高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线课件 理.ppt

第九章平面解析几何 9 7抛物线 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 答题模板系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 抛物线的概念平面内到一个定点f和一条定直线l f不在l上 的距离的点的轨迹叫做抛物线 定点f叫做抛物线的 定直线l叫做抛物线的 相等 准线 焦点 知识梳理 1 答案 2 抛物线的标准方程与几何性质 知识拓展 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 3 抛物线既是中心对称图形 又是轴对称图形 思考辨析 答案 5 过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径 那么抛物线x2 2ay a 0 的通径长为2a 答案 1 0 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 1 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点o 并且经过点m 2 y0 若点m到该抛物线焦点的距离为3 则om 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析设抛物线方程为y2 2px p 0 4 教材改编 已知抛物线的顶点是原点 对称轴为坐标轴 并且经过点p 2 4 则该抛物线的标准方程为 解析设抛物线方程为y2 2px p 0 或x2 2py p 0 将p 2 4 代入 分别得方程为y2 8x或x2 y y2 8x或x2 y 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知点a 2 3 在抛物线c y2 2px的准线上 过点a的直线与c在第一象限相切于点b 记c的焦点为f 则直线bf的斜率为 1 2 3 4 5 解析答案 返回 解析 a 2 3 在抛物线y2 2px的准线上 得y2 8my 24m 16 0 则 8m 2 4 24m 16 0 即2m2 3m 2 0 设直线ab的方程为x m y 3 2 1 2 3 4 5 解析答案 返回 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1已知抛物线y2 2x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求pa pf的最小值 并求出取最小值时点p的坐标 题型一抛物线的定义及应用 解析答案 解将x 3代入抛物线方程y2 2x 解析答案 将本例中点a的坐标改为 3 4 求pa pf的最小值 解当p a f共线时 pa pf最小 引申探究 解析答案 思维升华 思维升华 与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性 因此此类问题也有一定的难度 看到准线想焦点 看到焦点想准线 这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 1 设抛物线x2 12y的焦点为f 经过点p 2 1 的直线l与抛物线相交于a b两点 又知点p恰为ab的中点 则af bf 解析分别过点a b p作准线的垂线 垂足分别为m n q 根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离 得af bf am bn 2pq 8 8 跟踪训练1 解析答案 2 设p是抛物线y2 4x上的一个动点 若b 3 2 则pb pf的最小值为 解析如图 过点b作bq垂直准线于q 交抛物线于点p1 则p1q p1f 则有pb pf p1b p1q bq 4 即pb pf的最小值为4 4 解析答案 命题点1求抛物线的标准方程 题型二抛物线的标准方程和几何性质 解析答案 解析答案 p 8 故c2的方程为x2 16y 答案x2 16y 命题点2抛物线的几何性质 例3过抛物线y2 4x的焦点f的直线交该抛物线于a b两点 o为坐标原点 若af 3 则 aob的面积为 解析答案 思维升华 解析由题意设a x1 y1 b x2 y2 y1 0 y2 0 如图所示 af x1 1 3 思维升华 思维升华 1 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法 其关键是判断焦点位置 开口方向 在方程的类型已经确定的前提下 由于标准方程只有一个参数p 只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 2 在解决与抛物线的性质有关的问题时 要注意利用几何图形的形象 直观的特点来解题 特别是涉及焦点 顶点 准线的问题更是如此 1 2015 陕西 若抛物线y2 2px p 0 的准线经过双曲线x2 y2 1的一个焦点 则p 跟踪训练2 解析答案 解析答案 代入y2 2px 解析答案 则y1 y2是方程 的两个实数根 所以y1y2 p2 解析答案 以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 证明设ab的中点为m x0 y0 分别过a b作准线的垂线 垂足为c d 过m作准线的垂线 垂足为n 所以以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 解析答案 命题点1直线与抛物线的交点问题 题型三直线与抛物线的综合问题 解析答案 解析抛物线c的焦点为f 2 0 则直线方程为y k x 2 与抛物线方程联立 消去y化简得k2x2 4k2 8 x 4k2 0 设点a x1 y1 b x2 y2 y1y2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 