2011年山东高考数学考场解题的化归与转换 人教版.doc

2011年山东高考数学考场解题的化归与转换 人教版数学解题的基本策略是转换.动手解任何一道数学题，首先想到的是如何化繁为简，化深为浅，化曲为直，化难为易，这些叫做繁简转换.遇到一道你感到比较困难的题，你大可不必束手无策，一筹莫展.这是因为你还可以通过转换命题，构造模型等手段，化抽象为具体，化无穷为有限，化高深为浅显，化空间为平面，一句话，化你不很熟悉的问题为你相对熟悉的问题.这样，你就大有用武之地了.转换既是科学的手段，又是神奇的魔术.特别对于即将参加高考的学子，掌握好转换的数学思想，就可能在考场上纵横驰骋，导演一曲威武雄壮的话剧.【例1】已知f(x+y)=f(x)f(y)对任意的实数x，y都成立，且f(1)=3,则【思考】本题所求的是多达2008项的比值之和.项数太多，直接运算决不可取.出路在哪里？转换首先应该弄清这些比值有什么规律？自变量的规律是明显的（分子中的自变量比分母中的自变量多1），那么函数值的相应比值呢？这正是关键所在，为此我们去向条件要答案.【解】在f(x+y)=f(x)f(y)中，命x=k,y=1,那么：f(k+1)=f (k)f(1),又f(1)=3, 又由f(1)=f(1+0)=f(1)f(0),知f(0)=1,故知数列f(0),f(1),f(2),是首项为1，公比为3的等比数列.在中依次令k=0,1,2,，2007，得：.【点评】本题的转换手段是抓住f(k)是等比数列这个关键所在，从而化繁为简.【例2】 求sin220+cos250+sin20cos50之值.【分析一】 从形式上看，所列三角式与余弦定理的一端类同，因而构造特殊三角形，以便用余弦定理解之.【解答一】 设ABC内接于单位圆,且A=20,B=40,则C=120.如图所示.由正弦定理：BC=2sin20例5题解图,AC=2sin40，AB=2sin120=,由余弦定理：AB2=4sin220+4sin24022sin202sin40cos120, 即4sin220+4cos250+4sin20cos50=3,sin220+cos250+sin20cos50=【分析二】 原题中的三角式是关于正、余弦的齐二次式，因而又可通过设对偶式求值.【解答二】 设A=sin220+cos250+sin20cos50,B=cos220+sin250+cos20sin50，则A+B=2+sin70,AB=cos40+cos100sin30=2sin70sin30sin30=sin70,于是.【评注】解答1是通过构造模型实现数形转换，解答2是通过构造对偶式将求值问题转化为解方程.【例3】 设A、B、C是平面上的任意三个整点（即坐标都是整数的点），求证：ABC不是正三角形.【分析】 平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办？正难则反，实行正反转换. 【解】 假定ABC为正三角形，且A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)均为整点，不妨设x2x1,kAB=,直线AB的方程为：yy1=.即x(y2y1)y(x2x1)+x2y1x1y2=0.点C(x3,y3)到AB的距离.d=,但是|AB|=,SABC=(x3y2x2y3)+(x2y1x1y2)+(x1y3x3y1).即SABC为有理数. 另一方面，SABC=. |AB|0,SABC为无理数 与矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.【例4】 对于a1,1,求使不等式恒成立的x的取值范围.【分析】 本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当怎样走！你是以x为主，讨论二次不等式？还是以a为主，讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的.【解】 y=为R上的减函数，由原不等式得：x2+ax2x+a+1.即a(x1)+(x22x1)0当a1,1时恒成立.令f(a)=a(x1)+(x22x1). 只须x(,1)(3,+)即为所求.【评注】本题的解法是“反客为主”，实行主元与辅助元的转换.【例3】 求函数y=的最大值与最小值.【解析】设tan=t,则y=即t2(y3)2t+3y3=0 t=tanR,关于的方程必有实数根, =443(y3)(y1)0即3y212y+80, 解得：2.即ymax=2+,ymin=2.【评注】实现转换，就需要有恰当的转换手段.这里是利用“万能代换”公式将比较困难的三角求值问题转换为一元二次方程，然后利用其判别式顺利达到求最值的目的.【例5】函数与函数的图象必关于（ ）A.对称B.对称C. 对称D. 对称【解析】将题干中的两个函数改写为：与，再令，问题归结为函数与的图象关于什么直线对称.显然这两个函数互为反函数，它们关于直线，也就是直线对称，故选B.【评注】本解的实质是实行平移转换.原来的两个函数结构比较复杂，关于什么直线对称难以看清，经过平移转换，发现它们只不过是新坐标系下的一对反函数，继续解题也就是轻而易举的事了.【例6】设函数，若存在某个实数使，则的值 （ ）A.大于0 B.小于0C.等于0 D.以上都有可能【解析】的图象是开口向上的抛物线如右图，其对称轴为，且.根据对称性，应有.已知，必，故.当时为增函数，故，故选A.