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3.2 简单的三角恒等变换【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,引导学生推导半角公式,积化和差、和差化积公式(公式不要求记忆),使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。【教学重点、难点】 教学重点:引导学生以已有公式为依据,以推导半角公式,积化和差、和差化积公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力。 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力。【教学过程】复习引入:复习倍角公式、 先让学生默写三个倍角公式,注意等号两边角的关系,特别注意。既然能用单角表示倍角,那么能否用倍角表示单角呢?半角公式的推导及理解 : 例1、 试以表示解析:我们可以通过二倍角和来做此题(二倍角公式中以a代2a,代a)解:因为,可以得到;因为,可以得到两式相除可以得到点评:以上结果还可以表示为: 并称之为半角公式(不要求记忆),符号由角的象限决定。降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换,三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系他们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点。变式训练1:求证积化和差、和差化积公式的推导(公式不要求记忆):例2:求证:();()解析:回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式,观察公式与所证式子的联系。证明:()因为和是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着手;两式相加得;即;()由()得;设,那么把的值代入式中得点评:在例证明中用到了换元思想,()式是积化和差的形式,()式是和差化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式变式训练2:课本p142 2(2)、3(3)例、求函数的周期,最大值和最小值解析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相应的值。解: ,所以,所求的周期,最大值为,最小值为点评:例是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中的作用变式训练3:课本p142 4、(1)(2)(3)探究:求y=asinx+bcosx的周期,最大值和最小值小结:我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式
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