洛必达法则PPT课件.ppt

第二节洛必达法则 1 复习 一 罗尔 Rolle 定理 二 拉格朗日中值定理 设函数f x 满足条件 1 在闭区间上连续 2 在开区间内可导 设函数f x 满足条件 1 在闭区间上连续 2 在开区间内可导 微分中值定理 2 柯西 1789 1857 三 柯西中值定理 3 设函数f x 与g x 满足 若在拉格朗日定理的几何背景中曲线由参数方程表示 由参数方程的导数公式可推出下述柯西定理 使得 则至少存在一点 2 在开区间 a b 内可导 上连续 1 在闭区间 a b 定理 内 3 在开区间 a b C A B 三 柯西中值定理 4 中值定理之间关系 若取g x x 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 特例 推广 特例 因此拉格朗日定理可以看成是罗尔定理的推广 定理 则得到罗尔 在拉格朗日定理中 若取f a f b 因此 柯西定理可以看成是拉格朗日定理的推广 则得到拉格朗日定理 在柯西定理中 微分中值定理建立了函数在一个区间上的增量 整体性 与该区间内某点处的导数 局部性 之间的关系 搭建了导数与函数增量之间的桥梁 使导数成为研究函数性态的工具 g x x f a f b 重点 5 第二节洛必达法则 6 确定未定式的极限是求极限的主要类型 由无穷小的商和无穷大的商形成的 法国数学家洛必达给出了解决这些未定式极限的最有力工具 未定式主要有 常见的 在同一极限过程下 由无穷小与无穷大之间的幂形成的 由无穷大与无穷大的差形成的 由无穷小与无穷大的积形成的 型未定式 型未定式 型未定式 型未定式 如何来求解这些未定式的极限 第二节洛必达法则 洛必达法则 7 若f x 和g x 满足下列条件 则 定理 洛比达法则 8 则 若f x 和g x 满足下列条件 定理 洛比达法则 第二节洛必达法则 9 对于其它极限形式 1 对于求未定型极限的洛比达法则 2 在使用洛比达法则求极限时 说明 不仅适用于极限过程 未定型 若法则使用后仍为 未定型是使用法则求极限的前提 判别是否为 则法则可以重复使用 法则同样适用 第二节洛必达法则 10 解 解 例2求极限 第二节洛必达法则 例1 注意 在多次使用洛必达法则时 一定要注意验证是否满足条件 11 例3 解 例4 解 极限为未定型 由洛必达法则有 第二节洛必达法则 12 解 等价代换化简 洛必达法则 先用无穷小等价代换化简 再用洛必达法则得 例5求极限 第二节洛必达法则 注意 洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但与其它求极限方法结合使用 效果更好 13 应单独求 例6 为型 由洛必达法则有 解 说明 若型或型极限中含有非零因子 可以简化极限运算 极限而不要参与洛必达法则运算 第二节洛必达法则 14 使用洛比达法则应注意的问题 2 使用中要注意化简 以及将极限存在的因式进行必要的分离 3 使用中要注意与重要极限 无穷小等价代换等其他求极限方法结合使用 1 使用前必须判别是否为未定式 第二节洛必达法则 15 由洛必达法则得 由等价无穷小代换 得 例7 解 因为 也可由等价代换求此极限 第二节洛必达法则 16 二 其它未定式的极限 为型未定型 若 对于型可将其化为型或型未定型 则 第二节洛必达法则 17 例8 解 二 其它未定式的极限 步骤 例9 18 例9 解 步骤 二 其它未定式的极限 19 二 其它未定式的极限 20 例10 所求极限为型未定式 解 因为 所以 解法二 二 其它未定式的极限 21 例11 解 求极限 二 其它未定式的极限 22 使用洛必达法则求极限时 应注意 但 1 不存在 并不能断定极限 2 也不存在 洛必达法则并非总有效 应改用其他方法 此时 充分而非必要 讨论 只能说明该法则失效 第二节洛必达法则 23 例证明存在但不能用洛必达法则求解 解 所以 所给极限存在 该极限不存在 因为 但由洛必达法则 因此 所给极限不能用洛必达法则求 第二节洛必达法则 24 解 失效 解法二 例 第二节洛必达法则 25 小结 型未定式 型未定式 型未定式 型未定式 一 基本类型 二 非基本类型 洛必达法则 第二节洛必达法则 26 第二节洛必达法则 27 1 利用极限的四则运算法则 2 利用两个重要极限 3 利用无穷大与无穷小的关系及无穷小的性质 4 利用 6 利用函数的连续性 7 利用洛