22.3.2二次函数(二次函数的应用)基础.doc

22.3.2二次函数（二次函数的应用）基础（1）参考答案与试题解析一选择题（共30小题）1（2015铜仁市）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A20mB10mC20mD10m【考点】二次函数的应用【分析】根据题意，把y=4直接代入解析式即可解答【解答】解：根据题意B的纵坐标为4，把y=4代入y=x2，得x=10，A（10，4），B（10，4），AB=20m即水面宽度AB为20m故选C【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题2（2015金华）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=（x80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有ACx轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）A16米B米C16米D米【考点】二次函数的应用【专题】计算题【分析】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长【解答】解：ACx轴，OA=10米，点C的横坐标为10，当x=10时，y=（x80）2+16=（1080）2+16=，C（10，），桥面离水面的高度AC为m故选B【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题3（2015潍坊）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm2【考点】二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质【分析】如图，由等边三角形的性质可以得出A=B=C=60，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等连结AO证明AODAOK就可以得出OAD=OAK=30，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论【解答】解：ABC为等边三角形，A=B=C=60，AB=BC=AC筝形ADOK筝形BEPF筝形AGQH，AD=BE=BF=CG=CH=AK折叠后是一个三棱柱，DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形ADO=AKO=90连结AO，在RtAOD和RtAOK中，RtAODRtAOK（HL）OAD=OAK=30设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，DE=62x，纸盒侧面积=3x（62x）=6x2+18x，=6（x）2+，当x=时，纸盒侧面积最大为故选C【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键4（2015六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A60m2B63m2C64m2D66m2【考点】二次函数的应用【专题】应用题；压轴题【分析】设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2，表示出y与x的关系式，利用二次函数性质求出面积最大值即可【解答】解：设BC=xm，则AB=（16x）m，矩形ABCD面积为ym2，根据题意得：y=（16x）x=x2+16x=（x8）2+64，当x=8m时，ymax=64m2，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2故选C【点评】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键5（2015石家庄校级模拟）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A3B2C3D2【考点】二次函数的应用【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，代入A点坐标（2，0），得出：a=0.5，所以抛物线解析式为y=0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=1代入抛物线解析式得出：1=0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到2米，故选：B【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键6（2015魏县二模）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A1米B3米C5米D6米【考点】二次函数的应用【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案【解答】解：h=5t2+10t+1=5（t22t）+1=5（t1）2+6，故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m故选：D【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出是解题关键7（2015春沂源县期末）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第（）A3sB3.5sC4sD6.5s【考点】二次函数的应用【分析】根据题中已知条件求出函数h=at2+bt的对称轴t=4，四个选项中的时间越接近4小球就越高【解答】解：由题意可知：h（2）=h（6），则函数h=at2+bt的对称轴t=4，故在t=4s时，小球的高度最高，故选：C【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题8（2014河口区校级模拟）小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（）A3.5mB4mC4.5mD4.6m【考点】二次函数的应用【分析】当y=3.05时，求出对应的横坐标，与2.5m相加即可【解答】解：当y=3.05时，x2+3.5=3.05，解得x1=1.5（舍去），x2=1.5，l=2.5+1.5=4m故选B【点评】本题考查了二次函数的实际应用此题为数学建模题，熟悉函数二次函数与x轴的交点是解题的关键9（2014东阳市校级模拟）甲、乙、丙、丁四人利用一段旧直墙MN与长为32m的篱笆共同围成一个外形为矩形的花圃已知原旧直墙MN的最大可利用长度为8m，求围成的花圃的最大面积甲的方案：如图，设BC=xm，围成的花圃面积为Sm2，则S=x=，当x=16时，围成的花圃的面积最大为128m2；乙的方案：如图，设BC=xm，围成的花圃面积为Sm2，则S=x=，当x=8时，围成的花圃的面积最大为96m2；丙的方案：如图，设BC=xm，围成的花圃面积为Sm2，则S=x=（x10）2+100，当x=8时，围成的花圃的面积最大为96m2；丁的方案：如图，设BC=xm，围成的花圃面积为Sm2，则S=x=（x10）2+100，当x=10时，围成的花圃的面积最大为100m2你认为求得的最大值应该是（）A128m2B96m2C100m2D以上都不对【考点】二次函数的应用【分析】根据四个人的方案选择一个面积最大且可行的方案即可【解答】解：根据题意得：甲