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文档简介

下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例）1、拓扑空间中有限集没有聚点。答：这个说法是错误的。反例： ，规定拓扑 ，则当时，和都是的聚点。因为和的领域只有一个，它包含，不是的聚点，因为。2、欧式直线是紧致空间。答：这个说法是错误的。反例：对而言，有开覆盖，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。3、如果乘积空间道路连通，则和都是道路连通空间。答：这个说法是正确的。证明：对于投射有，由投射是连续的，又知是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以和都是道路连通空间。4、单位闭区间与不同胚。答：这个说法是正确的。下面用反证法证明，反设与同胚，则也是同胚映射，不连通，则 不连通，故矛盾，所以单位闭区间与不同胚。5、紧致性具有可遗传性质。答：这个说法是错误的。反例 ：紧致但不紧致。三、证明题（每题10分，共50分）1、规定为，证明是连续映射，但不是同胚映射。证明：由于限制在与上连续，由粘接引理，连续。但不连续，如是的闭集，但不是的闭集，所以不是同胚映射。2、证明：空间的子空间也是空间。证明：设是空间，是的任一子空间，需证是空间。，由是空间，所以存在在的开邻域、使得，是在中开邻域，是在中开邻域，故是空间。3、证明：从紧致空间到空间的连续双射是同胚。证明：要证明连续，只需证是闭映射，设是的闭子集紧致，所以是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致，所以是的紧致子集，又由于空间的紧致子集是闭集，所以是的闭集。4、设是的既开又闭的子集，是的连通子集，则或者或者。证明：是的既开又闭的子集，由于连通，则或者或者即。5、证明：道路连通性具有可乘性质。证明：设是是中两点，和都是道路连通，则有中道路，以为起始点
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