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2012年4月线性代数（经管类）试题答案2012年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设行列式，则（ D ）ABC6D122设矩阵，则中位于第1行第2列的元素是（ A ）ABC3D63设为3阶矩阵，且，则（ B ）A3BCD34已知矩阵的列向量组线性无关，则的秩等于（ C ）A1B2C3D4是列满秩矩阵，5设为3阶矩阵，则用左乘，相当于将（ A ）A第1行的2倍加到第2行B第1列的2倍加到第2列C第2行的2倍加到第1行D第2列的2倍加到第1列，相当于将第1行的2倍加到第2行6齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为（ B ）A1B2C3D4，基础解系所含解向量的个数为7设4阶矩阵的秩为3，为非齐次线性方程组的两个不同的解，为任意常数，则该方程组的通解为（ A ）ABCD的基础解系只含一个解向量，是的非零解，从而是基础解系；又是的特解，所以是的通解8设是阶方阵，且，则必有一个特征值为（ B ）ABCD设是的特征值，由，可知必有一个特征值，从而必有一个特征值为9若矩阵与对角矩阵相似，则（ C ）ABCD注意到，由可得10二次型是（ D ）A正定的B负定的C半正定的D不定的当时，；当时是不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11行列式_12设3阶矩阵的秩为2，矩阵，若矩阵，则_解法一：表明：对施行两次初等变换得到，所以解法二：和都是可逆矩阵，所以13设矩阵，则_14向量组,的秩为_，向量组的秩为215设,是5元齐次线性方程组的基础解系，则_由，得16非齐次线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为，则方程组的通解是_，方程组的通解是，为任意常数17设为3阶矩阵，若的三个特征值分别为，则_18设为3阶矩阵，且，若的一个特征值为2，则必有一个特征值为_有一个特征值为2，则有一个特征值为19二次型的正惯性指数为_规范形为，正惯性指数为220二次型经正交变换可化为标准形_，特征值为，标准形为三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式解：22设，矩阵满足关系式，求解：由，可得，其中，23设均为4维列向量，和为4阶方阵，若行列式|，求行列式的值解：24已知向量组，（其中为参数），求向量组的秩和一个极大无关组解：，时，向量组的秩为2，此时，是一个极大无关组；时，向量组的秩为3，此时，是一个极大无关组25求线性方程组的通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）解：，方程组的通解为，为任意常数26已知向量，求向量,，使,两两正交解：设与正交的向量为，则内积，由此得齐次线性方程祖，解得，取基础解系，将正交化：取，则,两两正交四、证明题（本大题共1小题，6分）27设为实矩阵，为正定矩阵证明：线性方程组只有零解证法一：反证法若有非零解，即存在向量，使得，从而， 因此二次型
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