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一个几何模型的应用 纵观近几年的中考试题及各类竞赛试题，“最佳点”、“最短距离”等问题已成为当前命题的一个新的亮点，其实它们均源自课本习题，其难度又高于原型从其创作思路来看，形式多种多样，新颖活泼，能与初中数学中的某些图形的性质有机融合笔者结合近几年的数学实践对北师大版教材中的一课后习题进行剖析与论述 一、几何模型的引入及分析 1几何模型的引入 如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在何处，才能使从A，B到它的距离之和最短? 作法：(1)作出点A关于直线l对称点A； (2)连接AB，交l于点P，点P就是奶站的位置 2几何模型分析 (1)特点：已知一定真线同旁有两定点，可以从此直线上确定一点到两定点的距离之和最短 (2)理论基础：轴对称的性质；三角形三边关系(两点之间，线段最短) (3)基本性质观察此图形(图2)，不难发现其中的多种关系，姑且归纳为“l，2，3” 1一对全等三角形：R t AOPR t AOP； 2两组相等线段：OA=OA，AP=AP； 3三个相等的角：1=2=3 二、几何模型的应用 由基本图形可以看出，点P为一动点，可以从直线l上任取，但“最佳位置”却只有一个，当“最佳位置”确定下来以后，问题便化动为静因此，在解决一些问题时，往往需要先确定“最佳位置”即作图后，再进行推导与计算，下面举几例加以说明 (1)与三角形相关把此模型与三角形，特别是特殊三角形(如直角三角形、等腰三角形)的性质相结合解决问题 例1 如图3，一牧童在小河南4千米的A处牧马，河水向正东方向流去，而他正处于他的小屋B西8千米、北7千米处他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他完成这件事所走的最短路程是多少千米? 分析 首先确定保证牧童所走的路程最短的饮马点 作点A关于小河的对称点A，连接AB，交小河于点O，点O即为饮马点 弄清楚应如何恰当使用题目中的数量进行计算 连接AO，则牧童所走的路程为AO+BO=AO+OB=AB 在R t ABC中，AC=4+4+7=15(千米)，BC=8(千米)，则AB=17(千米) 所以，牧童完成这件事所走的最短距离为17千米 点评 本题紧扣原型，赋予了实际情境与新意，同时在计算时用到了重要定理勾股定理，真可谓独具匠心 (2)与四边形相关巧妙地把菱形、矩形、正方形的轴对称性作为本模型的有效载体 例2 如图4，在边长为6的菱形ABCD中，DAB=60，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值是多少? 分析 根据菱形的轴对称性可知，点B关于AC的对称点为点D，连接DE交AC于点F(图5)，则点F使BF+EF的值最小，最小值为DE的长在R tADE中，DE=AEtan60=3=3 点评 本题恰当地运用了菱形的轴对称性 (3)与圆相关 例3 如图6，AB为O的直径，AB=2，OC为O的半径，OCAB，点D在上，=2 ，点
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