数学建模练习答案.doc

1第6题1第1题名词解释：非线性模型如果待数据拟合的函数模型关于某些待定参数是非线性的，就称为非线性模型。2第2题名词解释：线性模型如果待数据拟合的函数模型关于全体待定参数都是线性的，就称为线性模型。3第10题名词解释：数学模型数学模型（Mathematical Model）是由数字、字母或者其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法.4第11题名词解释：一阶差分方程5第3题司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长. 请问刹车距离与车速之间具有怎样的数量关系？标准答案： 6第5题7第13题8第14题9第6题10第9题根据按揭贷款的等额本息还款法的算法：每月利息=本月剩余本金贷款月利率每月本金=本月剩余本金-下月剩余本金每月月供额=每月本金+每月利息建立数学模型，并推出已知本金总额和按揭年数时月供额的计算公式.11第12题请详细阐述正比例函数模型进行最小二乘数据拟合的原理。12第15题13第17题根据按揭贷款的等额本金还款法的算法：每月还本付息金额=每月本金+每月利息每月本金=本金总额/还款月数每月利息=（本金总额累计已还本金）月利率建立数学模型，并推出已知本金总额和按揭年数时月供额的计算公式.14第4题写出以下公式：按照最小二乘法，由样本数据计算一元线性回归模型的回归系数的点估计.15第7题MATLAB规定分号有哪些用途？命令之后加一个分号“;”，MATLAB只执行命令，不显示结果，这样可以屏蔽掉不需要的显示。创建数值数组时，两行之间以分号或回车换行隔开。16第8题什么是灵敏性分析？为什么需要做灵敏性分析？哪些参数需要做灵敏性分析？哪些参数不需要做灵敏性分析？灵敏性（sensitivity）是指当数学模型的某个参数改变时模型解答的变化程度，变化越大，模型解答对该参数的就越灵敏. 在建立数学模型解决实际问题的时候，人们自然期待模型解答对参数不算灵敏，因为在灵敏的情况下，一旦参数发生微小变化，模型的解答就会发生显著的变化，会给模型检验和模型应用带来困难. 但事实上，在科学技术各个领域广泛存在着灵敏性和临界值问题，在数学上很多数学模型也存在着灵敏性和临界值问题，当参数处于临界值附近时，模型解答会对参数高度灵敏. 人们对此非常关注又非常感兴趣. 所以不论建立什么样的数学模型，都需要仔细的做灵敏度分析. 在数学建模的实践中，没必要对所有参数都进行灵敏度分析，需要对哪些参数进行灵敏度分析要从实际意义出发考虑参数的不确定程度. 有些参数实际上是稳定的，其观测值是准确可靠的；另一些参数实际上经常变动，观测、估计或预测所得的参数值往往会包含不小的误差. 显然，前一种参数没有做灵敏度分析的必要，而后一种参数的不确定性会影响模型解答的可信性，所以灵敏度分析非常有必要. 17第16题请说明MATLAB的变量名、M文件名和函数名的命名规则。MATLAB的变量名、函数名、程序文件名的命名规则为：必须以字母开头，可以有字母、数字和下划线（不能包含其他字符，例如中文字符），区分大小写字母；可以是任意长度，但是只有前63个字符是有效的；不能和任何MATLAB关键字同名；命名应该避免使用MATLAB系统已经安装的函数名（包括特殊值），因为这样做会导致同名函数不能使用，直到以命令“clear 变量（函数、程序文件）名”清除该变量（函数、程序文件）名为止. 18第18题回答以下问题：（1）什么是一级动力学反应？（2）写出一级动力学反应的微分方程模型及满足初始条件的特解.（3）什么是半衰期？（4）为什么一级动力学反应的半衰期是一个与初始状态无关的常数？19第19题什么是数学建模？数学建模有哪些步骤？请简述这些步骤。数学建模（Mathematical Modeling）是建立数学模型解决实际问题的全过程，包括数学模型的建立、求解、分析和检验四大步骤.（1）数学模型的建立，就是指从现实对象的信息提出数学问题，选择合适的数学方法，识别常量、自变量和因变量，引入适当的符号并采用适当的单位制，提出合理的简化假设，推导变量和常量所满足的数量关系，表述成数学模型.（2）数学模型的求解，就是指运用所选择的数学方法求解数学模型. （3）数学模型的分析，就是指对数学模型的解答进行数学分析，包括对结果的误差分析或统计分析，模型对数据的灵敏度分析，模型对假设的强健性分析.（4）数学模型的检验，就是指把数学模型的解答解释成现实对象的解答，给出实际问题所需要的分析、预报、决策或控制的结果，检验现实对象的解答是否符合现实对象的信息（包括实际的现象、数据或计算机仿真），从而检验数学模型是否合理、是否适用. 如果检验的结果说明该数学模型不够合理、不适用于实际对象，首先要考虑最初从实际对象的信息提出的数学问题以及选择的数学方法是否适当，是否要重新提出数学问题、重新选择数学方法；其次要考虑在模型建立阶段所提出的简化假设是否合理，是否足够，通过修改假设，或补充假设，重新建模. 数学建模的过程往往需要经历反复和完善，直到满意. 数学建模取得满意的结果以后，可以根据实际对象的需要进一步应用所建立的数学模型来解决其它实际问题，这就是模型应用.2名词解释：最小二乘法由函数模型和已知数据，按照使误差平方和达到最小值的目标进行数据拟合。3第13题名词解释：二阶差分方程4第17题5第2题（接续47 酶促反应(1)和48酶促反应(2)）请分析Michaelis-Menten模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？6第5题怎么根据鱼的长度估计重量？可以假设鱼的重量W与长度L有如下关系：W=aL3+b。利用表1的数据验证这个模型. 