曲梁正应力公式推导(终极版).doc

曲梁正应力公式推导曲梁正应力公式推导1013102班第1小组摘要：材料力学中给出了运用胡克定律推导出的直梁在纯弯曲时的正应力计算公式，若将其运用到曲梁中会有一定的误差。运用胡克定律推导出曲梁的正应力公式，与弹性力学中给出的的公式加以比较，并推导出当曲梁的形心轴曲率半径趋于无穷时，公式转化为直梁正应力公式，得到误差很小的曲梁正应力公式。关键词：曲梁；正应力Abstract:mechanics of materials gives the calculation of formula of normal stress of straight beam deduced in pure bending by using Hookes law ,If applied it to the curved beam will have the certain error.Deduce the calculation formula of normal stress of curved beam by usingHookeslaw,compared with the elastic mechanicscalculation formula and when the radius of curvature of the Shape heart shaft becomes infinite,the calculation formula translates into calculation formula of normal stress of curved beam,to get the calculation formula of normal stress of curved beam whose Error is very small.Key words：curved beam；normal stress1. 推导曲梁正应力公式。建立如下图示坐标系：以oxy面为研究对象：- 7 -哈尔滨工业大学（威海）记材料的应变为：由胡克定律可得所受应力为：令 (1)由曲梁平衡条件可得： (2) （3）将（1）代入（2）得： (4)将（1）代入（3）得其中为截面的静矩=abhM=Ekabh (5) 将（5）代入（1）得2. 确定矩形截面曲梁中性层置：由（4）式得：即A-=0=a=R-经过幂级数展开得： 3. 与弹性力学结果相比较：将两公式的结果用图形表示出来得图形如下：局部放大图：从图中可见两条曲线基本重合验证了公式的准确性。4. 当时，验证曲梁正应力公式退化为直梁正应力公式。即中性轴与形心轴相重合，符合直梁的特征。将a代入中得所以当时，曲梁正应力公式退化为直梁正应力公式。5. 误差分析.通过分析当取不同值时，图像的拟合程度，给出所推导公式的适用范围。通过大量比较分析可知当取值较小时，取值应较大;当取值较大时，取值应较小。才能保证公式的准确性。6. 结论运用胡克定律推导曲梁正应力公式，运用数值分析的方法与弹性力学的公式相比较，分析结果十分吻合；并且当曲梁的曲率半径趋于无穷时，所推导的公式退化为直梁正应力公式，验证了所推导公式的正确性。附录：1.推导曲梁正应力公式。将（1）代入（2）得： (4)将（1）代入（3）得 ) 其中为截面的静矩=abhM=Ekabh (5) 将（5）代入（1）得2.确定矩形截面曲梁中性层的位置：由（4）式得：即A-=0=a=R-又令x=则幂级数展开得： 当不大时取前两项得 a=R-将分母幂级数展开 令