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对数【基础知识精讲】1.基础知识图表2.对数的定义定义：若abN(a0,a1)，则数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.3.对数式、指数式与根式指数式abN，根式a和对数式logaNb(N0,a0,a1)是同一种数量关系的三种不同表达形式.请见下表.表达形式abN对应的运算abN底数指数幂乘方，由a、b求Na方根根指数被开方数开方，由N、b求alogaNb底数对数真数对数，由N、a求b由此可见：(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算.(2)弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键.4.常用对数与自然对数对数logaN(a0,a1),当底数(1)a10时，叫做常用对数，记作lgN；(2)ae时，叫做自然对数，记作lnN.在常用对数中，我们省去了底数不写.例如：lg10log10101，lg100log101022，log0.1log10(10)-1-1等等.5.对数恒等式：logaakk(a0,a1)aN(a0,a1)6.对数的运算性质：如果a0，a0，M0,N0，那么(1)loga(MN)logaM+logaN(2)logalogaM-logaN(3)logaMnnlogaM(nR)要注意公式的逆用及公式证明的思路(见教材)7.对数运算性质的理解与运用须注意的问题(1)对于一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立.(2)要把握住运算性质的本质特征，防止应用时出现错误.(3)要学会用语言准确地叙述运算性质.(4)利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可以简化计算方法，加快计算速度.特别注意的是换底公式的证明与运用.【重点难点解析】1.正确理解、熟悉abN与blogaN的内在关系，迅速互化是学习对数的关键.指数式abN与对数式logaNb中a、b、N三者间的关系实质如下(0a且a1)式 子名 称意 义abN指数式abN底数指数幂a的b次幂等于N对数式logaNb底数对数真数以a为底N的对数等于b根式a根式根指数被开方数N的b次方根等于a2.由指数函数的性质：00.即blogaN中的真数应为正数在指数中特别有a01,a1a，则在对数中特别有：loga10,logaa1.这在运用指数函数与对数函数的性质解决问题需要化同底时是很重要的.3.准确熟练记忆对数运算的法则，要注意其形式及适用的条件，也要注意法则的逆用.例1 若log2log (log2x)log3log(log3y)log5log(log5z)0.试比较x、y、z的大小?分析 将已知条件分别看作关于x、y、z的方程，分别求出x、y、z再比较.解：log2log (log2x)0log(log2x)1log2xx(215).同理可得 y(310) ,z(56) .31021556，由幂函数yx在(0，+)上递增知，yxz.例2 已知a、b、x为正数，且lg(bx)lg(ax)+10求的范围.分析 将lg(ax)变形转化为lg，出现我们所需要的，再利用二次方程的相关理论，求的范围.解：由lg(ax)lg(bx)+10变形得：lglg(bx)+10整理得 lg2(bx)+lglg(bx)+10由于a、b、x为正数，所以bx0，则lg(bx)为实数，实数方程有实根，则0即：-40，解之得的取值范围是： (0, )100，+).例3 已知lgx+lgy2lg(x-2y),求的值.分析 不要遗忘了在解题过程中，对数定义中，“对数的真数必须大于零”这一前提，在运算过程中，x0,y0,x-2y0，因而有x2y0.解： lgx+lgy2lg(x-2y) xy(x-2y)2，即x2-5xy+4y20即 (x-y)(x-4y)0，得xy或x4y. x0,y0,x-2y0, x2y0xy应舍去， x4y,即4 log()44.例4 (1)用logax,logay表示loga；(2)设lg2a,lg3b，求lg;(3)已知lgx2lga+3lgb-51gc,求x.解：(1)logalogaa+logax-logay+logax-logay.(2)lglg(233)lg(233)lg2+lg3a+b.(3)由已知得lgxlga2+lgb3-lgc5lg, x.评析 第(2)小题由54233，进而将lg用lg2与lg3表示，以达到化未知为已知的目的；第(3)小题利用了下述结论：同底的对数相等，则真数相等.【难解巧解点拨】例1 已知logax4,logay5，求A的值.分析 对数式化指数式，便得x,y.解： logax4,logay5,xa4,ya5, Axy(a4) (a5) aa1.评析 本题的另一解法是：logaAloga(xy)logax-logay4-50loga1,故A1.最后一步利用了结论：若同底的对数相等，则真数相等.例2 设3x4y36，求+的值.分析 由已知式中分别求出x和y.解： 3x36,4y36, xlog336,ylog436, log363, log364， +2log363+log364log36(324)log36361.评析 指数式化为对数式后，两对数式的底不相同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除.例3 设a,b,c为正数，且axbycz，求证：若+，则cab.分析 由已知式解出x,y,再将它们代入+，化简便得证.证：由已知，xyz0，若a1,则bc1,此时cab成立.