高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线课件 理.ppt

第九章平面解析几何 9 6双曲线 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 易错警示系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 双曲线定义平面内到两个定点f1 f2的等于常数 小于f1f2的正数 的点的轨迹叫做双曲线 两个定点f1 f2叫做 两焦点间的距离叫做 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a c为常数且a 0 c 0 1 当时 p点的轨迹是双曲线 2 当时 p点的轨迹是两条射线 3 当时 p点不存在 距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 2a f1f2 2a f1f2 2a f1f2 知识梳理 1 答案 2 双曲线的标准方程和几何性质 1 坐标轴 原点 a2 b2 2a 2b x a或x a y r x r y a或y a 答案 巧设双曲线方程 知识拓展 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 思考辨析 答案 答案 解析由题意得b 2a 又a2 b2 c2 5a2 c2 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 又a 0 b 0 故a 1 b 2 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 3 双曲线x2 my2 1的虚轴长是实轴长的2倍 则双曲线的渐近线方程为 y 2x 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知f为双曲线c x2 my2 3m m 0 的一个焦点 则点f到c的一条渐近线的距离为 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改编 经过点a 3 1 且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 命题点1双曲线定义的应用 题型一双曲线的定义及标准方程 解析答案 解析如图所示 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b 根据两圆外切的条件 得mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为ma mb 所以mc1 ac1 mc2 bc2 即mc2 mc1 bc2 ac1 2 所以点m到两定点c1 c2的距离的差是常数且小于c1c2 6 解析答案 又根据双曲线的定义 得动点m的轨迹为双曲线的左支 点m与c2的距离大 与c1的距离小 其中a 1 c 3 则b2 8 例2根据下列条件 求双曲线的标准方程 命题点2利用待定系数法求双曲线方程 b 6 c 10 a 8 解析答案 2 焦距为26 且经过点m 0 12 解 双曲线经过点m 0 12 m 0 12 为双曲线的一个顶点 故焦点在y轴上 且a 12 又2c 26 c 13 b2 c2 a2 25 解析答案 解设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 解析答案 思维升华 思维升华 求双曲线标准方程的一般方法 2 定义法 依定义得出距离之差的等量关系式 求出a的值 由定点位置确定c的值 跟踪训练1 解析答案 解析由题意知椭圆c1的焦点坐标为f1 5 0 f2 5 0 设曲线c2上的一点p 则 pf1 pf2 8 由双曲线的定义知 a 4 b 3 解析答案 解析答案 题型二双曲线的几何性质 又 1 2 2 60 答案2 a为线段bf的中点 2 3 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 oab的垂心为f af ob kaf kob 1 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 跟踪训练2 解析答案 a2c a1b a1b a2c 解析答案 答案 1 解析答案 af2 af1 4 af2 af1 2a af2 2 a af1 2 a 在rt f1af2中 f1af2 90 题型三直线与双曲线的综合问题 解析答案 解析答案 故双曲线e的方程为x2 y2 1 设a x1 y1 b x2 y2 解析答案 得 1 k2 x2 2kx 2 0 直线与双曲线右支交于a b两点 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 点c是双曲线上一点 思维升华 思维升华 1 研究直线与双曲线位置关系问题的通法 将直线方程代入双曲线方程 消元 得关于x或y的一元二次方程 当二次项系数等于0时 直线与双曲线相交于某支上一点 这时直线平行于一条渐近线 当二次项系数不等于0时 用判别式 来判定 2 用 点差法 可以解决弦中点和弦斜率的关系问题 但需要检验 已知双曲线c的两个焦点分别为f1 2 0 f2 2 0 双曲线c上一点p到f1 f2的距离差的绝对值等于2 1 求双曲线c的标准方程 跟踪训练3 解析答案 2 经过点m 2 1 作直线l交双曲线c的右支于a b两点 且m为ab的中点 求直线l的方程 解析答案 解设a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 两式相减 得3 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 解析答案 所以12 x1 x2 2 y1 y2 0 故ab所在直线l的方程为y 1 6 x 2 即6x y 11 0 3 已知定点g 1 2 点d是双曲线c右支上的动点 求df1 dg的最小值 解由已知 得df1 df2 2 即df1 df2 2 所以df1 dg df2 dg 2 gf2 2 当且仅当g d f2三点共线时取等号 解析答案 返回 易错警示系列 易错分析由于 判别式 