广东省茂名市高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

广东省茂名市2015届高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）设全集u=1，2，3，4，5，6，集合a=1，2，3，5，b=2，4，6，则（ua）b为（）a2b4，6c1，3，5d2，4，62（5分）i为虚数单位，则复数的虚部是（）aibic1d13（5分）设ar，则“a=2”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4（5分）下列函数中，在（1，1）内有零点且单调递增的是（）aby=2x1cdy=x35（5分）以点（3，1）为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是（）a（x3）2+（y+1）2=1b（x+3）2+（y1）2=1c（x+3）2+（y1）2=2d（x3）2+（y+1）2=26（5分）如图，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）abcd7（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最小值2，则ab的最大值为（）a1bcd8（5分）设函数y=f（x）在r上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）=，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x22x2，p=1，则下列结论成立的是（）afpf（0）=ffp（0）bfpf（1）=ffp（1）cfpf（2）=fpfp（2）dff（2）=fpfp（2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9（5分）已知a，b，c分别是abc的三个内角，a，b，c所对的边，若a=3，c=120，abc的面积s=，则c为10（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为11（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的s是12（5分）已知等比数列an的第5项是二项式（）6展开式的常数项，则a3a7=13（5分）已知a、b是椭圆+=1（ab0）长轴的两个端点，m，n是椭圆上关于x轴对称的两点，直线am，bn的斜率分别为k1，k2，且k1k20若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程】14（5分）在极坐标系中，曲线=sin与=cos（0，0）的交点的极坐标为【几何证明选讲】15如图，圆o的半径为13cm，点p是弦ab的中点，po=5cm，弦cd过点p，且=，则cd的长为cm三、解答题16（12分）已知函数f（x）=sin2xcos+cos2xsin（xr，0），f（）=（1）求f（x）的解析式；（2）若f（）=，（，），求sin（+）的值17（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称春季交广会）将于4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”（1）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）；（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出的分布列，并求的数学期望18（14分）如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，addc，db平分adc，e为pc的中点，ad=cd=1，db=2，pd=2（1）证明：pa平面bde；（2）证明：acpb；（3）求二面角ebdc的余弦值19（14分）已知数列an的前n项和为sn，a1=1，且2nsn+12（n+1）sn=n（n+1）（nn*）数列bn满足bn+22bn+1+bn=0（nn*）b3=5，其前9项和为63（1）求数列an和bn的通项公式；（2）令cn=+，数列cn的前n项和为tn，若对任意正整数n，都有tn2na，b，求ba的最小值20（14分）已知点f（0，1），直线l：y=1，p为平面上的动点，过点p作直线l的垂线，垂足为q，且=（1）求动点p的轨迹c的方程；（2）设m为直线l1：y=m（m2）上的任意一点，过点m作轨迹c的两条切线ma，mb切点分别为a，b，试探究直线l1上是否存在点m，使得mab为直角三角形？若存在，有几个这样的点；若不存在，请说明理由21（14分）设函数f（x）=ln|x|x2+ax（）求函数f（x）的导函数f（x）；（）若x1、x2为函数f（x）的两个极值点，且，试求函数f（x）的单调递增区间；（）设函数f（x）在点c（x0，f（x0）（x0为非零常数）处的切线为l，若函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方，试探求x0的取值范围广东省茂名市2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）设全集u=1，2，3，4，5，6，集合a=1，2，3，5，b=2，4，6，则（ua）b为（）a2b4，6c1，3，5d2，4，6考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：先求出a的补集，从而求出（ua）b，进而得到答案解答：解：ua=4，6，（ua）b=4，62，4，6=4，6，故选：b点评：本题考查了集合的交，并，补集的运算，是一道基础题2（5分）i为虚数单位，则复数的虚部是（）aibic1d1考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解答：解：=，复数的虚部是1故选：d点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）设ar，则“a=2”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：当a=2时，两直线方程分别为l1：2x+2y1=0与直线l2：xy+4=0满足，两直线平行，充分性成立当a=1时，满足直线l1：x+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0平行，必要性不成立，“a=2”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键4（5分）下列函数中，在（1，1）内有零点且单调递增的是（）aby=2x1cdy=x3考点：函数的零点 