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数论问题资料一、整数的离散性1：a，b都是自然数且，求a+b2：老师在黑板上写了七个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位）小明计算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其它都对了”那么，正确的得数应是多少？2、 整除的性质及余数的性质3：把一个凸n边形划分为黑白相间的三角形区域. 使得任意两个三角形区域要么有公共边（此时的三角形必是一黑一白）；要么有公共顶点；要么没有公共点. 而凸n边形的每条边都是某个黑三角形的边.证明：3 | n. 4：请找出所有的三位数，使它除以7,11,13的余数之和尽可能大.5：李叔叔和张伯伯家一共养了106只鸡，李叔叔家的鸡中有 是公鸡，张伯伯家的鸡中有是母鸡.他们两家一共养了多少只母鸡？ 6：有一些自然数n，满足：-n是3的倍数，-n是5的倍数，-n是2的倍数.请问：这样的n中最小的是多少？3、 位值原则及整除特征7：将一个自然数N接在任一自然数的右边（例如将2接在13的右边得到132），如果所得的新数都能被N整除，那么称N为“神奇数”，请求出所有的两位“神奇数”.8：已知a是各位数字相同的两位数, b是各位数字相同的两位数, c是各位数字相同的四位数, 且 . 求所有满足条件的.9：将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？10：一个四位数是18的倍数，任意交换它的数字顺序，仍能得到一个是18的倍数的四位数.问这样的四位数有几个？11：一个非零自然数是99的倍数，且数字和不是18的倍数，这个自然数最小是多少？4、 质数合数12：老师把一个两位质数的十位告诉了甲，个位告诉了乙.两人有如下对话：甲：我不知道这个质数是多少.乙：我早就知道你不可能知道.甲：我还是不知道.乙：我也早就知道你刚才也不可能知道.甲：我终于知道了.求这个数是多少？13：有人说：“任何7个连续自然数中一定有质数”.请你举例子，说明这句话是错误的.14：用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？15：7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？16：求质数a、b、c使得15a+7ab+bc=abc五、按余数分类17：在黑板上写出3个自然数，然后任意擦去一个，换成其它两数之和，这样继续多次，最后得到46，74，120，问原来写的三个自然数能否是3，5，7？18：有这样的质数，它分别加上10和14仍为质数，你会求这样的质数吗？19：桌上放着四只杯口朝下的杯子，每次翻动三只.问：能否将四只杯子全变成杯口朝上？如能，怎样翻？如不能请说明理由.20：桌上放着5只杯口朝下的杯子，每次翻动4只.问：能否将5只杯子全变成杯口朝上？如能，怎样翻？如不能请说明理由.21：黑板上一共写了10040个数字，包括2006个1，2007个2，2008个3，2009个4，2010个5每次操作都擦去其中4个不同的数字并写上一个第5种数字（例如擦去1、2、3、4各1个，写上1个5；或者擦去2、3、4、5各一个，写上一个1；）. 如果经过有限次操作后，黑板上恰好剩下了两个数字，那么这两个数字的乘积是多少？22：(1)你能否把从1到7的所有各数安排在圆周上，使它们每个数都能被它的两个相邻数之差所整除?(2) 如果上述要求不变，但要把从1到7改为从1到9的各数呢? 23：最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数.24：一小和二小举行篮球对抗赛，一小甲、乙、丙三队参赛，二小A、B、C三队参赛.每队与对方一个队且只与对方一个队比赛一场，共三场比赛.已知：（1）3场比赛胜者都比负者多得11分（2） 甲队得分比A队多13分（3） 乙队得分与A队得分之和是72分（4） 乙队与C队得分之和是71分如果乙队在比赛中获胜，那么乙队的对手是哪个队？他们的比分是多少？6、 因数25、 一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个.那么，这个正整数是多少？26、蓝精灵王国的A、B两地的距离等于2010米.国王派1号信使从A地出发以1米/分的速度向B地送信.一分钟后又派出第2号信使用比1号信使快1米/分的速度向B送信，一般地，第分钟后又派出第号信使用比第号信使快1米/分的速度向B送信，直到第2009分钟后，派出第2010号信使用比第2009号快1米/分的速度向B送信.每个信使都是匀速行进.问其中那些号的信使能同时到达B地？7、 平方数27:试证不论a、b是什么整数，35a-45b+2都不可能是完全平方数28:一个四位数是一个完全平方数，并且前两位数字相等，后两位数字相等，求这个四位数29:从1！，2！，3!，.100!这100个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数.请问：被去掉的那个数是什么？30:是否存在一个完全平方数