的方案BC的长大于8米，故不可行；后三个方案中乙、丙的方案虽然可行但面积不如丁的面积大，故选择丁的方案，故选C【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能够根据BC的长进行可行性分析，选择可行且面积最大的方案即可求得正确的选项10（2014秋吴江市期末）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）间的关系为y=（x4）2+3，由此可知铅球推出的距离是（）A2mB8mC10mD12m【考点】二次函数的应用【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可【解答】解：令函数式y=（x4）2+3，中，y=0，0=（x4）2+3，解得x1=10，x2=2（舍去），即铅球推出的距离是10m故选C【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键11（2014秋伍家岗区期末）从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）的函数关系式是y=9.8t4.9t2，那么小球运动中的最大高度为（）A9.8米B4.9米C1米D0.6125米【考点】二次函数的应用【分析】把抛物线解析式化成顶点式，即可解答【解答】解：h=9.8t4.9t2=4.9（t1）2+1当t=1时，函数的最大值为4.9米，这就是小球运动最大高度故选B【点评】本题涉及二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等12（2014秋丰南区期末）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y，且时间与高度的关系式为y=ax2+bx，若此时炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A第8秒B第10秒C第12秒D第15秒【考点】二次函数的应用【分析】利用二次函数的对称性以及最值求法得出x=时取到对称轴，此时炮弹最高，即可得出答案【解答】解：炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，当在第10秒时，炮弹高度最高故选：B【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据二次函数对称性得出对称轴是解题关键13（2014秋剑阁县校级期中）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=5t2+10t+1，则小球距离地面的最大高度是（）A1米B5米C6米D7米【考点】二次函数的应用【分析】把二次函数的解析式化成顶点式，即可得出小球距离地面的最大高度【解答】解：h=5t2+10t+1=5（t22t）+1=5（t22t+1）+5+1=5（t1）2+6，50，则抛物线的开口向下，有最大值，当t=1时，h有最大值是6米故选：C【点评】本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，把函数式化成顶点式是解题关键14（2014秋沧浪区校级期中）如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（）A1B1.5C2D3【考点】二次函数的应用【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解【解答】解：如图建立坐标系抛物线的顶点坐标是（1，4），设抛物线的解析式是y=a（x1）2+4，把（0，3）代入解析式得：a+4=3，解得：a=1则抛物线的解析式是：y=（x1）2+4当y=0时，（x1）2+4=0，解得：x1=3，x2=1（舍去）则水池的最小半径是3米故选D【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键15（2014秋孝南区期中）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=x2+x，由此可知铅球推出的距离是 （）A10mB3mC4mD2m或10m【考点】二次函数的应用【分析】利用铅球推出的距离是y=0时，x的正值即为所求【解答】解：由题意可得：y=0时，x2+x=0，解得：x1=10，x2=2，故由此可知铅球推出的距离是：10m，故选A【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用y=0时求出x的值是解题关键16（2014秋乳山市期中）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a0），若此炮弹在第6钞与第14秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时间是（）A第8秒B第10秒C第12秒D第15秒【考点】二次函数的应用【分析】由于炮弹在第6s与第14s时的高度相等，即x取6和14时y的值相等，根据抛物线的对称性可得到抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=6+=10，然后根据二次函数的最大值问题求解【解答】解：x取6和14时y的值相等，抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=6+=10，即炮弹达到最大高度的时间是10s故选：B【点评】本题考查了二次函数的应用：先通过题意确定出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质解决问题；实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围17（2014秋硚口区期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A1mB2mC（24）mD（2）m【考点】二次函数的应用【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（2，0），到抛物线解析式得出：a=0.5，所以抛物线解析式为y=0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=1代入抛物线解析式得出：1=0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了24故选：C【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键18（2014秋龙口市校级期中）某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件若每件涨价1元，则销售量就减少10件则该产品能获得的最大利润为（）A5000元B8000元C9000元D10000元【考点】二次函数的应用【分析】设售价为每个x元，则每个利润为（x90），销售量为50010（x100），根据：每个利润销售量=总利润，可得出W关于x的二次函数，利用配方法求最值即可【解答】解：设单价定为x，总利润为W，则可得销量为：50010（x100），单件利润为：（x90），由题意得，W=（x90）50010（x100）=10x2+2400x135000=10（x120）2+9000，故可得当x=120时，W取得最大，为9000元，故选C【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