专题：计算题分析：a、对数函数的定义域和底数小于1时是减函数；b、对数函数的定义域和底数大于1时是增函数；c、指数是正数的幂函数在r上是增函数；d、底数大于1的指数函数在r上是增函数解答：解：a、的定义域是（0，+），且为减函数，故不正确；b、y=2x1的定义域是r，并且是增函数，且在（1，1）上零点为0，故正确；c、在（1，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，故不正确；d、y=x3是减函数，故不正确故选b点评：考查基本初等函数的定义域和单调性以及函数的零点问题，属基础题5（5分）以点（3，1）为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是（）a（x3）2+（y+1）2=1b（x+3）2+（y1）2=1c（x+3）2+（y1）2=2d（x3）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程 专题：计算题；直线与圆分析：根据题意，求出点（3，1）与直线3x+4y=0的距离，即为所求圆的半径，结合圆的标准方程形式即可得到本题答案解答：解：设圆的方程是（x3）2+（y+1）2=r2直线3x+4y=0相与圆相切圆的半径r=1因此，所求圆的方程为（x3）2+（y+1）2=1故选：a点评：本题求一个已知圆心且与已知直线相切的圆方程，着重考查了点到直线的距离公式、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题6（5分）如图，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）abcd考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式 专题：排列组合分析：从9个数中任取3个数共有c93=84种取法，求得不满足要求的选法共有6种，可得满足条件的选法有846=78种，从而求得所求事件的概率解答：解：从9个数中任取3个数共有c93=84种取法，取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有 c1 3种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有 c1 2种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，共有=6种方法，即三个数分别位于三行或三列的情况有6种，所求的概率为 =故答案选 d点评：本题考查简单计数原理和组合数公式的应用、概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单7（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最小值2，则ab的最大值为（）a1bcd考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作差可行域，由可行域得到使目标函数取得最小值的点，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到关于a，b的等式，然后利用基本不等式求最值解答：解：由约束条件作差可行域如图，联立，解得a（2，3）由图可知，目标函数z=ax+by在点（2，3）上取到最小值2，即2a+3b=2ab=当且仅当2a=3b=1，即时等号成立故选：c点评：本题考查了线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8（5分）设函数y=f（x）在r上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）=，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x22x2，p=1，则下列结论成立的是（）afpf（0）=ffp（0）bfpf（1）=ffp（1）cfpf（2）=fpfp（2）dff（2）=fpfp（2）考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据p界函数的定义求出f1（x）=，从而根据已知函数解析式求函数值，进行验证各选项的正误即可解答：解：根据题意；f（0）=2，f1（0）=2，f1f（0）=f1（2）=1，ff1（0）=f（2）=6，a错误；f（1）=3，f1（1）=3，f1f（1）=f1（3）=1，ff1（1）=f（3）=13，b错误；f（2）=2，f1（2）=2，f1f（1）=f1（2）=1，f1f1（2）=f1（2）=1，c正确；f（2）=6，f1（2）=1，ff（2）=f（6）=22，f1f1（2）=f1（1）=3，d错误故选c点评：考查对p界函数的理解与运用，已知函数解析式能够求出函数值二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9（5分）已知a，b，c分别是abc的三个内角，a，b，c所对的边，若a=3，c=120，abc的面积s=，则c为7考点：正弦定理 专题：计算题；解三角形分析：由已知及三角形面积公式可得b的值，由余弦定理即可求得c的值解答：解：由三角形面积公式可得：s=absinc=，a=3，c=120，可得：=，解得：b=5，由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosc=9+25+15=49，可解得：c=7故答案为：7点评：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理的应用，属于基本知识的考查10（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为3+4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：原几何体为圆柱的一半，且高为2，底面圆的半径为1，表面积由上下两个半圆及正面的正方形和侧面圆柱面积构成，分别求解相加可得答案解答：解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为s=212+22+212=3+4故答案为：3+4点评：本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题11（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的s是1考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：根据框图的流程模拟程序运行的结果，发现s值的周期为6，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的s值解答：解：由程序框图知：n=1，第1次循环s=，n=2；第2次循环s=0，n=3；第3次循环s=1，n=4；第4次循环s=，n=5，第5次循环s=1，n=6；第6次循环s=0，n=7；第7次循环s=，n=8，第8次循环s=0，s值的周期为6，2016=6*336，跳出循环的k值为2016，输出的s=1故答案为：1点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基本知识的考查12（5分）已知等比数列an的第5项是二项式（）6展开式的常数项，则a3a7=考点：二项式定理的应用 