是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法 所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时 有时不需要考虑 判别式 致使有的考生思维定势的原因 任何情况下都没有考虑 判别式 导致解题错误 12 忽视 判别式 致误 易错警示系列 温馨提醒 解析答案 易错分析 返回 规范解答解设点a x1 y1 b x2 y2 在双曲线上 且线段ab的中点为 x0 y0 若直线l的斜率不存在 显然不符合题意 2分 设经过点p的直线l的方程为y 1 k x 1 即y kx 1 k 4分 得 2 k2 x2 2k 1 k x 1 k 2 2 0 2 k2 0 7分 温馨提醒 解析答案 当k 2时 方程 成为2x2 4x 3 0 16 24 8 0 方程 没有实数解 13分 不能作一条直线l与双曲线交于a b两点 且点p 1 1 是线段ab的中点 14分 温馨提醒 温馨提醒 1 本题是以双曲线为背景 探究是否存在符合条件的直线 题目难度不大 思路也很清晰 但结论却不一定正确 错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断 从而导致错误 因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的 2 本题属探索性问题 若存在 可用点差法求出ab的斜率 进而求方程 也可以设斜率k 利用待定系数法求方程 3 求得的方程是否符合要求 一定要注意检验 返回 思想方法感悟提高 方法与技巧 1 区分双曲线中的a b c大小关系与椭圆中的a b c大小关系 在椭圆中a2 b2 c2 而在双曲线中c2 a2 b2 2 双曲线的离心率e 1 而椭圆的离心率e 0 1 4 若利用弦长公式计算 在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况 失误与防范 5 直线与双曲线交于一点时 不一定相切 例如 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交于一点 但不是相切 反之 当直线与双曲线相切时 直线与双曲线仅有一个交点 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 设直线l过双曲线c的一个焦点 且与c的一条对称轴垂直 l与c交于a b两点 ab为c的实轴长的2倍 则c的离心率为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由于直线l过双曲线的一个焦点且与对称轴垂直 因此直线l的方程为 x c或x c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知右焦点到原点的距离为c 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 点m x0 y0 在双曲线上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析不妨设p为双曲线右支上一点 pf1 r1 pf2 r2 根据双曲线的定义 得r1 r2 2a 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以c2 n 1 4或1 n 4 解得n 5或 3 舍去 答案5 解析因为双曲线的焦点是 0 2 所以焦点在y轴上 所以c2 3m m 4m 4 解得m 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由条件知a2 1 22 4 a2 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设直线l x 3y m 0 m 0 因为pa pb 所以pc l 所以kpc 3 化简得a2 4b2 在双曲线中 c2 a2 b2 5b2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则a2 3 c2 4 再由a2 b2 c2 得b2 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设a x1 y1 b x2 y2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由题作出图象如图所示 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 b4 a2 c2 a2 a2b2 双曲线的渐近线斜率的取值范围是 1 0 0 1 答案 1 0 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 设双曲线c的中心为点o 若有且只有一对相交于点o 所成的角为60 的直线a1b1和a2b2 使a1b1 a2b2 其中a1 b1和a2 b2分别是这对直线与双曲线c的交点 则该双曲线的离心率的取值范围是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由双曲线的对称性知 满足题意的这一对直线也关于x轴 或y轴 对称 又由题意知有且只有一对这样的直线 故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30 且小于等于60 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由双曲线c的方程 知a 3 b 4 c 5 点a 5 0 是双曲线c的右焦点 且pq qa pa 4b 16 由双曲线定义 得pf pa 6 qf qa 6 pf qf 12 pa qa 28 因此 pqf的周长为pf qf pq 28 16 44 答案44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由定义 知pf1 pf2 2a 又pf1 4pf2 解析答案 要求e的最大值 即求cos f1pf2的最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9