2，12若则( )aabcbacbccabdbca3已知则tan=( )abcd4f（x）=sinx+cosx，xr，f（）=2，f（）=0，|的最小值为，则正数=( )abcd5曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )ae2b2e2c4e2d6函数f（x）=loga（6ax）在0，2上为减函数，则a的取值范围是( )a（0，1）b（1，3）c（1，3d3，+）7把函数f（x）=sin2x2sinxcosx+3cos2x的图象沿x轴向左平移m（m0）个单位，所得函数g（x）的图象关于直线x=对称，则m的最小值为( )abcd8由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为( )abcd2ln29如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是( )a（）b（1，2）c（，1）d（2，3）10已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x2，2上表示的曲线过原点，且在x=1处的切线斜率均为1有以下命题：f（x）是奇函数；若f（x）在s，t内递减，则|ts|的最大值为4；f（x）的最大值为m，最小值为m，则m+m=0若对x2，2，kf（x）恒成立，则k的最大值为2其中正确命题的个数有( )a1个b2个c3个d4个二、填空题（每题5分，共25分）11已知定义在r上的连续函数y=f（x）的图象在点m（1，f（1）处的切线方程为，则f（1）+f（1）=_12已知tan=2，则sincos=_13已知函数f（x）=x3+（1a）x2a（a+2）x（ar）在区间（2，2）不单调，则a的取值范围是_14实数x满足log3x=1+sin，则|x1|+|x9|的值为_15在平行四边形abcd中，ab=2，ad=1，a=60，点m在ab上，且am=ab，则等于_三解答题：（本大题共6小题，共75分）16已知，（）求向量与的夹角；（）求及向量在方向上的投影17设命题p：函数的定义域为r；命题q：3x9xa对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围18已知向量=（2cos2x，1），=（2cos（2x），1）令f（x）=（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间（2）若f（）=，且（，），求cos的值（2）当x，时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值19在abc中，角a，b，c满足ccosb=（2ab）cosc（1）求角c的大小；（2）若abc是锐角三角形，求函数y=2sinbcos2b的值域；（3）在三角形abc中，设角a，b，c的对边分别为a，b，c，若c=1，求abc周长的范围20（13分）设函数，g（x）=x3x23（）讨论函数f（x）的单调性；（）如果对于任意的，都有x1f（x1）g（x2）成立，试求实数a的取值范围21（14分）已知函数f（x）=x2+axlnx，ar（1）若函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围（2）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e时，函数g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由（3）当x（0，e时，求证：e2x2x（x+1）lnx2015-2016学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（理科）一选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的1集合a=y|y=lgx，x1，b=2，1，1，2则下列结论正确的是( )aab=2，1b（cra）b=（，0）cab=（0，+）d（cra）b=2，1【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】由题意a=y|y=lgx，x1，根据对数的定义得a=y|0，又有b=2，1，1，2，对a、b、c、d选项进行一一验证【解答】解：a=y|y=lgx，x1，a=y|y0，b=2，1，1，2ab=1，2，故a错误；（cra）b=（，0，故b错误；1ab，c错误；（cra）=y|y0，又b=2，1，1，2（cra）b=2，1，故选d【点评】此题主要考查对数的定义及集合的交集及补集运算，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分2若则( )aabcbacbccabdbca【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；不等关系与不等式 【专题】计算题【分析】求出a，b，c的取值或取值范围，即可比较它们的大小【解答】解：因为，又，所以acb故选b【点评】本题考查对数值的求法，指数的数值的运算，考查不等关系与不等式的应用3已知则tan=( )abcd【考点】两角和与差的正切函数 【专题】计算题【分析】把所求的角变为（），然后利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值【解答】解：由，则tan=tan（）=故选c【点评】此题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题学生做题时注意角度的变换4f（x）=sinx+cosx，xr，f（）=2，f（）=0，|的最小值为，则正数=( )abcd【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象 【专题】三角函数的求值【分析】由题意可得，|的最小值为=，由此求得正数的值【解答】解：f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），xr，f（）=2，f（）=0，故|的最小值为=，则正数=，故选：b【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象特征，属于基础题5曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )ae2b2e2c4e2d【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】计算题；作图题；导数的综合应用【分析】由题意作图，求导y=，从而写出切线方程为ye2=e2（x4）；从而求面积【解答】解：如图，y=；故y|x=4=e2；故切线方程为ye2=e2（x4）；当x=0时，y=e2，当y=0时，x=2；故切线与坐标轴所围三角形的面积s=2e2=e2；故选a【点评】本题考查了导数的求法及曲线切线的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题6函数f（x）=loga（6ax）在0，2上为减函数，则a的取值范围是( )a（0，1）b（1，3）c（1，3d3，+）【考点】复合函数的单调性 