（试题 试卷 真题）向量与三角的交汇的综合问题解法探究

-向量与三角的交汇的综合问题解法探究当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势，以下几例解析方法，重在为备考中的考生揭示题型规律，与数学同仁们共同归纳与探究解题策略。一、向量与三角函数性质的交汇例1：已知向量= (cos,sin)，= (cos，sin)，且x0,，求：及|；若f(x)= 2|的最小值是，求的值。解析：= coscossinsin=cos2x；|=2x0, cosx0 |=2cosxf (x) = cos2x4cosx 即f (x) =2 (cosx)2122x0, 0cosx1当0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取得最小值1，这与已知矛盾。当01时，当且仅当cosx=时，f(x)取得最小值122，由已知122 = ，解得= 。当1时，当且仅当cosx=1时，f (x) 取得最小值14，由已知得14=，解得 = ，这与1相矛盾；综上所述， = 即为所求。点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，运用了分类与讨论的思想方法。例2、设平面向量= (，1) ，= ( ，)，若存在实数m（m0）和角（(,)），使向量=(tan23)，=m(tan) ，且，求：试求函数m=f()的关系式；令t = tan，求出函数m = g(x)的极值。解析：= 1= 0，= (tan23)m(tan) = m2(tan33tan)2 = 0| =2 ，| =1m= (tan33 tan)，其中 (,)由tan = t，得m = g(t) = (t33t) tR求导得 g(t)= (t21) 令g(t)=0，得t1=1，t2=1当t（,1）时，g(t)0 当t（1, 1）时，g(t)0当t（1,）时，g(t)0当t =1时，即=时，m=g(t)有极大值当t =1时，即 =时，m = g(t)有极大值点评：问是求函数的极值运用求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.二、向量与三角函数求值、运算的交汇例3、设=（1cos,sin）、=（1cos, sin）、=（1,0），（0,），（,2），与的夹角为1，与的夹角为2，且12=，求sin的值.解析：| = = 2cos|= = 2sin| =1，又=1cos= 2 cos2 = 1cos = 2cos2cos1= = cos cos2 = = sin(0,) 1 = 又(,2) (,) 即0由cos2 = sin= cos ()，得2= 由12 = 得( ) = = =sin=sin()=点评：本题是以向量的夹角概念为背景，考查了三角函数求值的有关知识。例4、若O是ABC内一点，则SOBCSOCASOAB=。证：如图所示，以O原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，设=(p,0)，=(qcos,qsin)，=(rcos,rsin)。则：SOBC=qrsin(),SOCA=prsin(2)=prsinSOAB=pqsin要证SOBCSOCASOAB=qrsin() (p,0)prsin(qcos,qsin)pqsin(rcos,rsin)= ，只须证 ：pqrsin()pqrsincospqrsincos=0 pqrsinsinpqrsinsin=0 sin() =sincossincos 显然成立。三、向量与解三角形的交汇例5、ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且345=求数量积，；求ABC的面积解析：|=|=|=1由345=得 34=5 两边平方得 9 224162=252 =0同理 由45=3 求得=由35=4 求得=由=0得 SABC=| | = 由=得cosBOC= sinBOC=SABC=| |sinBOC=由=得cosCOA= sinCOA=SCOA= | |sinCOA= 即SABC = SAOBSBOCSCOA= 点评：本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。四、向量与三角变换的交汇例6、已知A、B是ABC的两个内角，=cosisinj，其中i、j为相互垂直的单位向量，若| = ，求tanAtanB之值.解析：| = (cosisinj)2=cos2 sin2 = = 即4cos(AB)=5cos(AB)4cosAcosB4sinAsinB=5cosAcosB5sinAsinB即9sinAsinB=cosAcosB0tanAtanB = 例7：如图所示，向量i， j ，e1， e2均为单位向量，且ij，e1e2； 用i， j表示e1， e2； =xi+y j ,且xy=1；=x1 e1+y1 e2；当=时，求关于x1 、y1的表达式，并说明方程表达的曲线形状；e1 e2ji 方程为：x12-y12=2 曲线为双曲线。点评：本题要求学生对平面向量的基本定理有较深刻的理解，基向量的选择，就是坐标系的选择。利用向量的运算，可以研究在不同坐标系下同一曲线的不同方程，体现了坐标变换的思想，使初等数学与高等数学平稳过渡，这是新“课改”的一个方向。五、向量与解三角不等式的交汇例8、已知二次函数f (x)对任意xR，都有f (1x) = f (1x)成立，设向量= ( sinx , 2 ) ，= (2sinx , )，= ( cos2x , 1 )，=(1,2)，当x0,时，求不等式f ()f ()的解集.解析：设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1x,y1）、B(1x, y2），因为=1 f (1x) = f (1x)，所以y1= y2由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，若m0，则x1时，f(x)是增函数 ；若m0，则x1时，f(x)是减函数。=（sinx，2）（2sinx, ）=2sin2x11=（cos2x，1）(1,2)=cos2x21当m0时，f ()f ()f(2sin2x1) f(cos2