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2005年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试卷（2005年12月11日 上午9：0011：00）题号一二三四总分得分评卷复核解答本试卷不得使用计算器一、填空题：（本大题10小题，前5题每题8分，后5题每题10分，共90分）1在小于100的正整数n中，能使分数化为十进制有限小数的n的所有可能值是 。2将数码1，2，3，4，5，6，7，8，9按某种次序写成一个九位数：，则A的最大可能值是 。3如果一个两位数与三位数的积是29400，那么X+Y+Z= 。4已知a，b，x，y都为实数，且，则 的值为 。5如图：OAB的顶点O（0，0），A（2，1），B（10，1），直线CDX轴，并且把OAB面积二等分，若点D的坐标为（x，0），则x的值是 。6如果两个一元二次方程分别有两个不相同的实根，但其中有一个公共的实根，那么实根的大小范围是 。7如图：在梯形ABCD中，ABDC，DC=2AB=2AD，若BD=6，BC=4，则SABCD= 。（SABCD表示四边形ABCD的面积，下同）8如图，中，点M、N分别是边BC、DC的中点，AN=1，AM=2，且MAN=60，则AB的长是 。9如图：ABC中，点E、F分别在这AB、AC上，EFBC，若SABC=1，SAEF=2SEBC，则SCEF= 。10设P为质数，且使关于x的方程x2px580p=0有两个整数根，则p的值为 。二、（本题20分）已知矩形ABCD的相邻两边长为a、b，是否存在另一个矩形ABCD，使它的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的？证明你的结认论。三、（本题20分）已知a、b、c都是大于3的质数，且。（1）求证：存在正整数n1，使所有满足题设的三个质数a、b、c的和a+b+c都能被n整除；（2）求上一小题中n的最大值。四、（本题20分）如图：在RtABC中，CACB，C=90，CDEF、KLMN是ABC的两个内接正方形，已知SCDEF=441，SKLMN=440，求ABC的三边长。2005年（宇振杯）上海市初中数学竞赛参考解答一、 填空题1、6，31； 2、4648； 3、18； 4、5； 5、；6、 7、18； 8、 9、 10、29二、设矩形ABCD的相邻两边长为m、n，则按题意有m+n=,，因此m、n是二次方程的两正根。 上述二次方程有两正根的条件是即当时，满足条件的矩形ABCD存在；当时，满足条件的矩形ABCD不存在。三、（1）c=2a+5b， a+b+c=3a+6b=3(a+2b) 又a、b、c都是大于3的质数，故引(a+b+c)，即存在正整数n1(例如n=3)，使 （2）a、b、c都是大于3的质数 a、b、c都不是3的倍数 若，例，这与C不是3的倍数矛盾同理，也将导致矛盾因此，只能，于是当为质数，a+b+c=99=911；当为质数，a+b+c=135=915；在所有中，最大为9四、论正方形CDEF的边长为x，正方形KLMN的边长为y，则按题设x=21，y=，设BC=a，CA=b，AB=c，
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