高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程1圆的极坐标方程学案含解析.docx

1圆的极坐标方程1曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(，)0，并且坐标适合方程f(，)0的点都在曲线C上，那么方程f(，)0叫做曲线C的极坐标方程(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤：建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式将列出的关系式整理、化简证明所得方程就是曲线的极坐标方程2圆的极坐标方程(1)圆心在C(a,0)(a0)，半径为a的圆的极坐标方程为2acos .(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为r.(3)圆心在点处且过极点的圆的方程为2asin_(0)圆的极坐标方程求圆心在(0，0)，半径为r的圆的方程结合圆的定义求其极坐标方程如图，在圆周上任取一点P，设其极坐标为(，)由余弦定理知：CP2OP2OC22OPOCcosCOP，故其极坐标方程为r2220cos(0)几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即00时，方程为r2220cos ，若再有0r，则其方程为20cos 2rcos ，若0r，00，则方程为2rcos(0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置1在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的方程是_解析：即在直角坐标系中以为圆心，为半径的圆，方程为x22.即：x2y2ay0，化为极坐标方程为：asin .答案：asin 2求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程解：设M(，)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，则有OB4，OM，MOB.BMO，从而BOM为直角三角形|OM|OB|cosMOB，即4cos4sin .极坐标方程与直角坐标方程的互化进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y24x；(2)x2y22x10；(3).将方程的互化转化为点的互化：(1)将xcos ，ysin 代入y24x，得(sin )24cos .化简，得sin24cos .(2)将xcos ，ysin 代入x2y22x10，得(cos )2(sin )22cos 10，化简，得22cos 10.(3)，2cos 1.2x1.化简，得3x24y22x10.在进行两种坐标方程间的互化时，要注意(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在02范围内求值(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形；否则，不是等价变形3把下列直角坐标方程化为极坐标方程(1)yx；(2)x2y21.解：(1)将xcos ，ysin 代入yx，得sin cos ，从而.(2)将xcos ，ysin 代入x2y21，得2cos22sin21，化简，得2.4把下列极坐标方程化为直角坐标方程(1)2cos 21；(2)2cos.解：(1)因为2cos 21，所以2cos22sin21.所以化为直角坐标方程为x2y21.(2)因为2cos cos2sin sincos sin ，所以2cos sin .所以化为直角坐标方程为x2y2xy0.课时跟踪检测(三)一、选择题1极坐标方程1表示()A直线 B射线 C圆 D半圆解析：选C1，21，x2y21.表示圆2极坐标方程sin 2cos 表示的曲线为()A直线 B圆 C椭圆 D双曲线解析：选B由sin 2cos ，得2sin 2cos ，x2y2y2x，即x2y22xy0，表示圆3在极坐标系中，方程6cos 表示的曲线是()A以点(3,0)为圆心，3为半径的圆B以点(3，)为圆心，3为半径的圆C以点(3,0)为圆心，3为半径的圆D以点为圆心，3为半径的圆解析：选C由6cos 得26cos ，即x2y26x0，表示以(3,0)为圆心，半径为3的圆4以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是()A2cos B2sinC2cos(1) D2sin(1)解析：选C在极坐标系中，圆心在(0，0)，半径为r的圆的方程为：r2220cos(0)，所以可得2cos(1)二、填空题5把圆的普通方程x2(y2)24化为极坐标方程为_解析：将xcos ，ysin 代入，得2cos22sin24sin 0，即4sin .答案：4sin 6已知圆的极坐标方程为2cos 2sin ，则圆心的极坐标是_解析：设圆心为(a，)(a0)，半径为a的圆的极坐标方程为2acos()因为2cos 2sin 4cos4cos4cos，所以此圆的圆心的极坐标为.答案：7已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|_.解析：由4cos 得24cos ，即x2y24x，即(x2)2y24，圆心C(2,0)，又由点P的极坐标为可得点P的直角坐标为(2,2)，|CP| 2.答案：2三、解答题8求极坐标方程所对应的直角坐标方程解：可化为，即.化简，得2cos .将互化公式代入，得x2y2(2x)2.整理可得y24(x1)9从极点O引定圆2cos 的弦OP，延长OP到Q使，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形解：设Q(，)，P(0，0)，则0，0.02cos 0，2cos ，即5cos ，它表示一个圆10O1和O2的极坐标方程分别为4cos ，4sin .(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程解：