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RLC 动态电路的时域分析 动态 电路 时域 分析

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第4章 动态电路的时域分析 学习指导与题解 一、基 本 要 求 1．明确过渡过程的含义，电路中发生过渡过程的原因及其实。 2．熟练掌握换路定律及电路中电压和电流初始值的计算。 3．能熟练地运用经典分析RC和RL电路接通或断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。明确RC和RL电路放电和充电时的物理过程与过渡过程中电压电流随时间的规律。 4．明确时间常数、零输入与零状态、暂态与稳态、自由分量与强制分量的概念，电路过渡过程中的暂态响应 与稳态响应。 5．熟练掌握直流激励RC和RL一阶电路过渡过程分析的三要素法。能分析含受控源一阶电路的过渡过程。 6．明确叠加定理在电路过渡过程分析中的应用，完全响应中零输入响应与零状态响应的分解方式。掌握阶跃函数和RC，RL电路阶跃响应的计算。 7．明确RLC电路发生过渡过程的物理过程，掌握RLC串联二阶电路固有频率的计算和固有响应与固有频率的关系，以及振荡与非振荡的概念。会建立RLC二阶电路描述过渡过程特性的微分方程。明确初始条件与电路初始状态的关系和微分方程的解法。会计算RLC串联二阶电路在断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。了解它在接通直流电源时电压和电流的计算方法。 二、学 习 指 导 电路中过渡过程的分析，是本课程的重要内容。教学内容可分如下四部分： 1．过渡过程的概念； 2．换路定律； 3．典型电路中的过渡过程，包括RC和RL一阶电路和RLC串联二阶电路过渡过程的分析； 4．叠加定理在电路过渡过程分析中的应用。 着重讨论电路过渡过程的概念，换路定律，RC和RL一阶电路过渡过程中暂态响应与稳态响应和时间常数的概念，计算一阶电路过渡过程的三要素法，完全响应是的零输入响应和零状态响应，阶跃响应，以及RLC串联二阶电路过渡过程的分析方法。 现就教学内容中的几个问题分述如下。 （一） （一） 关于过渡过程的概念与换路定律 1． 1． 关于过渡过程的概念 电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程，称为过渡过程。电路过渡过程中的电压和电流，是随时间从初始值按一定的规律过渡到最终的稳态值。产生过渡过程的原因，是由于含有储能元件（电容C、电感L以及耦合电感元件）的电路发生换路工作状态突然改变时引起的。因此，“换路”是产生过渡过程的外因，而内因是电路是含有储能元件，其实质是由于电路是储能元件能量的释放与储存不能突变的缘故。电路是的过渡过程，就是换路后电路的能量转换过程。所以，电路产生过渡过程的充分必要的条件是：含有储能元件的电路，发生换路（如t=0时刻换路）之后，即t>0时储能元件的能量必须发生神化,电路是才能产生能量转换的过程.如果电路换路之后，储能元件的能量不发生变化，意味着换路后立即到达稳态，电路就不发生五家渠市过程了。 2． 2． 换路定律 若t=0时刻换路，t=0_表示换路前最后的瞬间,t=0表示换路后最初瞬间。电压和电流的初始值就是t=0时的数值，用u(0)和表示。 如果换路时刻电容电流和电感电压都是有限值，则换路时刻电容电压和电感电流不能跃变，即,,这就是换路定律。 关于换路定律应该明确的是： （1）适用于换路定律的电量，只有电容电压和电感电流，其它电量是不适用换路定律的。因为电容电压和电感受电流是电路的状态变量，决定电路的储能状态，即=，。因此，储能不能跃变，必然是电容电压和电感受电流不能跃变。