初等数学研究学年论文.doc

浅谈因式分解的解题方法和技巧刘永青 系别：数学系 专业：数学与应用数学 班级：1501班 学号：20150403122 5摘 要 因式分解在初中数学中占据着重要的地位，它是我们解决一元二次方程和高次方程必不可少的方法，对于分式的运算也影响甚大。本文主要是讲述因式分解的解题方法和技巧。通过由浅入深，循循渐进地介绍提公因式法、分组分解法、十字相乘法等解题方法。理论结合例题，使这些方法更加易于理解。关键词 多项式；因式分解；例题；方法1 引言众所周知，因式分解是中学数学里最重要的恒等变形之一。在初等数学中，因式分解被广泛应用。它是我们在解题中不可缺少的有力工具。然而，在因式分解的学习过程中有太多的坎坷。这是由因式分解方法灵活、技巧性强的特点所决定的。这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，对于以后学习的其他代数内容（如：分式）也是不可缺少的前提条件。这些方法和技巧对提高解题技能和思维能力，都有着十分独特的作用。那么在因式分解的常规解题中有哪些方法和技巧呢？我们又该侧重于哪些解题方法？在什么情况下应该用什么方法？现在，就请和我一起在本文中寻找这些问题的答案吧。2 因式分解的概念、解题方法和技巧首先我们要了解什么叫因式分解。教材中是这样定义的：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。2.1 提公因式法如果多项式各项都有公因式，那么我们可以把每项的公共部分提取出来。这种把公因式提出来再进行因式分解的方法就是提公因式法。注意提取之后的式子若能分解要继续分解，直到不能再继续分解。现在通过一个例子来看看这种简单的方法是怎样使用的。例1.分解因式： 分析：一眼看过去很显然这个多项式每项都有，这就是我们讲的多项式中的公因式。先将其从每一项拿出来，会发现剩下的仍然可以分解，那么就要将继续分解。小结：当你发现一个多项式的每一项都有公因式，这时就可以考虑提公因式法。注意分解一定要彻底。提供因式法在因式分解中是最基本的方法，是要掌握的基础解法之一。提公因式后的多项式又怎么分解呢？这就需要我们后面的方法了。例如下面介绍的公式法。2.2 公式法那么什么情况下用公式法呢？如果多项式满足特殊公式的结构特征，就可以套用公式来进行解题。所以对于一些常用公式我们要做到胸有成足，这样才能在解题时从容不迫。除了教材上一些基本的公式之外，教材以外的一些公式在解题中有些时候也可以起到事半功倍的作用。现在将这些公式归纳如下： （n为奇数）说明：由因式定理，即对一元多项式，若，则一定含有一次因式。可判断当n是偶数时，当，时，均有。所以中一定含有和因式1。公式法怎样使用？现在来看以下例题。例2.分解因式：分析：显然可以将其用完全平方差公式进行分解，但是需要注意16要看作4 的平方。例3. 分解因式分析：本题我们可以使用公式法。观察就能发现这里可以用完全平方公式，后再使用我们熟悉的完全平方差公式。 小结：对于满足特殊公式的结构特征的多项式，我们提倡用公式法来因式分解。那么就需要我们有很强的观察力，有时候还需要我们无中生有，通过添项减项的方法来使多项式具有某些特殊公式的结构特征。这种方法在之后会介绍。2.3 分组分解法当多项式的项数太多的时候 ，首先可以对其进行分组，达到因式分解的目的。有可能要综合其他方法，分组的方法也不一定就是唯一的。通过下面的一些例题来看看分组分解法如何在解题中应用。例4.分解因式：思考：观察发现，第一项和第二项相差，第三项和第四项也相差，第四项和第五项亦是如此。那么我们就可以两项一组，用分组分解法来因式分解。例5.分解因式：思考：先根据系数特征进行分组，然后用完全平方差公式分解因式。小结：当多项式的项数太多时，可以对其进行分组，达到因式分解的目的。有可能要综合其他方法，分组的方法也不一定就是唯一的。通过仔细观察就可帮助我们合理地分组，这样对解题来说也能少走弯路。2.4 十字相乘法对于那些形如的二次三项式，可以考虑用十字相乘法。对于二次项系数为一的二次三项式也可使用。即也可使用十字相乘法进行因式分解。下面来看一些例题。例6.因式分解：（1）（2）思考：考虑使用十字相乘法。（1） x 2 （2） 2x 1x -3 3x -5小结：对于那些形如的二次多项式，十字相乘法是我们的不二选择。此法简便易懂，在一些稍显复杂的二次三项式分解中有着惊人的效果。对于形如的多项式，我们也可以使用十字相乘法来进行解题2。十字相乘法在因式分解中是一种很重要的方法，需要好好掌握才对。2.5 双十字相乘法在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如，也是可以运用十字相乘法分解因式，其具体的步骤为：（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次多项式，得到一个十字相乘图。