高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时3 导数与函数的综合问题课件 文.ppt

3 2导数的应用 课时3导数与函数的综合问题 内容索引 题型一用导数解决与不等式有关的问题 题型二利用导数解决函数零点问题 题型三利用导数解决生活中的优化问题 审题路线图系列 练出高分 思想方法感悟提高 题型一用导数解决与不等式有关的问题 题型一用导数解决与不等式有关的问题 命题点1解不等式 又 2 0 当且仅当00 此时x2f x 0 又f x 为奇函数 h x x2f x 也为奇函数 故x2f x 0的解集为 2 0 2 2 0 2 解析答案 命题点2证明不等式 解析答案 又f 0 0 f 1 0 所以当x 0 1 时 f x 0 解析答案 记h x sinx x 则当x 0 1 时 h x cosx 1 0 所以h x 在 0 1 上是减函数 则h x h 0 0 即sinx x 命题点3不等式恒成立问题 解析答案 思维升华 又x 0 a xlnx x3 令g x xlnx x3 则h x g x 1 lnx 3x2 当x 1 时 h x 0 h x 在 1 上是减函数 h x h 1 2 0 即g x 0 g x 在 1 上也是减函数 g x g 1 1 当a 1时 f x x2在 1 上恒成立 思维升华 思维升华 1 利用导数解不等式 一般可构造函数 利用已知条件确定函数单调性解不等式 2 证明不等式f x g x 可构造函数f x f x g x 利用导数求f x 的值域 得到f x 0即可 3 利用导数研究不等式恒成立问题 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 设a r 已知函数f x ax3 3x2 1 当a 1时 求函数f x 的单调区间 跟踪训练1 解析答案 解当a 1时 f x x3 3x2 则f x 3x2 6x 由f x 0 得x2 由f x 0 得0 x 2 所以f x 的单调递增区间为 0 2 单调递减区间为 0 2 2 若对任意的x 1 3 有f x f x 0恒成立 求实数a的取值范围 解析答案 返回 返回 解依题意 对 x 1 3 ax3 3x2 3ax2 6x 0恒成立 所以h x 在区间 1 3 上是减函数 题型二利用导数解决函数零点问题 题型二利用导数解决函数零点问题 例4 2014 课标全国 已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 解f x 3x2 6x a f 0 a 曲线y f x 在点 0 2 处的切线方程为y ax 2 解析答案 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 解析答案 思维升华 证明由 1 知 f x x3 3x2 x 2 设g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知1 k 0 当x 0时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 10时 令h x x3 3x2 4 则g x h x 1 k x h x 解析答案 思维升华 h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 没有实根 综上 g x 0在r有唯一实根 即曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 思维升华 思维升华 研究方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 根据题目要求 画出函数图象的走势规律 标明函数极 最 值的位置 通过数形结合的思想去分析问题 可以使问题的求解有一个清晰 直观的整体展现 已知函数f x x2 xsinx cosx的图象与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 解f x x 2 cosx 令f x 0 得x 0 当x 0时 f x 0 f x 在 0 上递增 当x1时 曲线y f x 与直线y b有且仅有两个不同交点 综上可知 b的取值范围是 1 跟踪训练2 解析答案 返回 题型三利用导数解决生活中的优化问题 题型三利用导数解决生活中的优化问题 1 求a的值 解因为x 5时 y 11 解析答案 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解析答案 思维升华 解由 1 可知 该商品每日的销售量为 从而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 解析答案 思维升华 由上表可得 x 4时 函数f x 取得极大值 也是最大值 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 思维升华 思维升华 在求实际问题中的最大值或最小值时 一般先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数最值的方法求解 注意结果应与实际情况相符合 用导数求实际问题中的最大 小 值 如果函数在区间内只有一个极值点 那么根据实际意义可知该极值点就是最值点 解析由y x2 39x 40 0 得x 1或x 40 由于040时 y 0 所以当x 40时 y有最小值 40 跟踪训练3 解析答案 返回 审题路线图系列 1 如果存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m成立 求满足上述条件的最大整数m 审题路线图系列 一审条件挖隐含 审题路线图 解析答案 返回 温馨提醒 审题路线图 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m 正确理解 存在 的含义 g x1 g x2 max m 挖掘 g x1 g x2 max的隐含实质g x max g x min m 求得m的最大整数值 审题路线图 解析答案 温馨提醒 2 对任意s t 2 都有f s g t 理解 任意 的含义 f x min g x max 求得g x max 1 xlnx 1恒成立 分离参数aa x x2lnx恒成立 求h x x x2lnx的最大值a h x max h 1 1 a 1 解析答案 温馨提醒 规范解答解 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m成立 等价于 g x1 g x2 max m 2分 g x max g 2 1 又x 0 2 解析答案 温馨提醒 则满足条件的最大整数m 4 6分 解析答案 温馨提醒 所以h x max h 1 1 13分 所以a 1 即实数a的取值范围是 1 14分 温馨提醒 温馨提醒 返回 1 恒成立 存在性 问题一定要正确理解问题实质 深刻挖掘条件内含 进行等价转化 2 构造函数是求范围问题中的一种常用方法 解题过程中尽量采用分离参数的方法 转化为求函数的值域问题 思想方法感悟提高 1 用导数方法证明不等式f x g x 时 找到函数h x f x g x 的零点是解题的突破口 2 在讨论方程的根的个数 研究函数图象与x轴 或某直线 的交点个数 不等式恒成立等问题时 常常需要求出其中参数的取值范围 