而电路中的其它电量，如电容电流、电感电压、电阻电压和电流等，过都是非状态变量，在换路时刻是可以跃变的。 （2）换路定律适用电路的条件是，换路时刻电路中的电容电流和电感电压均为有限值，否则换路定律不能应用。这是由电容和电感元件的基本性质所决定的。即伏安特性为 因t=0时刻电容电流为有限值，上式中的积分项为零。 同理，因t=0时刻电感电压为有限值，上式中的积分项为零。 否则，如果换路时刻电容电流和电感电压不是的限值，电容电压和电感电流可能跃变。如图4-1（a）所示电路，时刻开关K闭合，则，电容电压发生强制跃变，必然换路时刻电容电流，为非有限值；又如图4-1（b）所示电路，时刻进行换路，输入电感元件L，，电感电流发生强制跃变，必然换路时刻电感电压为，为非有限值。由此可见，换路时刻电容电流和电感电压为非有限值，则电容电压和电感电流可能发生跃变，换路定律不能应用。 图 4-1 电容电压和电感电流的强制跃变 3．初始值与电路 我们所讨论的RC和RL以及RLC电路都是适用换路定律的。这类电路换路后电路的初始值，对于电容电压和电感电流而言，求出和后，便可按换路定律求出和电路时，视为电压源，视为电流源。 4．稳太值与稳态电路 过渡过程结束后，电路中的电压和电流的最终值，就是新的稳定状态的数值，即稳态值。稳态值一般作出过渡过程结束后的稳态电路来求出。如直流电源激励的稳态电路，称为直流稳态电路，这时电路中电容相当于开路，这时按相量法计算出稳态值。 5．电路过渡过程分析的目的与立法 电路中过渡过程分析的目的，主要是研究过渡过程中电压和电流的变化规律。它与动态电路换路后的结构和储能元件的性质、数目及初始储能等有关，由列出和求解描述电路动态过程的微分方程的解来确定。电路过渡过程的分析方法，有经典法和变换域分析法。经典分析法是在时域以待支路的电压或电流为变量，列出电路换路后的微分方程，并直接求解满足初始条件微分方程的解答，得出时间函数的电压电流，本章就是采用这种方法来分析过渡过程问题的，这换域分析法是应用拉普拉斯变换方法来求解电路过渡过程中的电压和电流，这种方法将在第十三章介绍。 （二）关于RC和RL一阶电路过程的分析 1．典型RC和RL一阶电路 含有一个独立储能元件的电路，动态特性是用一阶微分方程来描述，称为一阶电路。如图4-2（a），（b）所示RC和RL串联电路是典型的一阶电路。其它的一阶电路，可以应用戴维南定理等效化简为典型的一阶电路。 2．直流RC和RL一阶电路的微分方程 如果RC和RL电路的激励源是直流电源，称为直流一阶电路。为了分析RC和RL一阶电路过渡过程中电压和电流的变化规律，需根据KVL，KCL和元件VAR列出时电 图 4-2 典型RC和RL一阶电路 路的微分方程。如图4-2(a)所示电路，，以为变量，时电路的微分方程为 这是常系数线性非齐次一阶微分方程。齐次微分方程是 电路换路后过渡过程中的电容电压随时间变化的规律，就是满足初始条件微分方程的解。 又如图12-2(b)所示RL电路，，以为变量，时电路的微分方程为 这是常系数线性非齐次一阶微分方程。齐次微分方程是 电路换路后过渡过程中的电流随时间变化的规律，就是满足初始条件微分方程的解。 电路的初始条件，由初始状态来确定。 3．过渡过程是的暂态响应与稳态响应 （1）如图12-2（a）所示RC电路，初始状态，且时的，是以为变量常系数一阶非齐次方程的解，包含齐次微分方程的通解，和非齐次微分方程的特解。故微分方程的全解为 根据初始条件，确定积分常数K。当时，则上式为 故最后解出过渡过程中的电容电压为 上式等号右边第一项，按指数规律衰减，当时为零，故称为暂态响应，又称自由分量；第二项，是与激励电源形式相同，而与时间无关的恒定值，当时，，故称为稳态响应，又称为强制分量，由此可见，过渡过程中的电容电压可以解为：暂态响应与稳态响应之和。 在工程上，RC电路电容放电过程中的电容电压为 电容放电电压是从初始值按指数规律衰减为零，就是指数规律衰减的因子。 