八年级数学第一学期一次函数的几种思想方法.doc

八年级数学第一学期一次函数的几种思想方法方法1：函数方法 【例1】利用图象解二元一次方程组点拨：方程组中的两个方程均为关于x，y的二元一次方程，可以转化为y关于x的函数在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解 【解】由得y=2x-2，由得y=-x-5在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-2，y=-x-5的图象如图所示 观察图象可知，直线y=2x-2与直线y=-x-5的交点坐标是（-1，-4） 原方程组的解是 【规律总结】解方程组通常用消元法，但如果把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解 方法2：数形结合法 【例2】小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象 （1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ （2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）求小明出发多长时间距家12千米？点拨：观察图象可知直线AB经过原点，代入B（1，15）可求；直线CD上有两个已知点C（2，15），D（3，30），利用待定系数法可求 【解】（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米 （2）设直线CD的解析式为y=kx+b，由C（2，15），D（3，30），代入得：y=15x-15（2x3） 当x=2.5时，y=22.5（千米） 【答】出发两个半小时，小明家离22.5千米 （3）设过E、F两点的直线解析式为y=kx+b，由E（4，30），F（6，0）， 代入得y=-15x+90（4x6） 过A、B两点的直线解析式为y=kx， B（1，15） y=15x（0x1） 分别令y=12，得x=（小时），x=（小时） 【答】小明出发小时或（小时）距家12千米 【规律总结】利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用 方法3：分类讨论法【例3】某工厂研制一种新产品投放市场，根据市场调查的信息得到产品的日销售量y（万件）与销售时间x（天）的关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）分析y（万件）与x（天）的函数关系式； （2）已知销售一件产品获利润0.8元，求在该产品销售量不变期间的利润有多少万元？点拨：根据所给图象及函数的增减性，本题要分三种情况进行讨论 【解】（1）观察图象可知， 当0x90时，设y=k1x，代入（90，5）得 90k1=5，解得k1=，y=x（0x90） 当90x720时，y=5 当720x1 080时，设y=kx+b，代入（720，5），（1 080，0） 解得y=-x+15 （720x1 080） 即y= （2）日利润为50 0000.8=40 000，即4万元 4（720-90）=2 520（万元） 【答】在销售量不变期间的利润有2 520万元 【规律总结】进行有关问题的分类，要全面考察，既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结 方法4：方程方法 方程方法是指对所求数学问题通过列方程（组）使问题得解的方法，在函数有关问题中，方程方法主要体现在运用待定系数法确定函数关系式上 【例4】已知一次函数y=kx+b的图象经过点（-2，5），并且与y轴相交于点P，直线y=-x+3与y轴交于点Q，点Q与点P恰好关于x轴对称，求这个一次函数的解析式点拨：由P与Q关于x轴对称，可求P点坐标，由P点及（-2，5）两个点恰好可求待定系数k，b的值 【解】y=kx+b的图象过点（-2，5） -2k+b=5 又P点坐标是（0，b），点Q坐标是（0，3） b=-3 把b=-3代入-2k+b=5中得k=-4 该一次函数解析式为y=-4x-3 【规律总结】一次函数y=kx+b中含有两个待定系数k，b，必须两个条件，即可列出关于k，b的方程组成的方程组，使问题迎刃而解练习1、如图，大母指与小母指尽量张开时，两指尖的距离称为指距，某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得的指距、身高的一组数据指距d（cm）20212223身高h（cm）160169178187 （1）求出h与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？ 2、光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区 两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格如下表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区 1800元 1600元B地区 1600元 1200元 （1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式并写出x的取值范围 （2）如果农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来； （3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高；请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议 3、直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。 （第4题图）4、如图，一次函数的图象经过A、B两点，则关 于x的不等式的解集是 5、线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，若线段上一点的坐标为，则直线与线段的交点的坐标为 6、如图，已知函数y3xb和yax3的图象交于点P(2，5)，则根据图象可得不等式3xbax3的解集是_。