这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极 最 值的应用 3 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 方法与技巧 1 利用导数解决恒成立问题时 若分离参数后得到 a f x 恒成立 要根据f x 的值确定a的范围中端点能否取到 2 利用导数解决实际生活中的优化问题 要注意问题的实际意义 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 1 得x x 2 ax在区间 0 上恒成立 当x 0时 a r 当x 0时 有x 2 a恒成立 所以a 2 故a 2 由 2 得ln x 1 ax 0在区间 0 上恒成立 设h x ln x 1 ax x 0 解析答案 当a 0时 h x 0 故h x 为增函数 所以h x h 0 0恒成立 故h x 为减函数 所以h x h 0 0恒成立 显然不符合题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 当00 满足h x0 ln x0 1 ax0 0成立 则h x0 ln5 2 0成立 可知0 a 1时 不符合题意 故a 0 由 可知a的取值范围是 2 0 答案 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析构造函数h x xf x 则h x f x x f x y f x 是定义在r上的奇函数 h x 是定义在r上的偶函数 当x 0时 h x f x x f x 0 此时函数h x 单调递增 3 若商品的年利润y 万元 与年产量x 百万件 的函数关系式 y x3 27x 123 x 0 则获得最大利润时的年产量为 百万件 解析y 3x2 27 3 x 3 x 3 当00 当x 3时 y 0 故当x 3时 该商品的年利润最大 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1处有极值 则ab的最大值为 解析由题意得f x 12x2 2ax 2b f x 在x 1处有极值 f 1 12 2a 2b 0 a b 6 a 0 b 0 9 当且仅当a b 3时取等号 易知此时f x 在x 1处有极小值 满足题意 ab的最大值为9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 所以2x 2b 0 于x2 2a 0在x a b 上恒成立 x2 2a 0的解集为 解析由题意知f x x2 2a g x 2x 2b 函数f x 与g x 在区间 a b 上单调性相反 则有 x2 2a 2x 2b 0在x a b 上恒成立 又0 a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 f x 2ax b f 0 b 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 设函数f x 是定义在 0 上的可导函数 其导函数为f x 且有2f x xf x x2 则不等式 x 2014 2f x 2014 4f 2 0的解集为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由2f x xf x x2 x0 即为f x 2014 f 2 0 即f x 2014 f 2 又因为f x 在 0 上是减函数 所以x 2014 2 所以x 2016 答案 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 若对于任意实数x 0 函数f x ex ax恒大于零 则实数a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 当x 0时 f x ex ax 0恒成立 若x 0 a为任意实数 f x ex ax 0恒成立 若x 0 f x ex ax 0恒成立 当x 0 1 时 q x 0 则q x 在 0 1 上单调递增 当x 1 时 q x 0恒成立 a的取值范围为 e 答案 e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解由f x ex 2x 2a x r 知f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 2ln2 2a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 证明设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a x r 由 1 知当a ln2 1时 g x 取最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为v立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将v表示成r的函数v r 并求该函数的定义域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解因为蓄水池侧面的总成本为100 2 rh 200 rh元 底面的总成本为160 r2元 所以蓄水池的总成本为 200 rh 160 r2 元 又根据题意200 rh 160 r2 12000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 讨论函数v r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 令v r 0 解得r 5或 5 因为r 5不在定义域内 舍去 当r 0 5 时 v r 0 故v r 在 0 5 上为增函数 由此可知 v r 在r 5处取得最大值 此时h 8 即当r 5 h 8时 该蓄水池的体积最大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 11 设函数f x ax2 bx c a b c r 若x 1为函数g x f x ex的一个极值点 则下列图象不可能为y f x 的图象的是 填序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 c a 0 c a f x ax2 bx a 若方程ax2 bx a 0有两根x1 x2 答案 解析设h x f x ex 则h x 2ax b ex ax2 bx c ex ax2 2ax bx b c ex 由x 1为函数f x ex的一个极值点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 已知函数f x ax3 3x 1对x 0 1 总有f x 0成立 则实数a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 g x 与g x 随x的变化情况如下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 因此g x 的最大值为4 则实数a的取值范围是 4 答案 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 则a的取