（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个字中的左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项3。来看下面的例题，看看双十字相乘法是怎样在解题中运用的。例7.因式分解（1） (2) (3) (4) 思考：（1） 2x -3y+1 （2）x -5y+2 （3）0 b+1 （4） 2x -3y+z 2x y-3 x 2y-1 a b-2 3x y-2z小结：对于像二次六项式，这些看起来比较地复杂的多项式。可以使用双十字相乘法。这也是因式分解问题中的重要解题技巧之一。2.6 拆项、添项法如果你遇到的一个多项式很难使用以上的方法分解，那你就要另辟蹊径了。这里将要向你介绍的“拆项、添项法”将会让你在因式分解中如鱼得水。对于一些多项式不能直接因式分解的情况，可以考虑把其中的某项拆成两项之差或之和。再应用分组法、公式法等进行因式分解，其中拆项、添项方法并不是唯一的，可以有许多不同途径。对于具体问题才能具体分析，选择简便的分解方法。现在我们就在下面的问题中看看“添项、拆项法”是怎样具体操作的。例8 .分解因式：思考：仔细观察后发现，如果减一项，再加上一项。再把3x看作-x和4x。此题就能进行因式分解了。反思：如果例题改为，那么本题又可以怎样分解因式?现在我们来整理一下思路，从这些方面思考即可。解法一：把-4看做-1和-3的和。原式可化为。解法二：添再减去。原式可化为。解法三：添4x再减去4x。原式可化为。解法四：把看做。原式可化为。解法五：把看做。原式可化为。现在我们就用解法四来做。小结：如果一个多项式很难因式分解，就可以考虑将其中的某项拆成若干项。或是添项再减项。然后再用前面讲过的分组分解法以及十字相乘法等方法，这样就可以解决问题了。2.7 换元法什么是换元法？在初等数学中这样定义：在某一具有数量关系的事件中，一个量可以用其他相等的量替换。利用这个方法有时可以简化多项式因式分解的过程。现在来看一些例题，了解因式分解中换元法的应用。例9.因式分解：思考：按照常规的想法来做此题，我们可能会先把它乘出来。观察一下就会发现，这样做可能会又费时又难做。做对了还好，要是错了可是赔了夫人又折兵。这时可以考虑换元法来解此题。注意到，还有 。所以可以考虑换元法解此题。反思：在本题中换元的方法还可以有这些：、和。不同的方法做出来的结果是一样的，可是计算的过程不是一样的。会有复杂和简单之分。所以我们换元的时候要尽量使换元后的多项式简化，不然换元法也就失去了它的意义4。本题中显然是进行换元之后计算比较简单。小结：在选择换元的对象时，要让换元后的式子较之前更加简化。不要忘了最后要将还原的内容带回原式，带回之后的式子如果能够继续分解，就要继续分解直至不能再分为止。2.8 待定系数法待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法，如果能确定代数式变形后的字母框架，只是字母的系数高不能确定，则可先用未知数表示字母系数，然后根据多项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程（组），解出这个方程（组）求出待定系数5。由于待定系数法应用非常之广，在此仅介绍一些简单应用。例10.分解因式：分析：这是一个二次六项式，可以考虑用双十字相乘法，现在用待定系数法来解此题。先分解。小结：如果能确定代数式变形后的字母框架，只是字母的系数高不能确定，则可考虑用待定系数法。待定系数法是一种解决代数式恒等变形的重要方法，技巧性很强。3 结论在本文中前后共介绍了八种方法，它们分别是提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、双十字相乘法、拆项添项法、换元法和待定系数法。这些方法有的是我们必须要熟练掌握的，如提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法等方法。有些方法是属于技巧性质的，如拆项添项法和换元法等方法。它们很重要，会让你觉得有一种“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。因式分解的方法形式多样、技巧性强。就拿本文中的例8来说，可以将一项拆成几项，而且不同的拆法有不同的拆法的好处；还可以添项，也有添项的好处。这又是因式分解技巧性和灵活性的体现。可见我们掌握方法，也要灵活应用。现在我们来总结因式分解的一般步骤：首先要仔细观察多项式，看它符合哪种方法描述的多项式：然后再用相应的解题方法对其进行因式分解。要注意分解一定要彻底，不能留有还可以分解的因式。参考文献1朱元生.因式分解的