【评注】本解实行的是数形转换.【例7】某资料室在计算机使用中，如下所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的. 此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，的通项公式为： ; 编码100共出现 次.11111112345613579111471013161591317211611162126【分析】本题是属于“小题不小”一类的考题，其特点是数据无穷多，所以转换的方向是：“无穷问题有穷化”.将1，2，5，10，17，依次改写为：.容易看出：主对角线上数列1，2，5，10，17，的通项公式为.或. 可是，在这个无限;编码的表中，不讲方法技巧而去寻找有多少个编码100又何其难也.必须找到命题转换的关键之处 首先，没有正整数解，所以主对角线上不存在编码100. 其次，从发展趋势看，第一行和第一列都是常数列，不存在编码100；第2行和第2列是正整数列，必各有编码100一个.第三，我们把前两行、两列所有编码去掉，得一个如下新表.现在的第一行和第一列都是首项为5，公差为2的等差数列，显然不存在编码100.579117101316913172111162126第四，我们将上述“操作”继续下去，首项为10，公差为3的等差数列，存在两个编码100：=100；首项为17，公差为4的等差数列，不存在编码100；首项为26，公差为5的等差数列，不存在编码100；首项为37，公差为6的等差数列，不存在编码100；首项为50，公差为7的等差数列，不存在编码100；首项为65，公差为8的等差数列，不存在编码100；首项为82，公差为9的等差数列，存在两个编码100（）综上，该表中，编码100共存在6个【评注】由上分析可知：本题的关键之处在于：以主对角线上数列1，2，5，10，17，的每一个数为首项，与相应的行或列上的其余各数依次可以组成公差为0，1，2，3，的等差数列，我们只须考察哪些数列中存在数据100即可. 【例8】已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为m个，则从存储器中取出n个数据后，此存储器中的数据个数为mn个；若存储器中原有数据为m个，则将n个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为m + n个.现已知计算机中A、B、C三个存储器中的数据个数均为0，计算机有如下操作：第一次运算：在每个存储器中都存入个数相同且个数不小于2的数据；第二次运算：从A存储器中取出2个数据，将这2个数据存入B存储器中；第三次运算：从C存储器中取出1个数据，将这1个数据存入B存储器中；第四次运算：从B存储器中取出A存储器中个数相同的数据，将取出的数据存入A存储器，则这时存储器B中的数据个数是（ ）A8 B7 C6 D5【分析】一道小题用大量的语言叙述，是近几年高考题中的常见模式.对这类问题，我们须首先提炼其中的“数学元素”，将普通语言转换为数学语言，然后用恰当的数学方式解之.【解析】设首次存入的数据为x（x2），则有：运算次数 A B C 一 x x x 二 x-2 x+2 x 三 x-2 X+3 x-1 四2（x-2） ？ x-1根据第四次运算的法则，表中的“？”处应为：（x+3）-（x-2）=5，故选D.【评注】将数学问题表格化，也是一种简洁的转换方式. 【例9】在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，EAB=ABC=DEA=90（1）求证：PA平面ABCDE；（2）求二面角A-PD-E的大小；（3）求点C到平面PDE的距离 【分析】“空间问题平面化”，是立体几何解题的基本方向.在本题的三问中：（1）线面垂直问题可以转化为证明线线垂直；（2）空间角问题可以转化为求平面角，有条件时还可以利用投影公式解决；（3）点面距离的实质是求点线距离.【解析】（1）如图，由题设条件可得：PA2+AB2=8a2=PB2，PAAB.同理：PAAE，故PA平面ABCDE；（2）作EHAD于H，连PH.由（1）知PAEH，EH平面PAD， 是在平面PAD的射影.中，.由三垂线定理知中，设二面角A-PD-E的大小为，则，所求二面角A-PD-E的大小为. （3）易求点A到平面PDE的距离为（取BE中点M，连AM，则AM之长即为点A到平面PDE的距离），而ABDE，且C为BF中点，C到平面PDE的距离为.【例10】在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点P（3，），且与x轴交于点F（2,0）（1）求直线l的方程；（2）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；（3）若在（）（）的情况下，设直线l与椭圆的另一个交点Q，且,当最小时，求对应值【分析】（1）直线过P、F，且点F的纵坐标为0，故宜将直线方程设为用y的代数式表示x；（2）求曲线方程的实质是将其转换为列、解方程组； （3）条件说明点P、M、Q三点共线，最小则可转换为求原点到直线PQ的距离.【解析】（1）设所求直线方程为.代入：，得，也就是：.（2）椭圆的一个焦点为F（2，0）时，必有c=2，y也就是.设椭圆方程为：.点代入：，化简得：，则，所求椭圆方程为：.（3）由，得点Q的坐标是.作OMPQ于