概率复习题[1].doc

习题1-18. 设，试就以下三种情况分别求：（1）， （2）， （3）.解：（1）；（2）；（3）。9. 已知，求事件全不发生的概率。解：=11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：（1）；（2）；每次拿一件，取后放回，拿3次：（1）；（2）；每次拿一件，取后不放回，拿3次：（1）；（2）习题1-23. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I和II都有效的概率；（2） 系统II失灵而系统I有效的概率；（3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令 “系统（）有效” ， “系统（）有效”则（1） （2）（3）8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么令表示最多有一台机床需要工人照顾，那么 11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。解：令“被检验者患有肝癌”， “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么，（1） （2） 12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。解：令“5件中有件优质品”，（1）（2） 16. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解：令“恰有次击中飞机”， “飞机被击落”显然：而，所以；习题1-34. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求 （1）的概率分布； （2）。解：（1）（2）10. 已知的概率分布为：-2-101232a3a a a 2a试求（1）； （2）的概率分布。解：（1） 。（2） 12. 设连续型随机变量的概率密度为试确定常数并求.解：令，即 ，即 16. 设随机变量服从1,5上的均匀分布，试求. 如果 （1）； （2）.解：的概率密度为（1）（2）习题1-42. 设连续型随机变量的分布函数为试求:（1）的概率分布； （2）.解：（1） （2）5. 设连续型随机变量的分布函数为试求:（1）的值； （2）； （3）概率密度函数.解：（1） 又（2）（3） 6. 设为连续型随机变量，其分布函数为试确定中的的值。解： 又 又 又 即 8. 假设某地在任何长为(年)的时间间隔内发生地震的次数服从参数为的Poisson(泊松)分布，表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求: （1）证明服从指数分布并求出的分布函数； （2）今后3年内再次发生地震的概率； （3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。解：（1） 当时， 当时， 服从指数分布（）（2）（3）习题3-13.设的概率分布为：460.50.3且，求和的值。解：显然 又 5.设连续型随机变量的概率密度为其中. 又已知，求的值。解： 即 即 6.设连续型随机变量的概率密度为试求和.解： 习题4-1 4. 设在总体抽取一个容量为16的样本，这里均未知，求. 解: 因为,此处n=16, 所以查自由度为15的分布表得, ，所以=0.95. 5. 设总体，为取自该总体的样本，已知，求：常数a. 解: 因为, n=10, =4, 所以查自由度为9的分布表得， 所以a=26.105.7. 设为取自总体的样本，求.解：因为，所以=查自由度为10的分布表得，=0.1习题4-41、 取自正态总体, 容量为9的样本, 若得到样本均值为=5, 则未知参数的置信度为0.95的置信区间是_.解：因为, 故参数的置信度为0.95的置信区间是，查标准正态分布分布表可知，=50.31.96, 5+0.31.96=4.412, 5.588 2. 已知某种材料的抗压强度, 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数据如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469. (1) 求平均抗压强度的点估计值; (2) 求平均抗压强度的95%的置信区间; (3) 若已知=30, 求平均抗压强度的95%的置信区间; (4) 求的点估计值; (5) 求的95%的置信区间; (6) 求的点估计值;(7)求的95%的置信区间.解: (1)0(2) 因为, 故参数的置信度为0.95的置信区间是:, 经计算,S=35.276, n=10,查自由度为9的分位数表得, ,故=432.30, 482.70(3) 若已知=30, 则平均抗压强度的95%的置信区间为:=438.90,476.09(4) =S2=1240.28(5) 因为,所以的95%的置信区间为:,其中S2=1240.28, ,所以=586.79,4134.27(6) 由(4) S=35.276(7)由(5) 的95%的置信区间为:=24.2237,64.2982习题4-5 1. 已知总体服从瑞利分布, 其密度函数为:未知参数0, 为取自该总体的样本. 求的矩估计量和最大似然估计量, 并问这两个估计量是不是无偏估计量?解:EX=2令,则2=, 故EX=, 因此的矩估计量为.EX2=, 令 ,EX2=2EE=, 故不是的无偏估计量.令L(;x1,x2,.,xn)= , 当x1,x2,.,xn0时, L=,lnL=,=为的最大似然估计量. E=,所以是的无偏估计量. 3. 已知总体服从参数为的泊松分布, 其分布律为:为取自总体的样本. 求 (1) 的矩估计量; (2) 的最大似然估计量; (3) 的无偏估计量.解:(1)因为EX=DX=, 而S2=, B2=都是DX的点估计,故, S2, B2都可作为的矩估计量.(2) L(;x1,x2,.,xn)=lnL=,令=,=为的最大似然估计量.(3)E=E=E X=, E=ES2=D X=,故=及=S2都是的无偏估计，E=EB2=, 故不是的无偏估计.习题5-2 3. 食品厂用自动装罐机装罐头食品, 每罐标准重量为500克, 每隔一定时间需要检验机器的工作情况, 现抽10罐, 测得其重量(单位: 克): 495, 510, 505, 498, 503, 492, 502, 512, 497, 506假设重量服从正态分布, 试问机器工作是否正常()? 解：H0：u=500. 采用统计量T=，否定域：|T|, 其中n=10, u0=500,经计算,|T|=,查自由度为9的t分布表知, =2.821, |T|, 其中n=10, u0=19,