MATLAB在线性四面体有限元分析中的应用.doc

Matlab在线性立体有限元分析中的应用摘要：Matlab具有强大的运算功能，本文以线性四面体元为例，详细介绍MATLAB在刚度矩阵推导，静力结构等有限元分析中的具体应用，编写了刚度矩阵，引用边界条件以及后处理各步骤的程序，该方法可以进一步推广到其他单元甚至更复杂的结构分析中。关键词：Matlab 有限元 刚度矩阵 0 引言Matlab是美国MathWork公司开发的用于数值计算，算法研究，建模仿真，实时实现的理想集成环境，因其完整的专业体系和强大的运算功能已广泛应用于工业、电子、信号处理、控制、建筑、教学等各个领域。有限元是近代数值计算最有效方法之一有限元法的基础是单元划分以及刚度矩阵的推导，目前，有限元分析已有一个相对固定的模式，而烦琐、复杂的矩阵运算、微分、积分是分析过程中的主要内容通常，这种矩阵运算是由手工来完成的，工作量大，而且极易出错利用MatLab丰富的符号运算功能，构建有限单元模型，完成刚度矩阵推导及后处理过程中的运算，不但速度快，而且准确性高。利用Matlab编写函数M文件并在运算过程中调用，能够依据具体问题对模型进行分析运算，并能在类似问题中得到推广应用。1 线性四面体有限元分析中的基本方程 线性四面体（立体）元（liner tetrahedral(solid)element）是既有局部坐标又有总体坐标的三维有限元，用线性函数描述。线性四面体元的系数有弹性模量E和泊松比，每个线性四面体与元有四个节点并且每个节点有三个自由度，如图1所示。这四个节点的总体坐标用、表示。单元刚度矩阵给定如下： （1.1）式中V是单元的体积，由下式给出： （1.2） 图1 线性四面体（立体）元矩阵由下式（1.3）确定：在方程（1.3）中，形函数由下式给出： （1.4）在方程（1.1）中，矩阵由下式（1.5）确定：2 建立的Matlab函数 TetrahedronElementVolume(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4),该函数根据给出的第一个节点坐标，第二个节点坐标，第三个节点坐标和第四个节点坐标返回单元的体积。TetrahedronElementStiffness(E,NU,x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4),该函数用于计算弹性模量E、泊松比NU、第一个节点坐标，第二个节点坐标，第三个节点坐标和第四个节点坐标时的线性四面体（立体）单元的刚度矩阵。该函数返回1212的单元刚度矩阵k. TetrahedronAssenble(K,k,i,j,m,n),该函数将连接节点i、节点j、节点m和节点n的线性四面体元的单元刚度矩阵k集成到整体刚度矩阵K。每集成一个单元，该函数都会返回3n3n的整体刚度矩阵K。TetrahedronElementStresses(E,NU,x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,u),该函数计算在弹性模量E、泊松比为NU、第三个节点坐标、第四个节点坐标以及单元节点位移矢量为u时的单元应力矢量。该函数返回单元应力矢量。QuadraticQuadElementStresses(sigma),该函数根据平面压力矢量sigma计算单元主应力。其形式为。其中sigma1、sigma2和sigma3为单元的主应力，该函数并不返回主应力方向角。3 推广到线性多面体结构的有限元分析显然，线性四面体元有12个自由度，每个节点有三个自由度。因此，对一个有n个节点的结构而言，其整体刚度矩阵K应该是3n3n的（每个节点有三个自由度）。调用Matlab的TetrahedronAssenble函数可以得到整体刚度矩阵K，并列写以下方程组： （3.1） 式中，U是结构节点位移矢量，F是结构节点载荷矢量。在这一步中，边界条件被手动赋值给U和F。然后用分解法和高斯消去法求解方程组，得到位移和支反力，就可以用下式求出每个单元的应力矢量。 （3.2）以线性六面体平板为例，平板受到均匀分布的载荷作用，将平板分为5个线性四面体单元，8个节点。通过调用Matlab的TetrahedronElementStiffness函数，得到5个单元刚度矩阵，每个矩阵都是1212的。由于结构有8个节点，所以整体刚度矩阵是2424的。由于在该结构中有5个这样的单元，所以5次调用Matlab的TetrahedronAssenble函数，就可以得到整体刚度矩阵K。将边界条件带入到该结构的方程组中，就可以进行求解计算。提取边界条件对应的子矩阵，就可以求出节点的支反力；建立节点位移矢量U，计算结构节点力矢量F。接下来，调用Matlab的TetrahedronElementStresses函数就能够计算出每个单元的主应力。4 结论 以线性四面体作为有限元模型的基本单元，可以推广到更为复杂的立体结构进行有限元分析。Matlab在构建模型，推导刚度矩阵，完成后处理计算中发挥了重要作用，构建了分析过程函数，算法准确可靠，并能在类似工程问题中重复利用，简便有效。参考文献1 黄以实.用Matlab分析静力结构有限元法J.广西大学学报：自然科学版，2009,7:293-298.2 李伟旭，刘艳珂，张永水.用Matlab进行结构的有限元法分析J.重庆交通学院学报,2007,2：