16 解析答案 将上面各个量代入 化简得k2 4k 4 0 所以k 2 答案2 命题点2与抛物线弦的中点有关的问题 例5已知抛物线c y mx2 m 0 焦点为f 直线2x y 2 0交抛物线c于a b两点 p是线段ab的中点 过p作x轴的垂线交抛物线c于点q 1 求抛物线c的焦点坐标 解析答案 2 若抛物线c上有一点r xr 2 到焦点f的距离为3 求此时m的值 解析答案 3 是否存在实数m 使 abq是以q为直角顶点的直角三角形 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 解析答案 思维升华 消去y得mx2 2x 2 0 解析答案 解析答案 存在实数m 2 使 abq是以q为直角顶点的直角三角形 思维升华 思维升华 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式ab x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系采用 设而不求 整体代入 等解法 提醒 涉及弦的中点 斜率时一般用 点差法 求解 跟踪训练3 解析答案 解得p 2 舍去 或p 2 所以c的方程为y2 4x 2 过f的直线l与c相交于a b两点 若ab的垂直平分线l 与c相交于m n两点 且a m b n四点在同一圆上 求l的方程 解析答案 返回 解依题意知l与坐标轴不垂直 故可设l的方程为x my 1 m 0 代入y2 4x 得y2 4my 4 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 4m y1y2 4 故ab的中点为d 2m2 1 2m 解析答案 设m x3 y3 n x4 y4 解析答案 化简得m2 1 0 解得m 1或m 1 所求直线l的方程为x y 1 0或x y 1 0 返回 答题模板系列 典例 16分 2014 山东 已知抛物线c y2 2px p 0 的焦点为f a为c上异于原点的任意一点 过点a的直线l交c于另一点b 交x轴的正半轴于点d 且有fa fd 当点a的横坐标为3时 adf为正三角形 1 求c的方程 7 直线与圆锥曲线问题的求解策略 答题模板系列 解析答案 规范解答 解析答案 因为fa fd 解得t 3 p或t 3 舍去 所以抛物线c的方程为y2 4x 4分 2 若直线l1 l 且l1和c有且只有一个公共点e 证明直线ae过定点 并求出定点坐标 解析答案 解由 1 知f 1 0 设a x0 y0 x0y0 0 d xd 0 xd 0 因为fa fd 则 xd 1 x0 1 由xd 0得xd x0 2 故d x0 2 0 因为直线l1和直线ab平行 解析答案 解析答案 直线ae恒过点f 1 0 所以直线ae过定点f 1 0 10分 abe的面积是否存在最小值 若存在 请求出最小值 若不存在 请说明理由 答题模板 温馨提醒 返回 解析答案 解由 知直线ae过焦点f 1 0 设直线ae的方程为x my 1 答题模板 温馨提醒 解析答案 答题模板 温馨提醒 解析答案 所以 abe的面积的最小值为16 16分 答题模板 温馨提醒 答题模板 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步 联立方程 得关于x或y的一元二次方程 第二步 写出根与系数的关系 并求出 0时参数范围 或指出直线过曲线内一点 第三步 根据题目要求列出关于x1x2 x1 x2 或y1y2 y1 y2 的关系式 求得结果 第四步 反思回顾 查看有无忽略特殊情况 温馨提醒 温馨提醒 1 解决直线与圆锥曲线结合的问题 一般都采用设而不求的方法 联立方程 由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系 2 在解决此类问题时常用到焦半径 弦长公式 对于距离问题 往往通过定义进行转化 3 利用 点差法 可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系 从而求直线斜率 返回 思想方法感悟提高 1 认真区分四种形式的标准方程 1 区分y ax2与y2 2px p 0 前者不是抛物线的标准方程 2 求标准方程要先确定形式 必要时要进行分类讨论 标准方程有时可设为y2 mx m 0 或x2 my m 0 2 抛物线的离心率e 1 体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 因此 涉及抛物线的焦半径 焦点弦问题 可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离 这样就可以使问题简化 方法与技巧 1 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p值 但首先要判断抛物线是否为标准方程 以及是哪一种标准方程 2 注意应用抛物线的定义解决问题 3 直线与抛物线结合的问题 不要忘记验证判别式 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a b两点 若线段ab的中点的纵坐标为2 则该抛物线的准线方程为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 抛物线的方程为y2 4x 其准线方程为x 1 答案x 1 即y2 2py p2 0 设a x1 y1 b x2 y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 y1 p y2 p y1y2 p2 解析 若焦点弦ab x轴 解析答案 若焦点弦ab不垂直于x轴 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 2015 浙江改编 如图 设抛物线y2 4x的焦点为f 不经过焦点的直线上有三个不同的点a b c 其中点a b在抛物线上 点c在y轴上 则 bcf与 