RC电路当电容充电过程中的电容电压为 电容充电电压是从零按指数规律上升到稳态值就是从零按指数规律增长的因子。 电路中的电流则根据电容零件的VAR得出，即 （2）如图12-2（b）所示RL电路，若初始状态，且。 时的，是以为变量的非齐次微分方程满足初始条件的解，即 式中，是暂态响应；是稳态响应。 4．时间常数 （1）在上述RC和RL电路过渡过程中和的暂态响应，含有衰减因子和，e是指数的分母RC和的量纲是时间，单位是秒，它们的数值决定于电路中的参数R，C和R、L均为常数，故称为时间常数，用表示。对于图12-2所示典型一阶电路，RC电路，RL电路。对于非典型一阶电路，时间常数中的R，戴维南等效电路的等效电阻。 （2）时间常数是一阶微分方程的特征方程的负倒数。如图12-2（a）所示电路微分方程的特征方程是 故特征根为 因此，时间常数 特征根具有频率的量纲,即秒。由电路的参数R，C确定，反映电路的固有性质，故称为固有频率。 （3）时间常数是决定电压过渡过程中电压和电流变化快慢的物理量。其值是过渡过程中暂态响应衰减到初始值36.8%所需的时间。值越大，衰减就越慢，过渡过程就越长；反之，值越小，衰减就越快，则过渡过程就越短。 从理论上讲，要经过无限长时间暂态响应才能衰减为零，过渡过程才能结束。但是，在工程一般认为经过（3~5）的时间，暂态响应已衰减趋于零，过渡过程便结束了。 （4）还应指出，对于同一电路时，电路中不同支路的电压和电流暂态响应衰减的时间常数都是相同的。换句话说，一个电路换路后只有一个时间常数。 5．直流一阶电路分析计算的三要素法 由于直流一附上电路换路后在过渡过程中的电压和电流，是从初始值按指数规律衰减到稳态值，或者是从初始值按指数规律上升到稳态值。而指数规律的变化又决定于时间常数。因此，过渡过程中的电压和电流是随时间的变化规律，由初始值、稳态值的时间常数所确定。只要计算出初始值、稳态值和时间常数，则过渡过程中的电压和电流，便可直接由如下三要素公式得出，即 上式中，是暂态响应，是稳态响应。 上式所示三要素公式化，适用于直流激励、有损耗一阶电路，时刻换路，时电路的过渡过程分析。有损耗一阶电路的戴维南等效电阻R是正值，特征根S是一个负数，暂态响应含负指数，随时间作衰减变化。 三要素法是一阶电路过渡过程分析的实用计算法，不必列出和求解电路的微分方程，只要直接计算出待求响应变量的初始值、稳态值和电路的时间常数即可，具有简捷方便的优点。因此，在工程实际中具有重要意义。 6．关于正弦激励一阶电路过渡过程的分析计算步骤，与直流激励一阶电路分析方法相同。如图12-2（a）所示RC电路，时刻换路，接入电源，是开关K闭合时刻电源电压的相位角。经典法分析计算的步骤如下： （1）时以电容电压为变量的微分方程为 （2）解微分方程：齐次方程的通解为 非齐次微分方程的特解，就是稳态响应，按时稳态电路，用相量法求出。即正弦稳态时RC串联电路的电容电压为 式中：是稳态电容电压有效值； 是RC 串联电路的阻抗角。 解出稳态响应为 （3）过渡过程中电容电压为 = （4）确定积分常数K，若，当时刻，上式为 （5）最后解出过渡过程中的电容电压为 过渡过程中电容电压的暂态响应，与开关K闭合的时刻有关，由于正弦电源电压接入电路初相角的数值，取决于开关闭合的时刻。当不财的时刻开关闭合时，积分常数K的数值不同。如果当（时刻开关闭合，则积分常数，暂态响应为零，电路称路后立即到达稳态值，没有过渡过程。如果当或时刻开关K闭合，则积分常数为最大值，这时电容两端可能出现过电压。 对于正弦电源接入RL电路的分析，按上述同样的步骤进行，可以得出与RC电路类似的结果，读者自行总结。正弦电源激励动态电路过渡过程的分析是本章学习的一个难点。 （三）关于零输入响应、零状态响应与完全响应 从现货电路理念的观点，电路中不仅独立电源是电路的激励，而且储能元件的初始储能，即初始状态也是一种激励。