O22-2-2xyy3xbyax3(第6题图)012345678t（时）4102540y（个）甲乙7、某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件（个）与生产时间（小时）的函数关系如图所示（1）根据图象填空：甲、乙中，_先完成一天的生产任务；在生产过程中，_因机器故障停止生产_小时当_时，甲、乙两产的零件个数相等（2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数_Oxyyk1xbyk2x128、直线l1：yk1xb与直线l2：yk2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1xbk2x的解为 。 （第8题图）9、在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，是总价（元）与加油量（升）的函数关系式是 10、已知一次函数的图象如图1所示，那么的取值范围是（ ）图1ABCD11、如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（ ）A，B，C，D，OxyAB2图212、如图2，一次函数图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，则该一次函数的表达式为（ ）ABCD13、将直线y2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是（ ）。A、y2x2 B、y2x2 C、y2(x2) D、y2(x2)14、已知一次函数的图象如图（6）所示，当时，的取值范围是（）xyO3第15题15、一次函数与的图象如图，则下列结论；当时，中，正确的个数是（ ）A0B1C2D316、为调动销售人员的积极性，A、B两公司采取如下工资支付方式：A公司每月2000元基本工资，另加销售额的2%作为奖金；B公司每月1600元基本工资，另加销售额的4%作为奖金。已知A、B公司两位销售员小李、小张16月份的销售额如下表：月份销售额销售额（单位：元）1月2月3月4月5月6月小李（A公司）116001280014000152001640017600小张（B公司740092001100128001460016400(1)请问小李与小张3月份的工资各是多少？(2)小李16月份的销售额与月份的函数关系式是小张16月份的销售额也是月份的一次函数，请求出与的函数关系式；(3)如果712月份两人的销售额也分别满足（2）中两个一次函数的关系，问几月份起小张的工资高于小李的工资。Oy(千米)x(小时)y1y21232.547.5P17、东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，如图所示，图中的线段、分别表示小东、小明离B地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系。试用文字说明：交点P所表示的实际意义。试求出A、B两地之间的距离。18、某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20时，按2元计费；月用水量超过20时，其中的20仍按2元收费，超过部分按元计费设每户家庭用用水量为时，应交水费元（1）分别求出和时与的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元42.6元小明家这个季度共用水多少立方米？参考答案1、【思路分析】（1）设h=kd+b（k0）代入任意两组图d与h的数据，即可求出k、b，从而写出h与d的函数关系式；（2）就是求当h=196时的d值 【解】（1）设h=kd+b（k0）依题意，得h与d之间的函数关系式为h=9d-20 （2）当h=196时，9d-20=196，d=24 身高为196cm的人指距是24cm2、【解】（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为（30-x）台；派往B地区的乙型收割机为（30-x）绐，派往B地区的甲型收割机为（x-10）台 y=1 600x+1 800（30-x）+1 200（30-x）+1 600（x-10）=200x+74 000 x的取值范围是：10x30（x是整数） （2）由题意得200x+74 00079 600 解不等式得x28，由于10x30， 有3种不同分配方案 当x=28时，即派往A地区甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往B地区甲型收割机18台，乙型收割机2台 当x=29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B地区甲型收割机19台，乙型收割机1台 当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区 （3）由于一次函数y=200x+74 000的值y是随着x的增大而增大的，所以，当x=30时，y取得最大值，如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x=30，此时，y=6 000+74 000+80 000 建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区，可使公司获得的租金最高3、解：点B到x轴的距离为2， 点B的坐标为（0，2）， 设直线的解析式为y=kx2, 直线过点A（-4，0）， 0=-4k2, 解得：k=, 直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.4、x27、（1）甲甲 ，（2）甲在时的生产速度最快， ，他在这段时间内每小时生产零件个8、x19、10-15、ABBCCB16、解：（1）小李3月份工资20002%140002280（元）小张3月份工资16004%110002040（元）（2）设，取表中的两对数（1，7400），（2，9200）代入解析式，得（3）小李的工