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第三章量子力学中的力学量 一 算符的本征值 1 能量算符 本征值方程 2 动量算符 本征值方程 本征值 连续取值 3 坐标算符 本征值方程 本征值 连续取值 4 任意力学量算符 本征值方程 本征值 本征函数 算符的平方的本征值就是 这是因为 当取整数时 对 有 当中有0时 不存在 对 有 当所有 才有意义 二 角动量算符 1 角动量算符 易得 如果粒子围绕轴旋转 只有改变 则 所以 可以推出 2 动能算符 下面利用角动量算符来讨论动能算符 经典物理 径向动能 横向动能 如果系统角动量守恒 是恒量 则横向动能仅为r的函数 与势能相似 故称为离心势能 量子力学中 动能算符 径向动能算符 横向动能算符 其中径向动量算符 这是因为 几个重要算符在球坐标系中的表示 球坐标系和直角坐标系单位矢量之间的关系 3 的本征解 由周期性条件 本征值 归一化 三 厄米算符 1 算符的共轭 数 矩阵 即转置后取复共轭 算符 对任意的波函数和 的共轭满足 所以 所以 由此例可得 性质 推广 例如 2 厄米算符 自共轭算符 或 一般力学量算符都是厄米算符 性质1 厄米算符的本征值为实数 设 则 又 所以 性质2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数正交 所以 又 四 波函数的普遍解释 展开假定 若 且 如果 且已归一化 则 如果 则 如果 则的概率为 狄拉克指出 力学量算符的本征函数必须是完备的 波函数的普遍解释 展开假定 量子体系的任何可观测的物理量都能够用一个线性厄米算符来表示 每一个这样的算符都存在着正交归一完备的本征函数系 本征值就是在相应本征态上该力学量的测量值 所有本征值的集合称为本征值谱 任何一个物理上允许的波函数都可以向该本征函数系展开 若是归一化的波函数 则展开系数的模方就是该力学量取值的概率 五 平均值公式 在态下 力学量的平均值为 或者 且 六 对易关系 对易式运算法则 1 坐标和动量 2 角动量和坐标 即 或 3 角动量和动量 即 或 4 角动量各分量 或 角动量的广义定义 5 角动量平方与角动量各分量 6 升降算符 定义 7 其它对易关系 1 2 3 用此法可解上面 2 4 与 2 方法相似 5 因为 七 共同本征函数系 两个对易的算符存在共同完备本征函数系 一方面 若 则 对任意波函数 有 所以 另一方面 若 则 且 所以 也是的本征值为的本征态 如果不简并 则与仅相差一常数因子 即 例如 它们具有共同本征函数 注意 如果两个力学量不对易 不一定同时没有准确测量值 例如 和不对易 但是在态它们同时具有准确值0 八 不确定关系 如果力学量 满足 则对任意的归一化波函数 有 其中 证明 引入实
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