acf的面积之比是 填序号 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在 can中 bm an 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 2014 课标全国 改编 设f为抛物线c y2 3x的焦点 过f且倾斜角为30 的直线交c于a b两点 则ab 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 如图 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f的直线交抛物线于点a b 交其准线l于点c 若bc 2bf 且af 3 则此抛物线的方程为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析如图 分别过a b作aa1 l于a1 bb1 l于b1 由抛物线的定义知 af aa1 bf bb1 bc 2bf bc 2bb1 bcb1 30 afx 60 连结a1f 则 aa1f为等边三角形 过f作ff1 aa1于f1 则f1为aa1的中点 设l交x轴于k 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 抛物线方程为y2 3x 答案y2 3x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 已知一条过点p 2 1 的直线与抛物线y2 2x交于a b两点 且p是弦ab的中点 则直线ab的方程为 解析依题意 设点a x1 y1 b x2 y2 直线ab的斜率为1 直线ab的方程是y 1 x 2 即x y 1 0 x y 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 如图 已知抛物线y2 2px p 0 有一个内接直角三角形 直角顶点在原点 两直角边oa与ob的长分别为1和8 求抛物线的方程 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设直线oa的方程为y kx k 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由oa 1 ob 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 2015 福建 已知点f为抛物线e y2 2px p 0 的焦点 点a 2 m 在抛物线e上 且af 3 1 求抛物线e的方程 所以抛物线e的方程为y2 4x 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 已知点g 1 0 延长af交抛物线e于点b 证明 以点f为圆心且与直线ga相切的圆 必与直线gb相切 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法一证明因为点a 2 m 在抛物线e y2 4x上 得2x2 5x 2 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以kga kgb 0 从而 agf bgf 这表明点f到直线ga gb的距离相等 故以f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为点a 2 m 在抛物线e y2 4x上 方法二证明设以点f为圆心且与直线ga相切的圆的半径为r 得2x2 5x 2 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又g 1 0 这表明以点f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 2015 四川改编 设直线l与抛物线y2 4x相交于a b两点 与圆 x 5 2 y2 r2 r 0 相切于点m 且m为线段ab的中点 若这样的直线l恰有4条 则r的取值范围是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当l的斜率不存在时 符合条件的直线l必有两条 当直线l的斜率k存在时 如图x1 x2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 将x 3代入y2 4x 得y2 12 点m在圆上 答案 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析如图 设a m2 m b n2 n 点c为直线ab与x轴的交点 lab m2 n2 y n m n x n2 即 m n y n x n2 令y 0 解得x mn 2 c 2 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故 abo与 afo面积之和的最小值为3 答案3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 抛物线c x2 8y与直线y 2x 2相交于a b两点 点p是抛物线c上异于a b的一点 若直线pa pb分别与直线y 2相交于点q r o为坐标原点 则 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 将y 2x 2代入x2 8y得x2 16x 16 0 则x1 x2 x1x2 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 2014 江西 如图 已知抛物线c x2 4y 过点m 0 2 任作一直线与c相交于a b两点 过点b作y轴的平行线与直线ao相交于点d o为坐标原点 1 证明 动点d在定直线上 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明依题意可设ab方