表1 鱼的数据，重量W单位为盎司，长度l单位为英寸W13131313131414151515L1212.31212.314.9121212.112.112.3W15151516161616161616L1212.512.312.712.512.812.81212.812.3W16161616161717171717L121312.512.512.312.712.312.812.813.1W17171718181818181818L15.312.513.512.51313.11313.416.713W18191919191919202020L13.413.313.313.513.513.51313.813.113.8W20202020202021212122L13.513.813.513.81714.513.813.513.313.8W22222323232424242424L141414.314.41414.813.513.514.514W24252526262727282828L1714.314.314.414.716.814.314.81314.8W28292930353640414144L14.914.513.114.512.515.816.317.414.513.3W45464747484953566278L17.3171816.51817.51818.419.3207第16题8第19题考虑弹簧-质量系统，收集弹簧伸长的长度与弹簧末端悬挂的质量的实验数据，记录在表1（单位省略）. 请计算出伸长与质量的函数关系的经验公式.表1 弹簧伸长和质量的测量数据质量50100150200250300伸长1.0001.8752.7503.2504.3754.875质量350400450500550伸长5.6756.5007.2508.0008.7509第6题在一年之初把一对一雌一雄新生的兔子放入围栏，从第二个月开始，母兔每月生出一对一雌一雄的小兔；每对新生的兔子也从它们第二个月大开始，每月生出一对一雌一雄的小兔. 请回答以下问题：（1）从第一到第十二个月的每个月末，围栏内各有多少对兔子？（2）建立差分方程模型，求出围栏内在第n个月末的兔子对数的通项公式.10第7题硬币有正反两面，抛质地均匀的硬币，正面和反面朝上的机会都是二分之一，请设计算法，编写MATLAB程序，模拟抛质地均匀的硬币这种随机行为。11第9题阅读材料 合金强度与合金中的碳含量有密切关系，表1是收集到的一批数据. 表1 碳含量(%)与合金强度(kg/mm2)的数据碳含量0.100.110.120.130.140.150.160.170.180.200.220.24强度41.042.545.045.545.047.549.051.050.055.057.559.5设自变量x为碳含量，因变量y为合金强度，用以下MATLAB脚本做一元线性回归分析的计算：x=0.10;0.11;0.12;0.13;0.14;0.15;0.16;0.17;0.18;0.20;0.22;0.24;y=41.0;42.5;45.0;45.5;45.0;47.5;49.0;51.0;50.0;55.0;57.5;59.5;X=ones(size(x),x; b,bint,r,rint,stat=regress(y,X)命令窗口显示的计算结果：b = 27.947 131.84bint = 25.721 30.174 118.38 145.3r = -0.13129 0.050314 1.2319 0.41352 -1.4049 -0.22327 -0.041667 0.63994 -1.6785 0.68475 0.54796 -0.088836rint = -1.914 1.6515 -1.7957 1.8963 -0.42735 2.8912 -1.4936 2.3206 -3.0611 0.25139 -2.1892 1.7426 -2.0194 1.9361 -1.2749 2.5547 -3.1877 -0.16919 -1.1405 2.51 -1.1904 2.2864 -1.7074 1.5297stat = 0.97943 476.25 9.1322e-010 0.77374问题 请将计算结果整理成表格，并进行分析. 标准答案： 12第14题物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：物体温度对时间的变化率与物体温度和它周围介质温度之差成正比. 写出牛顿冷却定律的微分方程模型及满足初始条件的特解. 标准答案： 13第18题14第3题请回答以下问题：（1）写出指数增长方程及其满足初始条件的解函数；（2）指数增长方程的模型假设是什么？（3）指数增长方程包含有哪些参数？这些参数的实际意义是什么？根据实际数据拟合这些参数的思路是什么？15第4题如果鲸鱼的数量降低至最小生存水平m，则鲸鱼将灭绝；如果鲸鱼的数量超过环境的容纳量M，则鲸鱼的数量将下降. 建立数学模型，描述鲸鱼的数量的变化.16第8题MATLAB的数组运算有哪几种？请逐一说明。表 数组运算运算符说明+对应元素之间的加法-对应元素之间的减法.*对应元素之间的乘法./对应元素之间的除法（左边除以右边，例如5./10=0.5）.对应元素之间的左除法（左边除右边，例如5.10=2）.对应元素之间的乘幂.转置，遇复数不取共轭17第10题MATLAB规定逗号有哪些用途？命令之后加一个逗号，MATLAB执行命令，并显示结果。创建数值数组时，同一行的元素用逗号或空格分隔。输入或输出变量名之间用逗号分隔。18第12题一元线性回归模型有哪些模型假设？19第15题请详细说明MATLAB有哪几种关系运算。标准答案： 表1.8 关系运算运算运算符函数相等=eq(x,y)不等=ne(x,y)小于gt(x,y)小于或等于 =ge(x,y)您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.0教师未批改作业总得分：0.0作业总批注：名词解释：数学模型标准答案： 数学模型（Mathematical Model）是由数字、字母或者其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法.