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文档简介

第二型曲线积分 TheLineIntegralswithRespecttoCoordinateVariables 1 第二型曲线积分与曲面积分 两型线面积分的三点根本差异 作为用积分来研究的整体量的物理背景不同 二型线面积分涉及场论 并总取非负值 第一型线面积分的不考虑方向 曲线要定向 曲面要定侧 且微元是向量 第二型线面积分则不同 2 被积函数 第一型积分为数量值函数的积分 第二型为向量值函数 不排除有的分量为零 一 第二型曲线积分 1 物理背景与概念 典型问题 力场沿曲线C的作功问题 3 设场力 向量值函数 分四步解 细分 求场力沿曲线C从A到B所作的功 4 近似代替 求和 得总功近似值 取极限令 得总功精确值 5 二型线积分概念的一般表示 有向线段C分段光滑并可求长 上有定义 第二型曲线积分是对坐标的线积分 被积表达式是两向量的点积 可以有 一个或两个分量为零 如 在C 6 都是第二型曲线积分 2 第二型曲线积分性质 7 设A B P为曲线C上任意三点 则 对于二型环路积分 8 3 第二型曲线积分的计算法 第二型曲线积分的基本计算法也是通过 设曲线C已给定方向 其参数方程为 则二型线积分有计算式 转化为定积分进行计算的 参数t 对应始点 对应终点 9 计算式中可能只出现一 二项 但仍是 二型线积分 不是定积分 C定向 10 对应始终点的上下限 并非一定是 曲线C若给其它形式的方程 只要全力找出它的等价参数方程 问题即可迎刃而解 例1计算 其中C 为螺旋线 上对应至的有向弧段 11 解 例2计算其中 1 C为折线段 12 解 2 沿x轴由 1 对折线 于是 应该分段考虑 13 2 沿x轴由 B A A O 14 解 1 2 从A 1 0 沿 折线到 1 从A 1 0 沿上半单位圆至 例3计算其中L为 15 解 2 0 0 此积分沿两条不同路径的积分值相同 16 例4计算沿有向闭路的线积分 解 17 此例环路积分为零 但各分段路径的积分 不为零 18 例5计算其中C为 解 圆周 方向沿逆时针 正向 19 4 两类线积分的联系 二型环路 闭路 上的线积分有时为零 例4 有时不为零 有什么规律吗 积分路径有关 当始 终点一样时 沿不同 沿不同路径的线积分值有的相同 例3 有 的不同 例2 设曲线C 20 其方向余弦 因此两型线积分有以下关系 其上点点切向量 则因 21 例6 计算 其中L为椭圆 方向是 站在x轴正向看为逆时针方向 解1 基本算法 椭圆L的参数方程为 22 解2 还可
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