因为从能量观点而言，独立电源可以向电路提供电能，也可以从电路吸收电能；储能元件亦有相似的效果，同样可以向电路释放电能，也可以从电路中吸收能量，储存于电场或磁场中。然而应明确，独立电源和储能元件是两种不同性质的元件，它们的伏安特性是完全不同的。因此，既然动态电路的独立电源和储能形色仓皇的初始储能都是电路的激励，那么旅游活动可以应用叠加定理来分析换路后电路中的电压和电流。 1．零输入响应 输入就是电路外加电源激励，零输入就是外加电源激励为零。电路反由储能元件的初始状态作用下的响应，称为零输入响应。如图4-2（ a）所示RC电路，，则零输入响应为 2．零状态响应 电路在非零状态下，由外加电源激励下产生的响应。称为零状态响应。如图4-2（a）所示RC电路，初始状态，则零状态响应为 3．完全响应 电路在非零状态下，由外加电源激励和初始储能共同作用下产生的响应，称为完全响应。如图4-2（a）所示RC电路，且，则按叠加定理，完全响应是零输入响应与零状态响应之和。即 应该指出，从概念上应明确如下几点： （1）零输入响应和零状态响应，都不能与产生它的原因成正比，即零输入响应与储能元件的初始状态成正比，而零状态响应则与外加电源电压成正比。但是，完全响应则既不与储能元件的初始状态成正比，也不与外加电源激励成正比。 （2）零输入响应不同于暂态响应，零状态响应不同于稳态响应。一般而言，完全响应是的零输入响应包含在暂态响应当之中，零状态响应是自由分量和强制分量之和；而稳态响应则仅是强制分量，与外激励电源的形式相同。 （3）完全响应分解为零输入响应与零状态响应之和，总是存在的。而分解为暂态响应与稳态响应之和，则不总是存在的，因为在某些情况下，暂态响应可能为零。 （4）完全响应的两种分解方式，是从不同的角度描述电路中发生的过渡过程。从过渡的观点，暂态响应与稳态响应的分解方式，是把换路后工作过程的层次描述的直观明确；而从叠加的观点，零输入响应与零状态响应的分解方式，是鬼魂激励与响应的因果关系表现得十分清楚。从电路理论的观点，电路零输入响应和零状态响应分析，具有更普遍的意义。 （5）在工程上，如电容的放电过程中的电容电压，运行电机停机时激励磁绕组灭磁过程中的绕组电流，都是零输入响应分析；又如零状态电容的充电过程和投入电机运行的磁绕组接入电源的升磁过程，都是零状态响应分析。因此，零输入响应分析和零状态响应分析，在实际工程中具有直接的实用意义。 图 4-3 阶跃电源电压RC电路系统 （四）关于阶跃函数与阶跃响应 1．单位阶跃函数的定义 单位阶跃函数的定义为 单位延时阶跃函数的定义为 2．单位阶跃函数的作用 （1）用来表示时刻开关K闭合，直流电 源接入动态电路。如图9-2（a）所示RC电路， 可用图12-3所示的由阶跃电压电源 激励的RC电路表示，代替了 时刻K闭合将直流电源电压接入RC电路 的作用。 （2）在时刻换路后过渡过程中的电 压和电流表达式，。表示了的作用。 如图4-2（a）RC电路时的电容电压可 以表示为 或 （3）用阶跃函数表示矩形脉冲信号，如图4-4 （a）的矩形脉冲电压，可以用图4-4（b）， （c）的阶跃函数和延时阶跃函数 之和来表示，即 =+ 图 4-4 用阶跃函数表示矩形脉冲 = 电压波形图 3．单位阶跃响应的定义 单位阶跃响应的定义为：零状态电路在单位阶跃函数电源激励下的响应。并用表示。RC电路的单位阶跃响应为 单位延阶跃时响应为 对于如图4-3所示的RC电路的阶跃响应是 如果电路的激励是延时阶跃函数时，则RC电路的延时阶跃响应电容电压为 4．关于阶跃函数激励非零状态电路的响应 应用叠加定理，这时电路的完全响应是零状态响应，即阶跃响应和零输入响应之和。如图4-3所示电路，，且。这时电路的阶跃响应为，零输入响应为。