高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件.ppt

第一章集合与常用逻辑用语 1 2命题及其关系 充分条件与必要条件 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想方法感悟提高 练出高分 思想与方法系列 基础知识自主学习 1 四种命题及相互关系 若q 则p 若 q 则 p 若 p 则 q 知识梳理 1 答案 2 四种命题的真假关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 2 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性没有关系 相同 答案 3 充分条件与必要条件 1 如果p q 则p是q的条件 同时q是p的条件 2 如果p q 但qp 则p是q的条件 3 如果p q 且q p 则p是q的条件 4 如果q p 且pq 则p是q的条件 5 如果pq 且qp 则p是q的既不充分又不必要条件 充分 必要 充分不必要 充要 必要不充分 答案 知识拓展 1 两个命题互为逆否命题 它们具有相同的真假性 2 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性没有关系 3 若a x p x b x q x 则 1 若a b 则p是q的充分条件 2 若a b 则p是q的必要条件 3 若a b 则p是q的充要条件 4 若a b 则p是q的充分不必要条件 5 若a b 则p是q的必要不充分条件 6 若ab且a b 则p是q的既不充分又不必要条件 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 x2 2x 3 0 是命题 3 若一个命题是真命题 则其逆否命题是真命题 4 当q是p的必要条件时 p是q的充分条件 5 当p是q的充要条件时 也可说成q成立当且仅当p成立 6 若p是q的充分不必要条件 则綈p是綈q的必要不充分条件 思考辨析 答案 1 命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是 a 若xy 则x2 y2 d 若x y 则x2 y2 解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系 得命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是 若x y 则x2 y2 b 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知命题p 若x 1 则向量a 1 x 与b x 2 x 共线 则在命题p的原命题 逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数为 a 0b 2c 3d 4解析向量a b共线 x x x 2 0 x 0或x 1 命题p为真 其逆命题为假 故在命题p的原命题 逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数为2 b 解析答案 1 2 3 4 5 3 2015 重庆 x 1 是 的 a 充要条件b 充分而不必要条件c 必要而不充分条件d 既不充分也不必要条件 解析x 1 x 2 3 x 2 1 x 1 故 x 1 是 成立的充分不必要条件 因此选b b 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知集合a 1 a b 1 2 3 则 a 3 是 a b 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析a 3时a 1 3 显然a b 但a b时 a 2或3 所以a正确 a 解析答案 1 2 3 4 5 5 下列命题 x 2是x2 4x 4 0的必要不充分条件 圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件 sin sin 是 的充要条件 ab 0是a 0的充分不必要条件 其中为真命题的是 填序号 答案 返回 1 2 3 4 5 题型分类深度剖析 例1 1 命题 若x y都是偶数 则x y也是偶数 的逆否命题是 a 若x y是偶数 则x与y不都是偶数b 若x y是偶数 则x与y都不是偶数c 若x y不是偶数 则x与y不都是偶数d 若x y不是偶数 则x与y都不是偶数解析由于 x y都是偶数 的否定表达是 x y不都是偶数 x y是偶数 的否定表达是 x y不是偶数 故原命题的逆否命题为 若x y不是偶数 则x y不都是偶数 c 题型一命题及其关系 解析答案 2 原命题为 若z1 z2互为共轭复数 则 z1 z2 关于其逆命题 否命题 逆否命题真假性的判断依次如下 正确的是 a 真 假 真b 假 假 真c 真 真 假d 假 假 假 b 解析先证原命题为真 当z1 z2互为共轭复数时 设z1 a bi a b r 则z2 a bi 原命题为真 故其逆否命题为真 再证其逆命题为假 取z1 1 z2 i 满足 z1 z2 但是z1 z2不互为共轭复数 其逆命题为假 故其否命题也为假 故选b 解析答案 思维升华 思维升华 1 写一个命题的其他三种命题时 需注意 对于不是 若p 则q 形式的命题 需先改写 若命题有大前提 写其他三种命题时需保留大前提 2 判断一个命题为真命题 要给出推理证明 判断一个命题是假命题 只需举出反例 3 根据 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 这一性质 当一个命题直接判断不易进行时 可转化为判断其等价命题的真假 c 跟踪训练1 解析答案 2 命题 若a2 b2 0 则a 0且b 0 的逆否命题是 a 若a2 b2 0 则a 0且b 0b 若a2 b2 0 则a 0或b 0c 若a 0且b 0 则a2 b2 0d 若a 0或b 0 则a2 b2 0解析 若a2 b2 0 则a 0且b 0 的逆否命题是 若a 0或b 0 则a2 b2 0 故选d d 解析答案 例2 1 2015 四川 设a b都是不等于1的正数 则 3a 3b 3 是 loga3 logb3 的 a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件解析根据指数函数的单调性得出a b的大小关系 然后进行判断 3a 3b 3 a b 1 此时loga33b 3 b 故 3a 3b 3 是 loga3 logb3 的充分不必要条件 题型二充分必要条件的判定 解析答案 2 已知a b c为 abc三个内角 则 cosa sina cosb sinb 是 c 90 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析由cosa sina cosb sinb两边平方 得sin2a