您的答案：题目分数：2.0此题得分：0.02第7题名词解释：一阶差分方程标准答案： 您的答案：题目分数：4.0此题得分：0.03第10题名词解释：二阶差分方程标准答案： 您的答案：题目分数：4.0此题得分：0.04第17题标准答案： 您的答案：题目分数：9.0此题得分：0.05第3题（接续47 酶促反应(1)和48酶促反应(2)）请分析Michaelis-Menten模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？标准答案： 您的答案：题目分数：4.0此题得分：0.06第4题怎么根据鱼的长度估计重量？可以假设鱼的重量W与长度L有如下关系：W=aL3+b。利用表1的数据验证这个模型. 表1 鱼的数据，重量W单位为盎司，长度l单位为英寸W13131313131414151515L1212.31212.314.9121212.112.112.3W15151516161616161616L1212.512.312.712.512.812.81212.812.3W16161616161717171717L121312.512.512.312.712.312.812.813.1W17171718181818181818L15.312.513.512.51313.11313.416.713W18191919191919202020L13.413.313.313.513.513.51313.813.113.8W20202020202021212122L13.513.813.513.81714.513.813.513.313.8W22222323232424242424L141414.314.41414.813.513.514.514W24252526262727282828L1714.314.314.414.716.814.314.81314.8W28292930353640414144L14.914.513.114.512.515.816.317.414.513.3W45464747484953566278L17.3171816.51817.51818.419.320标准答案： 您的答案：题目分数：9.0此题得分：0.07第13题（接续43 指数增长模型(1)和44 指数增长模型(2)）请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？标准答案： 您的答案：题目分数：4.0此题得分：0.08第19题标准答案： 您的答案：题目分数：8.0此题得分：0.09第5题某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？标准答案： 您的答案：题目分数：8.0此题得分：0.010第11题阅读材料 为了研究西红柿的施肥量对产量的影响，科研人员对14块大小一样的土地施加不同数量的肥料，尽量保持其他条件相同，收获时记录西红柿的产量（见表1）.表1 西红柿的施肥量(kg)和产量(kg)的数据地块序号1234567施肥量6.02.57.58.510.07.03.0产量10356241084105210151066704地块序号891011121314施肥量11.55.56.54.09.011.012.5产量96099010508391030985855设自变量x为施肥量，因变量y为产量，用以下MATLAB脚本做一元线性回归分析的计算：x=6;2.5;7.5;8.5;10;7;3;11.5;5.5;6.5;4;9;11;12.5;y=1035;624;1084;1052;1015;1066;704;960;990;1050;839;1030;985;855;X=ones(size(x),x; b,bint,r,rint,stat=regress(y,X)命令窗口显示的计算结果：b = 783.74 22.168bint = 584.37 983.12 -2.5919 46.929r = 118.25 -215.16 133.99 79.826 9.5732 127.08 -146.25 -78.679 84.331 122.16 -33.417 46.742 -42.595 -205.85rint = -149.82 386.31 -422.2 -8.1281 -133.54 401.53 -195.6 355.25 -264.26 283.41 -141.65 395.8 -384.5 92.008 -335.12 177.76 -187.1 355.76 -146.66 390.98 -299.53 232.7 -230.4 323.88 -307.51 222.32 -415.8 4.1027stat = 0.24076 3.8054 0.074832 16496问题 请将计算结果整理成表格，并进行分析. 标准答案： 您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.011第12题请详细阐述一次函数的最小二乘数据拟合的原理。标准答案： 您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.012第16题标准答案： 您的答案：题目分数：8.0此题得分：0.013第18题已知5个数据点：(1,1)，(1,1.1)，(2,1.5) ，(2,1.6)和(3,4)，可以拟合多少次的多项式，拟合多项式的最合适的次数是多少？请编写多项式拟合的MATLAB程序，并给出计算结果。标准答案： 您的答案：题目分数：9.0此题得分：0.014第1题命令窗口有什么用途？命令输入提示符是什么？标准答案： 命令窗口（Command Window）用来输入和执行MATLAB命令，并显示计算结果. 命令窗口用作为命令输入提示符，可以在之后输入各种MATLAB命令， 输入完命令之后按回车键，MATLAB执行所输入的命令，并在紧接着的下一