故电路的完全响应电容电压为 + （五）关于RLC二阶电路的分析方法 由两个独立储能元件组成的电路，其过渡过程的特征性用二阶微分方程描述，故称为二阶电路。RLC串联电路，是典型的二阶电路。通过对它的分析来明确二阶电路过渡过程的基本概念和分析方法，着重讨论RLC串联电路的放电过程，即电路的固有响应也就是零输入响应。也介绍RLC串联电路的充电过程，即零状态响应和完全响应。 1．电路的微分方程与初始条件 如图4-5所示RLC串联二阶电 路，时以电容电压为变 量描述动态过程特性的微分方程 是 图 4-5 RLC串联二阶电路 过渡过程中电容电压随时间变化的规律，就是微分方程的解。方程的求解，需有如下两个初始条件： 只要知道电路的两个初始状态和，按上式便可得出初始条件和。 于是，RLC串联电路的放电过程的，就是满足上述初始条件齐次微分方程的解；充电过程的，就是满足初始条件非齐次微分方程的解。 2．电路的固有频率与固有响应 电路的固有频率，是二阶微分方程的特征方程 的根。即 它是由电路本身R，L，C元件参数所确定，量纲是秒，反映电路本身的固有性质。电路的固有响应就是零输入响应，是上述二阶齐次微分方程的解。根据R，L，C元件参数的不同数值，固有频率和固有响应，有如下四种形式。 （1）当时，固有频率是两个不等的负实数，即，。这时固有响应是过阻尼放电过程，其数学表达式为 （2）当时，固有频率是一对负实部的共轭复数，即，。这时固有频率响应是欠阻尼振荡放电过程，其数学表达式为 （3）当时，固有频率是两个相等的负实数，即。这时固有响应是临界阻尼非振荡放电过程。其数学表达式为 （4）当时，固有频率是一对共轭虚数，即，。这时固有响应是无阻尼的电振荡过程，其数学表达式为 已知电路中的两个初始状态，便可得出两个初始条件和，上述式中的积分常数和便可确定，放电过程中的响应电容电压便可解出。应该指出，二阶电路微分方程的初始条件和积分常数和的确定，是二阶电路的分析计算中的难点。 由以上分析可知，二阶电路分析的基本步骤是：根据微分方程的特征方程计算出电路的固有频率；根据固有频率写出固有响应的表达式；根据电路的初始条件，确定求解方程计算积分常数和的初始条件和,并根据初始条件和固有响应表达式确定积分常数和,便解出了放电过程中的响应变量电容电压。 还应指出，二阶电路的固有频率是“复频率”，即 式中，是正实数，它决定响应的衰减特征，称为衰减常数；是决定电路响应衰减振荡的特性，称为阻尼角频率。，是电路固有的振荡角频率，称为谐振角频率。 上述计算固有频率的关系式，是针对RLC串联电路得出的。对于一般二阶电路而言，微分方程为 的特征方程为 则电路的固有频率是 3．RLC串联二阶电路充电过程的分析方法 当外加直流激励电压源电压时，RLC串联电路的充电过程，若电路初始储能为零，就是零状态响应分析，若非零初始状态，则是完全响应分析。二者是常系数二阶非齐次微分方程的解，只是初始条件不同而已。它包括齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解。齐次微分方程的形式与上述固有响应的表达式相同；而非齐次微分方程的特解与激励形式相同，由于微分方程中系数为1，故特解为。因此，RLC串联电路充电过程电容电压，根据R，L，C元件参数的不同有如下四种形式，即 （1）当时，固有频率是，。则 （2）当时，固有频率是，。则 （3）当时，固有频率是。则 （4）当时，固有频率，。则 最后，根据初始条件和确定积分常数和，便解出响应变量。 4．关于振荡与非振荡的概念 电路过渡过程的实质，就是能量的转换过程。这种能量转换的过程，由电路的两个初始状态，和电路结构及元件参数来确定。在无电源RLC串联电路的放电过程中，电容和电感在初始时刻可能存在数值不同的电场能量和磁场能量，或者它们之一有储能，另一无储能。在过渡过程中电阻元件R总是消耗能量的，电容元件和电感元件是要释放出原有储能提供给电阻元件，转换为热能的。