出销量及单件利润，得出W关于x的函数解析式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用19（2014秋民勤县校级期中）在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+t，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为（）A2秒B4秒C6秒D8秒【考点】二次函数的应用【分析】依题意，将s=88米代入关系式求解一元二次方程可得答案【解答】解：把s=88代入s=5t2+2t得：5t2+2t=88解得t1=4，t2=4.4（舍去），即t=4秒故选B【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出二次函数模型，难度一般20（2014秋旬阳县期中）在学校运动会上，初三（5）班的运动员掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间函数关系式为y=0.2x2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是（）A10mB4mC5mD9m【考点】二次函数的应用【分析】铅球落地才能计算成绩，此时y=0，即y=0.2x2+1.6x+1.8=0，解方程即可在实际问题中，注意负值舍去【解答】解：由题意可知，把y=0代入解析式得：y=0.2x2+1.6x+1.8=0，解得x1=9，x2=1（舍去），即该运动员的成绩是9米故选D【点评】本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y=0，测量运动员成绩，也就是求x的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题21（2014秋江南区校级期中）从地面坚直上抛一小球，小球的高度h米与时间t秒的关系式是：h=30t5t2（0t6），当t=2秒时，h的值是（）A40米B30米C60米D100米【考点】二次函数的应用【分析】将t=2秒直接代入h=30t5t2，即可求出h的值【解答】解：将t=2秒代入h=30t5t2（0t6）得，h=302522=40（米）故选A【点评】本题考查了二次函数的应用，将t=2秒直接代入h=30t5t2，即可求出h的值22（2014秋瑶海区期中）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=24t4t2，那么，小球从抛出至回落到地面所需的时间是（）A6sB4sC3sD2s【考点】二次函数的应用【分析】根据题意得出h=0时，解方程求出即可【解答】解：由题意可得：h=0时，0=24t4t2，解得：t1=6，t2=0，故小球从抛出至回落到地面所需的时间是：6秒故选：A【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意得出h=0时t的值是解题关键23（2014秋故城县校级月考）已知某商店铺第17届仁川亚运会吉祥物毛绒玩具每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元（30x50，且x为整数）出售，可卖出（50x）件，若要使该店铺销售该玩具的利润最大，每件的售价为（）A35元B40元C45元D48元【考点】二次函数的应用【分析】设总利润为y，由总利润=每件利润数量就可以表示出y与售价x之间的关系式，再由二次函数的性质就可以得出结论【解答】解：设总利润为y，由题意，得y=（x30）（50x），y=x2+80x1500，y=（x40）2+100a=10，x=40时，y最大=100，故选B【点评】本题考查了销售问题的数量关系：总利润=每件利润数量的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键24（2014秋故城县校级月考）北京时间5月18日25日，2014年世界羽联汤姆斯杯尤伯杯决赛在印度首都新德里进行，在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=x2+x+1的一部分（如图所示，单位：m），则下列说法不正确的是（）A出球点A离地面点O的距离是1mB该羽毛球横向飞出的最远距离是3mC此次羽毛球最高可达到mD当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点【考点】二次函数的应用【分析】A、当x=0时代入解析式求出y的值即可；B、当y=0时代入解析式求出x的值即可；C、将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可；D、由抛物线的顶点式可以得出结论【解答】解：A、当x=0时，y=1，则出球点A离地面点O的距离是1m，故A正确；B、当y=0时，0=x2+x+1，解得：x1=1（舍去），x2=43故B错误；C、y=x2+x+1，y=（x）2+，此次羽毛球最高可达到m，故C正确；D、y=（x）2+，当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点故D正确只有B是错误的故选B【点评】本题考查了二次函数的性质的运用，二次函数顶点式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时将二次函数的解析式的一般式化为顶点式是关键25（2014秋南京校级月考）发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx，若此炮弹在第10秒与第20秒时的高度相等，则下列四个时间中，哪一个时间炮弹的高度是最高的？（）A第9秒B第13秒C第15秒D第18秒【考点】二次函数的应用【分析】根据题意，x=10时和x=20时y值相等，因此得关于a，b的关系式，代入到x=中求x的值【解答】解：当x=10时，y=100a+10b；当x=20时，y=400a+20b根据题意得100a+10b=400a+20b，b=30a根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，当x=15时，y最大即高度最高故选C【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据二次函数对称性得出对称轴是解题关键26（2014秋莱城区校级月考）拱桥呈抛物线型，其函数解析式为，当拱桥下水面宽为12m时，水面离拱桥顶端的高度h是（）A3mBmCmD9m【考点】二次函数的应用【分析】根据题意得出图象上点的横坐标，进而得出纵坐标即可得出答案【解答】解：由题意可得：x=6时，y=62=9故水面离拱桥顶端的高度h是9m故选：D【点评】此题主要考查了二次函数的应用，得出图象上点的纵坐标是解题关键27（2013河南模拟）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是（）A10mB3mC4mD2m或10m【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可【解答】解：令函数式y=（x4）2+3中，y=0，0=（x4）2+3，解得x1=10，x2=2（舍去），即铅球推出的距离是10m故选：A【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键28（2013春延吉市期末）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线