2009年天津市高考数学试卷(理科).doc

2009年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）i是虚数单位，=（）A1+2iB12iC12iD1+2i2（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A6B7C8D233（5分）命题“存在x0R，2x210”的否定是（）A不存在x0R，2x0210B存在x0R，2x0210C对任意的xR，2x210D对任意的xR，2x2104（5分）设函数f（x）=xlnx（x0），则y=f（x）（）A在区间（，1），（l，e）内均有零点B在区间（，1），（l，e）内均无零点C在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点5（5分）阅读程序框图，则输出的S=（）A26B35C40D576（5分）设a0，b0若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A8B4C1D7（5分）已知函数f（x）=sin（x+）（xR，0）的最小正周期为，为了得到函数g（x）=cosx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度8（5分）已知函数f（x）=若f（2a2）f（a），则实数a的取值范围是（）A（，1）（2，+）B（1，2）C（2，1）D（，2）（1，+）9（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则BCF与ACF的面积之比=（）ABCD10（5分）0b1+a，若关于x的不等式（xb）2（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（）A1a0B0a1C1a3D2a3二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取名学生12（4分）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=13（4分）设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为14（4分）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay6=0（a0）的公共弦的长为，则a=15（4分）在四边形ABCD中，=（1，1），则四边形ABCD的面积是16（4分）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）三、解答题（共6小题，满分76分）17（12分）已知：ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA（1）求AB的值（2）求的值18（12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率19（12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD平面CDE；（3）求二面角ACDE的余弦值20（12分）已知函数f（x）=（x2+ax2a2+3a）ex（xR），其中aR（）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）当时，求函数f（x）的单调区间和极值21（14分）已知椭圆的两个焦点分别为F1（c，0）和F2（c，0）（c0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1AF2B，|F1A|=2|F2B|（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m0）在AF1C的外接圆上，求的值22（14分）已知等差数列an的公差为d（d0），等比数列bn的公比为q（q1）设sn=a1b1+a2b2+anbn，Tn=a1b1a2b2+（1）n1anbn，nN+，（1）若a1（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值；（）若b1（6）=1，证明（1q）S2n（1+q）T2n=，n（10）N+；（）若正数n满足2nq，设k1，k2，kn和l1，l2，ln是1，2，n的两个不同的排列，c1=ak1b1+ak2b2+aknbn，c2=al1b1+al2b2+alnbn证明c1c22009年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）（2009天津）i是虚数单位，=（）A1+2iB12iC12iD1+2i【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可【解答】解：，故选D2（5分）（2009天津）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A6B7C8D23【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值【解答】解：画出不等式表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以zmin=4+3=7，故选B3（5分）（2009天津）命题“存在x0R，2x210”的否定是（）A不存在x0R，2x0210B存在x0R，2x0210C对任意的xR，2x210D对任意的xR，2x210【分析】命题的否定只否定结论即可，不要与否命题混淆【解答】解：结论的否定形式为：2x210原命题的否定为：D故选D4（5分）（2009天津）设函数f（x）=xlnx（x0），则y=f（x）（）A在区间（，1），（l，e）内均有零点B在区间（，1），（l，e）内均无零点C在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案【解答】解：由题得，令f（x）0得x3；令f（x）0得0x3；f（x）=0得x=3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+）为增函数，在点x=3处有极小值1ln30；又，故选C5（5分）（2009天津）阅读程序框图，则输出的S=（）A26B35C40D57【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+14的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+14的值S=2+5+8+14=40故选C6（5分）（2009天津）设a0，b0若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A8B4C1D【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a3b=3，所以a+b=1，当且仅当即时“=”成立，故选择B7（5分）（2009天津）已知函数f（x）=sin（x+）（xR，0）的最小正周期为，为了得到函数g（x）=cosx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【分析】由周期函数的周期计算公式：，算得=2接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可【解答】解：由题知=2，所以，故选择A8（5分）（2009天津）已知函数f（x）=若f（2a2）f（a），则实数a的取值范围是（）A（，1）（2，+）B（1，2）C（2，1）D（，2）（1，+）【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（，+）上是单调递增函数，在由f（2a2）f（a），得2a2a 即a2+a20，解得2a1故选C9（5分）（2009天津）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则BCF与ACF的面积之比=（）ABCD【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得【解答】解：如图过B作准线l：x=的垂线，垂足分别为A1，B1，=，又B1BCA1AC、=，由拋物线定义=由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=，AB：y0=（x）把x=代入上式，求得yA=2，xA=2，|AF|=|AA1|=故=故选A10（5分）（2009天津）0b1+a，若关于x的不等式（xb）2（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（）A1a0B0a1C1a3D2a3【分析】要使关于x的不等式（xb）2（ax）2的解集中的整数恰有3个，那么此不等式的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，【解答】解：由题得不等式（xb）2（ax）2即（a21）x2+2bxb20，它的解应在两根之间，因此应有 a210，解得a1或a1，注意到0b1+a，从而a1，故有=4b2+4b2（a21）=4a2b20，不等式的解集为或（舍去）不等式的解集为，又由0b1+a得，故，这三个整数解必为2，1，02（a1）b3 （a1），注意到a1，并结合已知条件0b1+a故要满足题设条件，只需要2（a1）1+a，即a3即可，解得1a3故选：C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）（2009天津）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取40名学生【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果【解答】解：C专业的学生有1200380420=400，由分层抽样原理，应抽取名故答案为：4012（4分）（2009天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为a的等腰三角形，所以有故答案为：13（4分）（2009天津）设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为【分析】先求出直线的普通方程，再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可【解答】解析：由题直线l1的普通方程为3xy2=0，故它与l2的距离为故答案为14（4分）（2009天津）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay6=0（a0）的公共弦的长为，则a=1【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可【解答】解：由已知x2+y2+2ay6=0的半径为，圆心（0，a），公共弦所在的直线方程为，ay=1大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a=1故答案为：115（4分）（2009天津）在四边形ABCD中，=（1，1），则四边形ABCD的面积是【分析】根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，再由向量数量积运算的应用可得和，最终可得四边形ABCD的面积【解答】解：由题，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以cosBAD=，故sinBAD=，SABCD=（）2=故答案为：16（4分）（2009天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有324个（用数字作答）【分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题需要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：+=90种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：+=234种，根据分类计数原理得到共有90+234=324个故答案为：324三、解答题（共6小题，满分76分）17（12分）（2009天津）已知：ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA（1）求AB的值（2）求的值【分析】（1）根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系，即可得到答案（2）根据三边长可直接验证满足勾股定理进而得到ABC是Rt且ABC=90，从而可得到角A的正弦值和余弦值，再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案【解答】解：（1）在ABC中，sinC=2sinA由正弦定理得AB=2BC又BC=1AB=2（2）在ABC中，AB=2，BC=1，AB2+BC2=AC2ABC是Rt且ABC=90，=18（12分）（2009天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率【分析】（）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10件产品中任取3件的结果为C103，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73k，写出概率，分布列和期望（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果【解答】解：（）由题意知本题是一个古典概型，由于从10件产品中任取3件的结果为C103，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73k，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P（X=k）=，k=0，1，2，3随机变量X的分布列是 x 0 1 2 3 pX的数学期望EX=（）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1A2A3而，P（A2）=P（X=2）=，P（A3）=P（X=3）=，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=+=19（12分）（2009天津）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD平面CDE；（3）求二面角ACDE的余弦值【分析】（1）先将BF平移到CE，则CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）欲证平面AMD平面CDE，即证CE平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DMCE，MPCE；（3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证EQP为二面角ACDE的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可【解答】（1）解：由题设知，BFCE，所以CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角设P为AD的中点，连接EP，PC因为FE=AP，所以FA=EP，同理AB=PC又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD而PC，AD都在平面ABCD内，故EPPC，EPAD由ABAD，可得PCAD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故CED=60所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60（2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，所以DMCE连接MP，则MPCE又MPDM=M，故CE平面AMD而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ因为CE=DE，所以EQCD因为PC=PD，所以PQCD，故EQP为二面角ACDE的平面角可得，20（12分）（2009天津）已知函数f（x）=（x2+ax2a2+3a）ex（xR），其中aR（）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）当时，求函数f（x）的单调区间和极值【分析】（）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f（x），因为曲线的切点为（1，f（1），所以把x=1代入到f（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；（）令f（x）=0求出x的值为x=2a和x=a2，分两种情况讨论：当2aa2时和当2aa2时，讨论f（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值【解答】（）解：当a=0时，f（x）=x2ex，f（x）=（x2+2x）ex，故f（1）=3e，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为3e，f（1）=e，所以该切线方程为ye=3e（x1），整理得：3exy2e=0（）解：f（x）=x2+（a+2）x2a2+4aex令f（x）=0，解得x=2a，或x=a2由知，2aa2以下分两种情况讨论若a，则2aa2当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，a2）2a（2a，a2）a2（a2，+）f（x）+00+F（x）极大值极小值所以f（x）在（，2a），（a2，+）内是增函数，在（2a，a2）内是减函数函数f（x）在x=2a处取得极大值f（2a），且f（2a）=3ae2a函数f（x）在x=a2处取得极小值f（a2），且f（a2）=（43a）ea2若a，则2aa2，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，a2）a2（a2，2a）2a（2a，+）f（x）+00+F（x）极大值极小值所以f（x）在（，a2），（2a，+）内是增函数，在（a2，2a）内是减函数函数f（x）在x=a2处取得极大值f（a2），且f（a2）=（43a）ea2，函数f（x）在x=2a处取得极小值f（2a），且f（2a）=3ae2a21（14分）（2009天津）已知椭圆的两个焦点分别为F1（c，0）和F2（c，0）（c0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1AF2B，|F1A|=2|F2B|（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m0）在AF1C的外接圆上，求的值【分析】（1）由F1AF2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k2）x218k2cx+27k2c26c2=0再由根的判别式和根与系数的关系求解（III）解法一：当时，得，线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为由此可以推导出的值解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形由此入手可以推导出的值【解答】（1）解：由F1AF2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而整理，得a2=3c2，故离心率（2）解：由（I）得b2=a2c2=2c2，所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2设直线AB的方程为，即y=k（x3c）由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组消去y整理，得（2+3k2）x218k2cx+27k2c26c2=0依题意，而由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2联立解得，将x1，x2代入中，解得（III）解法一：由（II）可知当时，得，由已知得线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为直线F2B的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由m0，解得故当时，同理可得解法二：由（II）可知当时，得，由已知得由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，因为点H（m，n）在AF1C的外接圆上，且F1AF2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形由直线F2B的方程为，知点H的坐标为因为|AH|=|CF1|，所以，解得m=c（舍），或则，所以当时同理可得22（14分）（2009天津）已知等差数列an的公差为d（d0），等比数列bn的公比为q（q1）设sn=a1b1+a2b2+anbn，Tn=a1b1a2b2+（1）n1anbn，nN+，（1）若a1（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值