在这过程中，可能是电容与电感同是释放出能量提供电阻元件消耗，形成非振荡的放电过程；也可能出现电场能量与磁场能量的交换，形成振荡放电过程，这将决定于电路元件的参数。如果RLC串联电路的电阻元件R是数值较小，即时，电阻元件消耗功率较小，按能量守恒原理，在放电开始一段时间内，某一储能元件，如电容元件释放出的电场能量，一部分为电阻R所消耗，另一部分为电感元件所吸收，储存在磁场中，使磁场能量增加到某一最大值，而电容中的电场能量逐渐减少至零值；继之另一段时间内，电感元件释放出磁场能量，一部分为电阻R所消耗，另一部分为电容进行反充电，不断增加电场能量达到某一最大值，而电感元件中的磁场能量减少至零值。而后重复上述过程，往复循环进行电容与电感元件之间的能量交换，形成电磁振荡。由于电阻元件不断的消耗功率，使电容与电感之间能量交换的规模不断减少，直至储能全部为电阻所消耗，过渡过程便结束，形成欠阻尼放电过程。要维持等幅振荡，就要不断补充电磁振荡过程中的能量消耗，这就是电子振荡器的基本原理。 如果RLC串联电路电阻R的数值较大，即时，由于电阻元件消耗功率较大，根据能量守恒原理，这时电容和电感元件均不断同时释放储能，提供给电阻R消耗，直至全部储能为电阻元件所消耗，过渡过程便结束，形成非振荡性的阻尼放电过程。 这应指出，如果二阶电路的两个独立储能元件的性质相同的元件时，在放电过程中，不存在电场能量与磁场能量的交换，不可能出现电磁振荡，过渡过程只能是非振荡性的放电过程。 本章学习内容的重点是直流一阶电路的分析，特别是要明确RC和RL电路放电和充电过程中电压和电流随时间变化的规律，暂态响应与稳态响应、零输入响应与零状态响应和时间常数的概念，熟练掌握直流一阶电路分析的三要素法。对于RLC二阶电路，着重固有频率与固有响应的关系的掌握。 三、解 题 指 导 （一）例题分析 [例4-1] 应用经典法求解一阶电路过渡过程的分析计算。如图4-6（a）所示电路，时刻进行换路，开关K触头从a合于b，换路前电路处于稳态，试列出以为变量，时电路的微分方程；（2）求出时电流及其暂态响应与稳态响应；（3）求出时电路的零输入响应、零状态响应和完全响应。 解 [解题思路] 本题是用经典法分析RL一阶电路过渡过程的计算。由于所给出的电路是典型RL电路，故分析时应将时电路应用戴维南定理化简为典型的RL串联一阶电路，从而方便地列出电路的微分方程。初始状态，亦即初始条件的计算，由于换路前电路处于直流稳态，则应作出电路计算得出。按时等效电路便可列出以为变量电路的微分方程，便可分别解出电路的暂态响应和稳态响应，和零输入响应、零状态响应并得出完全响应。 [解题方法] （1）计算，作出电路如图12-6（b）所示。则按分流关系计算得出 A （2）应用戴维南定理化简时的图4-6（c）电路为如图4-6（c）所示等效电路。其中 V （3）按图4-6（d）所示等效电路，列出时，以为变量的微分方程为 （4）时的计算。求解上式所示微分方程，其通解为 电路 等效电路 图 4-6 例12-1电路图 特解为 故得出全解的表达式为 确定积分常数K。当时刻，上式为 解出过渡过程中的电流为 =A 其中，暂态响应为A，稳态响应为A。 （5）零输入响应、零状态响应和完全响应 零输入响应为 A 零状态响应为 A 故完全响应为 +=+A [例 12-2] 应用三要素法求含受控源一会电路的过渡超过程.如图 4-7(a)所示电路, 时刻开关K闭合,换路前电路处于稳态,V。试用三要素法计算时电路中的电流和电压。 解 [解题思路] 本题是一含受控源RC一阶电路的分析计算，应用三要素法解题，分别计算出初始值，，稳态值，和时电路的时间常数后，按三要素公式进行计算便可得出结果。 电路图 电路 电路 图 4-7 例12-2电路图 [解题方法] （1）计算初始值和 根据换路定律得出 =V 作电路，如图 4-7（b）所示。