【专题】函数的性质及应用【分析】由已知中f（x）=loga（6ax）在0，2上为减函数，结合底数的范围，可得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a的取值范围【解答】解：若函数f（x）=loga（6ax）在0，2上为减函数，则解得a（1，3）故选b【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中根据已知分析出内函数为减函数，则外函数必为增函数，是解答的关键7把函数f（x）=sin2x2sinxcosx+3cos2x的图象沿x轴向左平移m（m0）个单位，所得函数g（x）的图象关于直线x=对称，则m的最小值为( )abcd【考点】函数y=asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式化简f（x），平移后取x=得到，进一步得到，取k=0求得正数m的最小值【解答】解：f（x）=sin2x2sinxcosx+3cos2x=12sinxcosx+2cos2x=1+1+cos2xsin2x=（sin2xcos2x）+2=把函数f（x）的图象沿x轴向左平移m（m0）个单位，得到函数g（x）的图象的解析式为：g（x）=函数g（x）的图象关于直线x=对称，即k=0时最小正数m的值为故选：a【点评】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，训练了三角函数对称轴方程的求法，是中档题8由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为( )abcd2ln2【考点】定积分在求面积中的应用 【分析】由题意画出图形，再利用定积分即可求得【解答】解：如图，面积故选d【点评】本题主要考查定积分求面积9如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是( )a（）b（1，2）c（，1）d（2，3）【考点】函数零点的判定定理 【专题】计算题；压轴题【分析】由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间【解答】解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0b1，f（1）=0，即有a=1b，从而2a1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a0，由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：01，解得2a0，g（1）=ln1+2+a=2+a0，函数g（x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是（，1）；故选c【点评】本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题10已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x2，2上表示的曲线过原点，且在x=1处的切线斜率均为1有以下命题：f（x）是奇函数；若f（x）在s，t内递减，则|ts|的最大值为4；f（x）的最大值为m，最小值为m，则m+m=0若对x2，2，kf（x）恒成立，则k的最大值为2其中正确命题的个数有( )a1个b2个c3个d4个【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【专题】计算题【分析】首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f（x）的最小值求出k的最大值，则命题得出判断；最后令f（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题得出判断【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=1处的切线斜率均为1，则有，解得a=0，b=4所以f（x）=x34x，f（x）=3x24可见f（x）=x34x是奇函数，因此正确；x2，2时，f（x）min=4，则kf（x）恒成立，需k4，因此错误令f（x）=0，得x=所以f（x）在，内递减，则|ts|的最大值为，因此错误；且f（x）的极大值为f（）=，极小值为f（）=，两端点处f（2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为m=，最小值为m=，则m+m=0，因此正确故选b【点评】本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数单调性、最值的方法二、填空题（每题5分，共25分）11已知定义在r上的连续函数y=f（x）的图象在点m（1，f（1）处的切线方程为，则f（1）+f（1）=1【考点】导数的运算 【专题】计算题【分析】利用函数在切点处的导数就是切线的斜率求出f（1）；将切点坐标代入切线方程求出f（1），求出它们的和【解答】解：据题意知f（1）=f（1）=故答案为：1【点评】本题考查函数的导数的几何意义：函数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率12已知tan=2，则sincos=【考点】二倍角的正弦 【专题】计算题【分析】把所求的式子提取后，先利用二倍角的正弦函数公式化简，然后再利用万能公式化为关于tan的式子，将tan的值代入即可求出值【解答】解：tan=2，sincos=sin2=故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及万能公式熟练掌握公式是解题的关键13已知函数f（x）=x3+（1a）x2a（a+2）x（ar）在区间（2，2）不单调，则a的取值范围是【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】综合题；导数的综合应用【分析】由题意可得f（x）=3x2+（22a）xa（a+2）=0在区间（2，2）上有解，再利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围【解答】解：由题意可得f（x）=3x2+（22a）xa（a+2）=0在区间（2，2）上有解，故有，或 f（2）f（2）0 可得，a的取值范围是故答案为：【点评】本题主要考查函数的单调性与导数的关系，二次函数的性质应用，属于中档题14实数x满足log3x=1+sin，则|x1|+|x9|的值为8【考点】对数函数图象与性质的综合应用 【专题】计算题【分析】由于1sin1 及 log3x=1+sin，可得 01+sin2，故有 x=31+sin（1，9，再由绝对值的意义和性质可得|x1|+|x9|的值【解答】解：由于1sin1，01+sin2 又 log3x=1+sin，01+sin2 