专题：二项式定理分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值再根据该项是等比数列an的第5项，再利用等比数列的性质求得a3a7的值解答：解：二项式（）6展开式的通项公式为 tr+1=，令3=0，求得r=2，故展开式的常数项为 =等比数列an的第5项a5=，可得a3a7=，故答案为：点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，等比数列的定义和性质，属于基础题13（5分）已知a、b是椭圆+=1（ab0）长轴的两个端点，m，n是椭圆上关于x轴对称的两点，直线am，bn的斜率分别为k1，k2，且k1k20若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先假设出点m，n，a，b的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由|k1|+|k2|的最小值为1运用基本不等式的知识可得到当x0=0时可取到最小值，进而找到a，b，c的关系，进而可求得离心率的值解答：解：设m（x0，y0），n（x0，y0），a（a，0），b（a，0），则=1，即有，k1=，k2=，|k1|+|k2|=|+|=1，当且仅当=即x0=0，y0=b时等号成立2=2=1a=2b，又因为a2=b2+c2c=a，e=故答案为：点评：本题主要考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用圆锥曲线是2015届高考的重点问题，基本不等式在解决最值时有重要作用，所以这两方面的知识都很重要，一定要强化复习（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程】14（5分）在极坐标系中，曲线=sin与=cos（0，0）的交点的极坐标为考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：曲线=sin与=cos（0，0）分别化为2=sin，2=cos可得直角坐标方程为：x2+y2=y，x2+y2=x，x，y0，x2+y20联立解得x，y，再利用极坐标即可解答：解：曲线=sin与=cos（0，0）分别化为2=sin，2=cos可得直角坐标方程为：x2+y2=y，x2+y2=x，x，y0，x2+y20联立解得x=y=交点p，化为极坐标为=，极坐标为：故答案为：点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、圆的交点，考查了计算能力，属于基础题【几何证明选讲】15如图，圆o的半径为13cm，点p是弦ab的中点，po=5cm，弦cd过点p，且=，则cd的长为18cm考点：与圆有关的比例线段 专题：立体几何分析：由已知条件利用垂径定理和勾股定理得ap=pb=12，再由相交弦定理得cppd=appb=122=144，利用=，得cd=3cp，pd=2cp，由此能求出cd的长解答：解：圆o的半径为13cm，点p是弦ab的中点，po=5cm，ap=pb=12，cppd=appb=122=144，=，cd=3cp，pd=2cp，2cp2=144，解得cp=6，cd=3cp=18故答案为：18点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意垂径定理、勾股定理、相交弦定理的合理运用三、解答题16（12分）已知函数f（x）=sin2xcos+cos2xsin（xr，0），f（）=（1）求f（x）的解析式；（2）若f（）=，（，），求sin（+）的值考点：三角函数中的恒等变换应用；函数解析式的求解及常用方法 专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）由f（）=可得cos=，又0，可解得，从而可求得f（x）的解析式；（2）由f（）=，可得cos=，又（，），可得sin，利用两角和的正弦公式即可求得sin（+）的值解答：解：（1）由f（）=可得sincos+cossin=1分所以cos=2分又03分=4分f（x）=sin2xcos+cos2xsin=sin（2x+）6分（2）由f（）=，可得sin2（）+=，即sin（）=7分所以cos=8分又（，），9分所以sin=10分sin（+）=sincos+cos=12分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数解析式的求解及常用方法，所以基本知识的考查17（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称春季交广会）将于4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”（1）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）；（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出的分布列，并求的数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）根据茎叶图，利用平均数公式和中位数定义能求出男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（2）由茎叶图知“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的高个子有3人，从而的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望解答：解：（1）根据茎叶图，得：男志愿者的平均身高为：176.1（cm），女志愿都身高的中位数为：=168.5（cm）（2）由茎叶图知“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的高个子有3人，的可能取值为0，1，2，3，p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，的分布列为： 