应用网孔分析法，选定绕行方向为顺时针方向，列出网孔方程分别为 ① ② 应用克拉姆法则解上述网孔方程组得出 A （2）计算稳态值和 作出电路，如图 4-7（c）所示，列回路KVL方程为 得出 A V （3）计算时电路的时间常数 先求电容元件C断开后电路的戴维南等效电阻。求电路如图 4-7（d）所示，是含受控源电路，应用伏安关系，端口外加电压源电压为，产生输入电流为。列KVL方程为 故 时间常数为 s (4) 按三要素公式计算和 V A (二)部分练习题解答 练习题4-3 如图(a)所示电路，t=0时刻开关K打开，换路前电路处于稳态。试求换路后的初始值 (a) (b) 练习题12-3的图 解 (1)计算 由于换路前电路处于稳态，则 故按换路定律得出 (2)计算 作电路，如图(b)所示。则有 练习题4-5 在RC电路电容放电过程中，，要求在放电开始后0.8秒内放电过程基本结束。问放电回路中电阻R是多少？ 解 若经过时间放电过程基本结束，则 因，则有 练习题4-8 如图所示电路，t=0时刻开关K闭合，开关闭合前电路处于未充电。 问开关闭合后经1ms时间的电容电压是多少？ 练习题4-8 的图 解 (1)当电容元件断开后电路的戴维南等效电路： (2)计算电路的时间常数： (3)电容的充电电压为 t≥0 (4)当时，电容电压为 练习题4-9 如图所示电路，当t=0时刻开关闭合，换路前电路处于稳态。求t≥0时电感电流(t)和电压(t)和(t)。 练习题4-9 图 解 (1)= (2)=== (3)= t≥0 ==() t≥0 =3 t≥0 练习题4-13 如图所示电路，当t=0时刻开关闭合，开关闭合前电路处于稳态。求t≥0时电流。 解 应用叠加定理解题。 (1)2电流源作用于电路时，因换路前电流源已作用于电路，且已处于稳态，故 =2 t≥0 练习题4-13 图 (2)10V电压源单独作用于零状态电路时，t≥0电路中的电感电流为 (1) t≥0 (3)进行叠加得出电感电流为 =+ =+ t≥0 练习题4-21 如图(a)所示电路。,输入如图(b)所示波形电流求完全响应。 练习题4-21 图 解 (1)求阶跃响应，即零状态响应 电流用延时阶跃函数表示为 =9(t-2)-9(t-4) 当9(t-2)电流作用时的阶跃响应为 [1-] =3[](t-2) 当-9(t-4)电流作用时的阶跃响应为 [] =[]() 故阶跃响应为 =3[](t-2)[]() (2) 零输入响应 在初始状态=2作用电路的响应为 ==2 (3) 完全响应为 =+ =3[](t-2)-3[](t-4)+2 练习题4-29 如图所示电路。当t=0时刻开关K闭合，电路进行充电，开关闭合前电路中无储能。求t≥0时和. 练习题4-29图 解 (1) 计算电路的固有频率 Hz (2) 齐次微分方程的通解为 非齐次微分方程的特解为 完全解为 +=6+ (3) 确定积分常数K1和K2 初始状态：=0，=0 初始条件：=0 当t=0时刻，有 =6+=0 =-6 对式(t)求导并取t=0值为 故解出响应电容电压为 (4)求响应电流(t) 本题解题中应用的三角函数公式有： (三)部分习题解答 3.如图4-86所示电路，时刻换路，开关触头离a闭合与b，换路前电路处于稳态。(1)列出t≥0时以为变量的微分方程；(2)求t≥0时和；(3)计算出，和时刻电容中的储能。 解 (1) t≥0时电路的微分方程为 t≥0时响应和 t≥0 t≥0 (3) 计算各时刻的储能 t=0时刻： t=5ms时刻： t=10ms时刻： t=20ms时刻： 8.如图4-89所示电路，时刻开关K打开，开关动作前电路处于稳态，求≥0时以为变量的微分方程；(2)求t≥0时；(3)计算出时刻电感中的磁场能量。 解 (1) t≥0时电路的微分方程为 (2) t≥0时的电流为 由于换路前电路处于稳态，则有 故得出 t≥0 (3) 计算各时刻的储能 t=0ms时刻： t=0.2ms时刻： t=0.5ms时刻： t=1ms时刻： 12.