sin2b 故a b或a b 故 cosa sina cosb sinb 是 c 90 的必要不充分条件 故选b b 解析答案 思维升华 思维升华 充要条件的三种判断方法 1 定义法 根据p q q p进行判断 2 集合法 根据p q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 3 等价转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性 把判断的命题转化为其逆否命题进行判断 这个方法特别适合以否定形式给出的问题 如 xy 1 是 x 1或y 1 的某种条件 即可转化为判断 x 1且y 1 是 xy 1 的某种条件 1 2015 陕西 sin cos 是 cos2 0 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 a 解析 sin cos cos2 cos2 sin2 0 cos2 0 cos sin sin cos 故选a 跟踪训练2 解析答案 2 若命题p k k z 命题q f x sin x 0 是偶函数 则p是q的 a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 所以p是q的充分条件 若函数f x sin x 0 是偶函数 则sin 1 所以p是q的必要条件 故p是q的充要条件 故选a a 解析答案 例3已知p x x2 8x 20 0 非空集合s x 1 m x 1 m 若x p是x s的必要条件 求m的取值范围 解由x2 8x 20 0 得 2 x 10 p x 2 x 10 由x p是x s的必要条件 知s p 当0 m 3时 x p是x s的必要条件 即所求m的取值范围是 0 3 题型三充分必要条件的应用 解析答案 1 本例条件不变 问是否存在实数m 使x p是x s的充要条件 解若x p是x s的充要条件 则p s 即不存在实数m 使x p是x s的充要条件 解析答案 引申探究 2 本例条件不变 若x 綈p是x 綈s的必要不充分条件 求实数m的取值范围 解由例题知p x 2 x 10 綈p是綈s的必要不充分条件 p s且sp 2 10 1 m 1 m m 9 即m的取值范围是 9 解析答案 思维升华 思维升华 充分条件 必要条件的应用 一般表现在参数问题的求解上 解题时需注意 1 把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 或不等式组 求解 2 要注意区间端点值的检验 1 ax2 2x 1 0至少有一个负实根的充要条件是 a 0 a 1b a 1c a 1d 0 a 1或a 0 跟踪训练3 解析答案 解析方法一当a 0时 原方程为一元一次方程2x 1 0 有一个负实根 当a 0时 原方程为一元二次方程 有实根的充要条件是 4 4a 0 即a 1 设此时方程的两根分别为x1 x2 解析答案 方法二 排除法 当a 0时 原方程有一个负实根 可以排除a d 当a 1时 原方程有两个相等的负实根 可以排除b 答案c 2 已知p m 15或m 3d m 5或m 3解析p m 1 x m 1 q 2 x 6 q是p的必要不充分条件 x m 1 x m 1 x 2 x 6 m的取值范围为 3 5 故选b b 解析答案 返回 思想与方法系列 典例 1 已知p a 1 2 1 q 任意x r ax2 ax 1 0 则p是q成立的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 1 等价转化思想在充要条件中的应用 思想与方法系列 解析答案 q 0 a 4 p是q成立的充分不必要条件 答案a 解析由 a 1 2 1解得0 a 2 p 0 a 2 当a 0时 ax2 ax 1 0对任意x r恒成立 2 已知条件p x2 2x 3 0 条件q x a 且綈q的一个充分不必要条件是綈p 则a的取值范围是 a 1 b 1 c 1 d 3 解析由x2 2x 3 0 得x1 由綈q的一个充分不必要条件是綈p 可知綈p是綈q的充分不必要条件 等价于q是p的充分不必要条件 x x a x x1 a 1 a 解析答案 温馨提醒 返回 1 本题用到的等价转化 将綈p 綈q之间的关系转化成p q之间的关系 将条件之间的关系转化成集合之间的关系 2 对一些复杂 生疏的问题 利用等价转化思想转化成简单 熟悉的问题 在解题中经常用到 温馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 写出一个命题的逆命题 否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论 然后按定义来写 在判断原命题 逆命题 否命题以及逆否命题的真假时 要借助原命题与其逆否命题同真或同假 逆命题与否命题同真或同假来判定 2 充要条件的几种判断方法 1 定义法 直接判断若p则q 若q则p的真假 2 等价法 即利用a b与綈b 綈a b a与綈a 綈b a b与綈b 綈a的等价关系 对于条件或结论是否定形式的命题 一般运用等价法 方法与技巧 3 利用集合间的包含关系判断 设a x p x b x q x 若a b 则p是q的充分条件或q是p的必要条件 若a b 则p是q的充分不必要条件 若a b 则p是q的充要条件 方法与技巧 1 当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时 必须保留大前提 2 判断命题的真假及写四种命题时 一定要明确命题的结构 可以先把命题改写成 若p 则q 的形式 3 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向 正确理解 p的一个充分而不必要条件是q 等语言 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 a 若一个数是负数 则它的平方不是正数 b 若一个数的平方是正数 则它是负数 c 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 d 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 解析依题意 得原命题的逆命题 若一个数的平方是正数 则它是负数 15 16 17 18 b 解析答案 2 2015 天津 设x r 则 1 x 2 是 x 2 1 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析由 x 2 1得1 x 3 所以1 x 2 1 x 3 但1 x 31 x 2 故选a a 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3 2015 浙江 设a b是实数 则 a b 0 是 ab 0 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析当a 