0 1 2 3 pe=点评：本题考查平均数、中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用18（14分）如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，addc，db平分adc，e为pc的中点，ad=cd=1，db=2，pd=2（1）证明：pa平面bde；（2）证明：acpb；（3）求二面角ebdc的余弦值考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）设acbd=f，连结ef，由已知得ef为pac的中位线，从而paef，由此能证明pa平面bde（2）由已知得acbd，由线面垂直得pdac，从而ac平面pbd，由此能证明acpb（3）取cd中点m，连结em，过m作mhdf于h，连结eh，由已知得ehm是二面角ebdc的平面角，由此能求出二面角ebdc的余弦值解答：（1）证明：如图，设acbd=f，连结ef，ad=cd，且db平分adc，f为ac中点，又e为pc的中点，ef为pac的中位线，paef，又ef平面bde，pa平面bde，pa平面bde（2）证明：ad=cd，且db平分adc，acbd，又pd平面abcd，ac平面abcd，pdac，又pdbd=d，且pd平面pbd，bd平面pbd，ac平面pbd，又pb平面pbd，acpb（3）解：取cd中点m，连结em，过m作mhdf于h，连结eh，empd，pd平面abcd，em平面abcd，embd，又mhdf，mhem=m，df平面ehm，dfeh，ehm是二面角ebdc的平面角，又由ac=，mh=，在rteah中，由em=1，得eh=，cosehm=，二面角ebdc的余弦值为点评：本题考查线面垂直的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（14分）已知数列an的前n项和为sn，a1=1，且2nsn+12（n+1）sn=n（n+1）（nn*）数列bn满足bn+22bn+1+bn=0（nn*）b3=5，其前9项和为63（1）求数列an和bn的通项公式；（2）令cn=+，数列cn的前n项和为tn，若对任意正整数n，都有tn2na，b，求ba的最小值考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由2nsn+12（n+1）sn=n（n+1）（nn*），变形，可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式可得，sn=再利用“当n2时，an=snsn1，当n=1时也成立”即可得出an由于数列bn满足bn+22bn+1+bn=0（nn*），可得数列bn是等差数列，利用等差数列的通项公式及其前n选和公式即可得出（2）cn=+=2+2，利用“裂项求和”可得：数列cn的前n项和为tn=3+2n2设an=，可得数列an单调递增，得出：由于对任意正整数n，都有tn2na，b，可得，b3，即可得出解答：解：（1）2nsn+12（n+1）sn=n（n+1）（nn*），数列是等差数列，首项为1，公差为，=1+，sn=当n2时，an=snsn1=n，当n=1时也成立an=n数列bn满足bn+22bn+1+bn=0（nn*），数列bn是等差数列，设公差为d，前9项和为63，=9b5=63，解得b5=7，又b3=5，d=1，bn=b3+（n3）d=5+n3=n+2，bn=n+2因此：an=n，bn=n+2（2）cn=+=2+2，数列cn的前n项和为tn=2n+2+=2n+2=3+2n2tn2n=设an=，an+1an=3+2=0，数列an单调递增，（an）min=a1=而an3，对任意正整数n，都有tn2na，b，b3，ba的最小值=点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及前n项和公式及其性质、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（14分）已知点f（0，1），直线l：y=1，p为平面上的动点，过点p作直线l的垂线，垂足为q，且=（1）求动点p的轨迹c的方程；（2）设m为直线l1：y=m（m2）上的任意一点，过点m作轨迹c的两条切线ma，mb切点分别为a，b，试探究直线l1上是否存在点m，使得mab为直角三角形？若存在，有几个这样的点；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；轨迹方程 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设动点p（x，y），则q（x，1），由=，可得=0，利用数量积运算可得x2+4y=0，即x2=4y（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），m（x0，y0）由x2=4y，可得，可得切线方程为：又切线过点m，可得；同理可得过点b的切线方程为：可知：x1，x2是方程的两个实数根可得根与系数的关系：利用数量积运算可得=x1x2x0（x1+x2）+y1y2y0（y1+y2）+可得：=当m2时，0，amb利用斜率计算公式可得kmakab=，若kmakab=1，整理得即=4，而m2时，方程=4有解，即可得出解答：解：（1）设动点p（x，y），则q（x，1），=，=0=（x，2），=（0，y+1），=（x，y1），（x，2）（x，2y）=0，x2+4y=0，即x2=4y（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），m（x0，y0）由x2=4y，可得，切点a的切线斜率为，切线方程为：，即又切线过点m，同理可得过点b的切线方程为，又过点m，由可知：x1，x2是方程的两个实数根x1+x2=2x0，x1x2=4y0=（x1x0）（x2x0）+（y1y0）（y2y0）=x1x2x0（x1+x2）+y1y2y0（y1+y2）+（*）把x1+x2=2x0，x1x2=4y0.，y2=代入（*）可得：=当m2时，0，ambkab=.=，kmakab=，若kmakab=1，整理得y0=m，=4，而m2时，方程=4有解，m2时，maab或mbab，mab为直角三角形即直线l1上存在两点m，使得mab为直角三角形点评：本题考查了抛物线的标准方程及