一个电感线圈被短接后，经过1秒时间，电感中的电流衰减初始值的36.8﹪。如果经过10电阻串联短接时，则经过0.5秒后电感中的电流衰减初始值的36.8﹪。问线圈的电阻R是多少欧姆？ 解 (1)线圈被短接后，经过1秒电感电流减到初始值的36.8﹪，即为1的时间。故此 时电路的时间常数，即 (2)经过电阻串联短接时，则经过0.5秒后电感中的电流衰减初始值的36.8﹪，即为1的时间。故此时电路的时间常数，即 (3)由上两式可知 故 13.图所示是直流单臂电桥原理图，用来测量电感线圈的直流电阻。已知当电桥平衡时，被测线圈电阻，按规定，在完毕后，先打开开关，然后打开开关。如果错误地将顺序搞反，先打开开关，然后打开开关时，问打开瞬间检流计G是否安全(设检流计最大可测电流为10)? 解 电桥平衡时，电感线圈电阻为 这时线圈中通过的电流为 如果将开关先打开，此瞬间电感电流不能跃变，仍为，又由于，，则电流在换路瞬间通过检流计G，远远超过检流计的额定电流，这时不允许的。 25.如图4.103(a)所示电路。时刻换路开关K闭合，开关闭合前电路处于稳态。求t≥0时和. 解 应用三要素解题。 (1)求初始值 由于换路前电路处于稳态，做出电路，如图4-103(b)所示。列KVL方程为 求，做出电路，如图4-103(c)所示。列节点方程为 故解出 V (2)求稳态值和 作电路，如图4-103(b)所示。求列节点方程为 故解出 (3)求时间常数 先求，作电压源置零，电感元件两端断开后求电路，如图4-103(d)所示。应用伏安关系法，端口外加电压源U，产生输入电流I，列KVL方程为 故解出 (4)应用三要素公式得出 t≥0 V t≥0 26.如图4-105所示电路，时刻换路，开关K触头离a闭合与b，电源电压初相为，换路前电路处于稳态。求换路后 解 (1)初始值 由于换路前电路处于直流稳态，则 V (2)求稳态值 由于换路后电路接入正弦交流电压，故应用相量法求稳态电容电压。 V 故得出 V V (3)电路的时间常数为 (4) t≥0时的电容电压为 V t≥0 电容电流为 t≥0 4.36. RLC并联电路，R为4.5三种情况时，电路的固有响应。 解 以为变量按KCL和元件VAR列出t≥0时电路的微分方程为 特征方程为 特征根，即固有频率为 (1)若时，固有频率为 1/s 固有响应为 确定积分常数 初始状态： 初始条件： 当t=0时刻： ① ② 联立解式①，②得出 解出最后固有响应 t≥0 t≥0 (2)若时，固有频率为 1/s 固有响应为 确定积分常数 初始状态仍为： 当t=0时刻： 解出最后固有响应 t≥0 (3)若时，固有频率为 1/s 固有响应为 确定积分常数 初始条件为： 当t=0时刻： 解出最后固有响应 t≥0 或 t≥0 本 章 小 结 1.换路定律(电容、电感的重要性质) 在和为有限值条件下,换路时刻电容电压和电感电流发生跃变，即 , 2.过渡过程的物理实质 RC，RL电路过渡过程的物理实质,是储能从少(多)到多(少)的增长(减少)的过程。表现为，的增长(减少)过程。按指数规律变化。 其他量的变化服从于或的变化。 RLC电路,两种储能元件储能可以交换,视电路中电阻的大小，，或为振荡性变化或为非振荡性变化。 3.计算方法 （1）三要素法 （2）经典法（普通适用） 解微分方程： （a）列电路方程 （b）得特征方程 （c）求特征根 （d）确定通解的模式 （e）求特解，一般与输入形式相同 （f）根据初始条件，确定通解中的常数 4.两种观点 （1）过渡过程的观点 响应=暂态响应（通解）+稳态响应（特解） （2）因果观点（普通适用） 响应=零输入响应+零状态响应

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