3 b 1时 a b 0 但ab 0 故充分性不成立 当a 1 b 2时 ab 0 而a b 0 故必要性不成立 故选d d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4 下列结论错误的是 a 命题 若x2 3x 4 0 则x 4 的逆否命题为 若x 4 则x2 3x 4 0 b x 4 是 x2 3x 4 0 的充分条件c 命题 若m 0 则方程x2 x m 0有实根 的逆命题为真命题d 命题 若m2 n2 0 则m 0且n 0 的否命题是 若m2 n2 0 则m 0或n 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 所以不是真命题 故选c 答案c 解析c项命题的逆命题为 若方程x2 x m 0有实根 则m 0 若方程有实根 则 1 4m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5 已知a b是非空集合 条件甲 a b b 条件乙 a b 那么 a 甲是乙的充分不必要条件b 甲是乙的必要不充分条件c 甲是乙的充要条件d 甲是乙的既不充分也不必要条件解析若a b 则a b b 反之a b b 则a b 故甲是乙的必要不充分条件 故选b b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6 设四边形abcd的两条对角线为ac bd 则 四边形abcd为菱形 是 ac bd 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析因为菱形的对角线互相垂直 所以 四边形abcd为菱形 ac bd 所以 四边形abcd为菱形 是 ac bd 的充分条件 又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形 所以 ac bd 四边形abcd为菱形 所以 四边形abcd为菱形 不是 ac bd 的必要条件 综上 四边形abcd为菱形 是 ac bd 的充分不必要条件 答案a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7 a 5且b 5 是 a b 0 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析 a 5且b 5 推不出 a b 0 例如a 2 b 2时 a b 0 a b 0 推不出 a 5且b 5 例如a 5 b 6 故 a 5且b 5 是 a b 0 的既不充分也不必要条件 故选d d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8 33 故选a a 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 若a b 则ac2 bc2 则命题的原命题 逆命题 否命题和逆否命题中真命题的个数是 解析其中原命题和逆否命题为真命题 逆命题和否命题为假命题 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10 若xm 1是x2 2x 3 0的必要不充分条件 则实数m的取值范围是 解析由已知易得 x x2 2x 3 0 x xm 1 又 x x2 2x 3 0 x x3 0 2 0 m 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11 给定两个命题p q 若綈p是q的必要而不充分条件 则p是綈q的 条件 解析若綈p是q的必要不充分条件 则q 綈p但綈pq 其逆否命题为p 綈q但綈qp 所以p是綈q的充分不必要条件 充分不必要 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12 下列命题 若ac2 bc2 则a b 若sin sin 则 实数a 0 是 直线x 2ay 1和直线2x 2ay 1平行 的充要条件 若f x log2x 则f x 是偶函数 其中正确命题的序号是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析对于 ac2 bc2 c2 0 a b正确 对于 sin30 sin150 30 150 所以 错误 对于 l1 l2 a1b2 a2b1 即 2a 4a a 0且a1c2 a2c1 所以 正确 显然正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 故可得a 0 b 0 故b正确 选项c 需满足a b同为正数才成立 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 a p是q的必要条件 但不是q的充分条件b p是q的充分条件 但不是q的必要条件c p是q的充分必要条件d p既不是q的充分条件 也不是q的必要条件 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 故q成立 故p是q的充分条件 取a1 a2 an 0 则q成立 而p不成立 故p不是q的必要条件 故选b 答案b a1a2 a2a3 an 1an 2 a1a2 2 1 q2 q2n 4 2 解析若p成立 设a1 a2 an的公比为q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15 2015 浙江 设a b是有限集 定义 d a b card a b card a b 其中card a 表示有限集a中元素的个数 命题 对任意有限集a b a b 是 d a b 0 的充分必要条件 命题 对任意有限集a b c d a c d a b d b c a 命题 和命题 都成立b 命题 和命题 都不成立c 命题 成立 命题 不成立d 命题 不成立 命题 成立 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析命题 成立 若a b 则card a b card a b 所以d a b card a b card a b 0 反之可以把上述过程逆推 故 a b 是 d a b 0 的充分必要条件 命题 成立 由venn图 知card a b card a card b card a b d a c card a card c 2card a c d b c card b card c 2card b c d a b d b c d a c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 card a card b 2card a b card b card c 2card b c card a card c 2card a c 2card b 2card a b 2card b c 2card a c 2card b