x=31+sin（1，9故|x1|+|x9|=x1+9x=8，故答案为：8【点评】本小题主要考查对数与指数的互化，正弦函数的值域，绝对值的意义和性质，不等式性质的应用，求出 x=31+sin（1，9，是解题的关键，属于中档题15在平行四边形abcd中，ab=2，ad=1，a=60，点m在ab上，且am=ab，则等于1【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】根据向量的减法运算用表示出和，由数量积的运算律化简，根据条件求值即可【解答】解：由题意画出图形如右图：点m在ab上，且am=ab，=，且ab=2，ad=1，a=60，=（）（）=1，故答案为1【点评】本题考查了向量的减法运算和数量积的定义、运算律的应用，此题的关键是用表示出和三解答题：（本大题共6小题，共75分）16已知，（）求向量与的夹角；（）求及向量在方向上的投影【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角 【专题】平面向量及应用【分析】（）将已知等式展开转化为两个向量的模压机数量积的计算问题，利用数量积公式求；（）根据投影的定义，利用数量积公式解答【解答】解：（）因为，所以，即168cos3=9，所以cos=，因为0，所以；（）由（）可知，所以=5，|=，所以向量在方向上的投影为：【点评】本题考查了平面向量的数量积公式的运用求向量的夹角以及一个向量在另一个向量的投影；关键是熟练掌握数量积公式以及几何意义17设命题p：函数的定义域为r；命题q：3x9xa对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】规律型【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假确定实数k的取值范围【解答】解：要使函数的定义域为r，则不等式ax2x+对于一切xr恒成立，若a=0，则不等式等价为x0，解得x0，不满足恒成立若a0，则满足条件，即，解得，即a2，所以p：a2g（x）=3x9x=（），要使3x9xa对一切的实数x恒成立，则a，即q：a要使p且q为假，则p， q至少有一个为假命题当p，q都为真命题时，满足，即a2，p，q至少有一个为假命题时有a2，即实数a的取值范围是a2【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键将p且q为假，转化为先求p且q为真是解决本题的一个技巧18已知向量=（2cos2x，1），=（2cos（2x），1）令f（x）=（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间（2）若f（）=，且（，），求cos的值（2）当x，时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；三角函数的最值 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论（2）由f（）=，求得sin（+）=，结合（，），求得cos（+）的值再根据cos=cos（+）计算求得结果（3）由x，时，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）取得最小值以及此时x的值【解答】（1）f（x）=2cos2x2cos（2x）1=4cos2x（cos2xcos+sin2xsin）1=2cos22x+2sin2xcos2x1=cos4x+sin4x=2sin（4x+），故函数f（x）的周期为=令2k4x+2k+，求得x+，可得f（x）的增区间为得，+，kz（2）若f（）=2sin（+）=，可得sin（+）=，结合（，），可得+（，），故cos（+）=cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=（3）当x，时，4x+，1sin（4x+），故当4x+=时，函数f（x）取得最小值为2，此时，x=【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题19在abc中，角a，b，c满足ccosb=（2ab）cosc（1）求角c的大小；（2）若abc是锐角三角形，求函数y=2sinbcos2b的值域；（3）在三角形abc中，设角a，b，c的对边分别为a，b，c，若c=1，求abc周长的范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【专题】三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（b+c）2sinacosc，结合三角函数的诱导公式算出cosc=，可得角c的大小；（2）运用二倍角公式得出y=2sinb2+2sinb1，再运用二次函数性质求解即可（3）根据题意得出：abc周长=1+b+a，利用正弦定理，三角公式化简得出1+（sinb+sina）=1+（sinb+sin（b）=1）求解即可【解答】解：（1）在abc中，ccosb=（2a+b）cosc，由正弦定理，可得sinccosb=（2sinasinb）cosc，即sinccosb+sinbcosc=2sinacosc，所以sin（b+c）=2sinacosc，abc中，sin（b+c）=sin（a）=sina0，sina=2sinacosc，即sina（12cosc）=0，可得cosc=又c是三角形的内角，c=；（2）b+c=，abc是锐角三角形，sinb1，函数y=2sinbcos2b=2sinb2+2sinb1，根据二次函数的性质得出：y3，值域（，3）；（3）c=1，c=，根据正弦定理得出：=2r，2r=，0，根据三角函数的性质得出：12，21）3，abc周长的范围：（2，3【点评】本题给出三角形的一边长与边角关系式，求角c的大小并依此求三角形面积的最大值着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式三角函数的图象性质，属于中档题20（13分）设函数，g（x）=x3x23（）讨论函数f（x）的单调性；（）如果对于任意的，都有x1f（x1）g（x2）成立，试求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】（）函数f（x）的定义域为（0，+），对参数a讨论得到函数的单调区间（）由题对于任意的，都有x1f（x1）g（x2）成立，则x1f（x1）g（x）max，然后分离参数，求出a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），当a0时，f（x）0，函数f（x）在区间（0，+）上单调递增；当a0时，若，则f（x）0，函数f（x）单调递增；若，则f（x）0，函数f（x）单调递减；所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增（），可见，当时，g（x）0，g（x）在区间单调递增，当时，g（x）0，g（x）在区间单调递减，而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，依题意，只需当时，xf（x）1恒成立，即 恒成立，亦即axx2lnx； 令，则h（x）=1x2xl