若a,b,c均不为1，则 axcz,bycz, xlogacz,ylogbcz, xzlogac,yzlogbc, logca, logcb, + (logca+logcb)logc(ab),又 +， logc(ab)1, cab.评析 若a,b,x,y,z为正数，且a,b均不为1,axby(ab)z,则+.特别地，若x,y,z为正数，且3x4y6z，则+.【课本难题解答】课本84页，习题2.7节第3题：(1)logalogax-2logay-logaz(2)loga(x)logax+logalogax-logay+logaz(3)loga(xyz)logax+logay-logaz(4)logalogax+logay-loga(x+y)-loga(x-y)(5)loga(y)loga-logax-y+logay(6)loga3logay-logax-loga(x-y)3logay-3logax-3loga(x-y)第6题：(1)lgxlg(ab),xab (2)logaxloga,x(3)lgxlg(n3m),xn3m (4)logaxloga,x【典型热点考题】例1 设a,b,c都是正数，且3a4b6c,那么( )A. +B. +C. +D. +分析 本题考查了指数概念、对数概念，重点考查了利用对数性质进行运算的能力.设3a4b6ck(k0)，把指数式转化为对数式，解出a,b,c得解法1；又对3a4b6ck取对数求出,，证得+2,得解法2；取特殊值，如令c1，排除A、C、D得解法3.解法1：设3a4b6ak(a,b,c均为正数，k0)，则alog3k,blog4k,clog6k,于是 logk3, logk4, logk6.显然 2logk3+logk42logk6, +.解法2：对3a4b6c同时取以10为底的对数，得lg3alg4blg6c.alg3blg4clg6. log63, log64.又+log6(94)2, +.解法3：不妨令c1，则1, log63,blog46. log642log62. +log63+2log621+log62,+2+log64,+1+3log62.排除A、C、D， 应选B例2 函数ylog2的定义域为 .解：由0，得0，利用根轴法，得x1).即 x2-x-20(x1),解得x2 方程解是x2.注 本题主要利用对数运算性质公式解题，以及运用转化思想将对数方程转化为一元二次方程来解.例4 若全集IR，Ax0，Bxlg(x2-2)lgx，则ACIB是( )A.2 B.-1 C.xx-1 D. 解法1：集合A中的元素满足的条件是x-1，又ACIBA，排除A、C，将x-1代入lg(x2-2)lgx知不成立.故x-1CIB. 应选B.解法2：集合A中元素满足的条件是x-1，集合B中元素满足的条件是 即解得x2，于是CIBxx2，所以ACIB-1 应选B.【知识探究学习】某城区2000年底有居民住房总面积为a(平方米)，现将居民住房划分为三类，其中危旧住房占，新型住房占.为了加快住房建设，计划用10年的时间全部拆除危旧住房(每年拆除的数量相同)，自2001年起居民住房只建设新型住房，使得从2001年开始，每年年底的新型住房面积都比上一年底增加20%，用an(平方米)表示第n年底(2001年为第一年)该城区的居民住房总面积.(1)分别写出a1，a2,a3的表达式，并归纳出an的计算公式(不必证明)；(2)危旧住房全部拆除后，至少再过多少年才能使该城区居民住房总面积翻两番?(精确到年，以下数据供参考：lg20.30,lg30.48,lg431.63)解：(1)2000年底除了危旧住房和新型住房外的其他形式的住房面积为a-(+)a=a.每年拆除危旧住房面积为a=.依题意，得a1=(1+20%)+a+a-a;a2= (1+20%)2+a+a-a;a3= (1+20%)3+a+a-a;一般地(2)由(1+20%)n+4a,得 1.2na.nlg1.2lg43-lg3.所以 n14.37故n=15时取15-10=5.即至少再经过5年才能使该地区的居民住房总面积翻两番.【同步达纲练习】一、选择题1.如果点P(lga,lgb)关于x轴的对称点的坐标是(0，-1)，则a和b的值是( )A.a1,b10 B.a1,bC.a10,b1D.a,b12.与函数y10lg(x-1)的图像相同的函数是( )A.yx-1B.yx-1C.yD.y3.若lgxa,lgyb,则lg-lg()2的值为( )A. a-2b-2B. a-2b+2C. a-2b-1D. a-2b+14.lg(+)的值为( )A.1 B. C.2 D.5.若log23a,则log43( )A.a+2 B.a-2 C.2a D.6.等式log3x22成立是等式log3x1成立的( )A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.不充分又不必要的条件7.下列式子中正确的个数是( )loga(b2-c2)2logab-2logac；(loga3)2loga32；log33；logax22logax.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题1.若loga-2log37，则a .2.已知log32log23x，则x .3.log0.7x3log0.7c-log0.7b+2og0.7a，则x .4.若log(x+1)(x+1)1，则x的取值范围是 .三、解答题1.设x、yR，且y，求lg(x+y)的值.2.求值：(1-log63)2+log62log618log643.求值：(1)log2log3(log5125)；(2)5.4.已知a+blg32+lg35+3lg2lg2lg5，求a3+b3+3ab的值.【素质