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浅谈高考中不等式恒成立问题的一般解决方法 甘肃 王新宏近几年很多省的高考数学题中都考到恒成立问题，涉及到函数、三角函数、数列、不等式、解析几何等问题。渗透着换元、化归转化、数形结合、函数、函数与方程、分类讨论等数学思想与方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。这些恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：分离变量型；若在不等式中出现两个变量且恒成立，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将所求变量分离到不等号的一边，则可将该问题可利用下列结论求解容易证明如下结论：若函数在上存在最大值 (或最小值)，则对一切不等式（或）恒成立，当且仅当（或）。构造函数型；现举例说明：比如当不等式在时恒成立，求的范围（不等式中含有）第一步：构造新函数，。第二步：求导研究单调性、最值，得到的最小值。第三步：解不等式，即得到的范围分类讨论型现举例说明：比如当不等式在时恒成立，求的范围（不等式中含有）第一步：构造新函数，。第二步：求出。第三步：根据的正负分类，得到的不同情况下的最小值，验证它是否大于零，把满足题意的并起来，最终得到的范围。例1（2008年安徽文20）设函数为实数。（）已知函数在处取得极值，求的值； （）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。解: (1)，由于函数在时取得极值，所以 即 (2) 方法一(构造函数法) 由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 设 , 则对任意，为单调递增函数 所以对任意，恒成立的充分必要条件是 即 ， 于是的取值范围是 方法二（分离变量法） 由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 于是对任意都成立，即， 于是的取值范围是例2（06年全国，理20）设函数，若对所有的，都有成立，求实数的取值范围解法一：（分类讨论法）令，对函数求导数：令，解得， (i)当时，对所有，所以在 上是增函数，又，所以对，都有，即当时，对于所有，都有 (ii)当时，对于，所以在 是减函数，又，所以对都有，即当时，不是对所有的，都有成立综上，的取值范围是 解法二：（构造函数法）令，于是不等式成立即为成立对函数求导数：令，解得， 当时，为增函数，当，为减函数， 所以要对所有都有充要条件为由此得，即的取值范围是 不等式恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用构造函数法、变量分离法、分类讨论法等解题方法求解。在解题过程中，要注意灵活应用数形结合的思想、等价转化的思想、函数的思想、分类讨论的思想等数学思想方法。事实上，数学思想方法是解决此类问题的灵魂。张掖市实验中学 7343007
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