泰勒公式的一个推广和应用为解决微分方程组.doc

泰勒公式的一个推广和应用为解决微分方程组1.众所周知柯西1的问题 (1) 有解决 (2)这是一个特定的解决均匀方程满足条件 (3)就可以看出来,在特殊例子 (1a)我们有及配方(3)变得泰勒的公式,积分形式剩下的部分条件: (2a)在2的基础上,如果我们将第二中值定理积分(二),我们得到的 (4 )当“余子式”是什么 (5)这里功能由(3)得: (6) 很明显，且k=1,2,3,n; 容易理解, 满足了方程第一笔(4)是“泰勒L-polynomial”: (7)为一个函数f(x)等于常数B,公式(4)精确,至今 (8) 解决这个问题的非齐次方程(1)符合规定的初始条件。2. 针对非线性方程 (9)该公式(2)产量积分方程系统 (10)柯西问题相当于式。(9)具有相同的初始条件。系统(10)产生的数值计算方法 (11)在 (12) 固定增值,系数是常数(11),每一个步骤只需要一个计算方法的有价值的功能的。如果我们不考虑“单一”输入在确定系数(12)的公式(11)相当于现在的欧拉法就的计算。该数值方法的一种功能为明确是不断对各步和剩下的连续的。该方法的误差估计在第一步是显而易见的 在3. 从系统的功能构建了线性算子,我们就会形成Taylor L-series.”用类似(6)推法: (13)因为它是显而易见的它的意思是,收敛的L-series“不仅取决于行为衍生的,而且还对行为的功能上微分算子。为代表的Taylor L-series.”这里N n。如果开始存在N,存在的一个邻域内所有的要点对于一致有界。因为在这邻域L-series是一致收敛,具有所有属性的均匀收敛序列。4.我们举例相应的扩展。a) 如果，然后，因此, b) 如果相较之下,我们取得c) 为我们有因此5.该扩展可以更方便的解的近似表示“拟线性“微分方程(13)当“线性”的 L(y) 部分包含系数。在现代电脑计算没有本质的更复杂,因为比多项式的功能线性组合的权力,指数、和三角函数,函数,在标准算法的语言通过了积分方程(10)允许我们推广以一种自然而然的方式解决的概念不连续函数的情况下,只要他们可积、试验,采用迭代(手段是存在性定理,收缩映射,例如),从而得到更灵活的估计根据选择的区域如果方程的解（10）靠近多种形式的Taylor L-polynomials所产生的(7),表示(4)是有效的。因此,为解决问题接近周期与频率我们有(14) 这产生的数值计算方法 在和不断增加的方向。如果希望的解决方法是接近正弦与频率,然后公式(15),被相当于的欧拉逼近的计算,允许大增加整合与一个可接受的错误。他们更换积分曲线与管道破裂的正弦波领域有方向由方程。结果表明,公式(15)表达著名的-method3图形解决问题能力理论中出现的振荡。表示(10)也便于求解一个线性方程与延期的论点等同于积分方程。计算积分我们可以用不同的方法,例如,正交梯形规则。6公式(14)使我们学习条件,建立了振动频率这样的条件下,我们必须使用周期: (16)积分方程(16)第一种都像式。(14),法编程求解连续的估计。在初始逼近(特别是对解决方案接近谐波)你会很自然地摆放(17) 这的确定相应的初始条件和系统(18)很容易看到方程(18)出现在任何的一种变体小的参数法4、5。假定F小显然与功能为这样的假设,即理想的解决方法是接近谐波解决方案并可以用更有效的频率估计方法的收敛性,连续的估计。autooscillations的研究，如果我们把，当,采取最初的近似，未知，然后测定和在初始逼近我们所得到的系统 （18a）现在很容易从第一近似按照(14),等等。7. 两点边值问题的 (19) 采用替代 我们获得 (19a) 在这是很容易看到的那个问题(