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第十章弯曲内力Chapter10Internalforcesinbeams 目录 第十章弯曲内力 10 1引言 10 2梁的计算简图 10 3剪力和弯矩 10 4剪力 弯矩方程与剪力 弯矩图 10 5剪力 弯矩与载荷集度间的微分关系 目录 10 1引言 起重机大梁 目录 车削工件 目录 10 1引言 火车轮轴 目录 10 1引言 目录 10 1引言 7 目录 基本概念 Basicconcepts 2 梁 Beam 以弯曲变形为主的杆件 1 受力特征 外力 包括力偶 的作用线垂直于杆轴线 2 变形特征 变形前为直线的轴线 变形后成为曲线 1 弯曲变形 Deformationofbending 3 平面弯曲 Planebending 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内 弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线 这种弯曲称为平面弯曲 10 1引言 平面弯曲 具有纵向对称面 目录 对称弯曲 外力都作用在此平面内 弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线 10 1引言 常见弯曲构件截面 目录 10 1引言 10 2梁的计算简图 目录 1 梁的简化通常取梁的轴线来代替梁 2 载荷类型 集中力 concentratedforce 集中力偶 concentratedmoment 分布载荷 distributedload 11 目录 3 支座的类型 可动铰支座 rollersupport 固定铰支座 pinsupport 固定端 clampedsupportorfixedend 10 2梁的计算简图 火车轮轴简化 目录 10 2梁的计算简图 目录 10 2梁的计算简图 吊车大梁简化 均匀分布载荷简称均布载荷 目录 10 2梁的计算简图 非均匀分布载荷 目录 10 2梁的计算简图 简支梁 simplysupportedbeam 外伸梁 overhangingbeam 悬臂梁 cantileverbeam FAx FAy FBy FAx FAy FBy FAx FAy MA 静定梁的基本形式 目录 10 2梁的计算简图 10 3剪力和弯矩 Shear forceandbending momentinbeams 一 内力计算 Calculatinginternalforce 18 FS剪力 Shearforce 平行于横截面的内力合力 M弯矩 Bendingmoment 垂直于横截面的内力系的合力偶矩 10 3剪力和弯矩 目录 截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针转向时 剪力为正 反之为负 10 3剪力和弯矩 左上右下为正 反之为负 目录 二 内力的符号规定 Signconventionforinternalforce 20 截面上的弯矩使得梁呈凹形为正 反之为负 10 3剪力和弯矩 左顺右逆为正 反之为负 目录 Happybeamispositive Cryingbeamisnegative 解 1 确定支反力 2 用截面法研究内力 目录 例题10 1 10 3剪力和弯矩 分析右段得到 目录 10 3剪力和弯矩 截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和 目录 10 3剪力和弯矩 截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和 目录 10 3剪力和弯矩 25 目录 10 4剪力 弯矩方程与剪力 弯矩图 Shear forceshear force bending momentdiagrams FS FS x M M x 一 剪力方程和弯矩方程 Shear force bending momentequations 用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律 分别称作剪力方程和弯矩方程 1 剪力方程 Shear forceequation 2 弯矩方程 Bending momentequation 26 目录 弯矩图为正值画在x轴上侧 负值画在x轴下侧 二 剪力图和弯矩图 Shear force bending momentdiagrams 剪力图为正值画在x轴上侧 负值画在x轴下侧 以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置 以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩 这种图线分别称为剪力图和弯矩图 10 4剪力 弯矩方程与剪力 弯矩图 悬臂梁受均布载荷作用 试写出剪力和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 解 任选一截面x 写出剪力和弯矩方程 依方程画出剪力图和弯矩图 由剪力图 弯矩图可见 最大剪力和弯矩分别为 目录 例题10 2 10 4剪力 弯矩方程与剪力 弯矩图 图示简支梁C点受集中力作用 试写出剪力和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 解 1 确定约束力 FAy Fb lFBy Fa l 2 写出剪力和弯矩方程 AC CB 3 依方程画出剪力图和弯矩图 目录 例题10 3 10 4剪力 弯矩方程与剪力 弯矩图 图示简支梁C点受集中力偶作用 试写出剪力和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 解 1 确定约束力 FAy M lFBy M l 2 写出剪力和弯矩方程 AC CB 3 依方程画出剪力图和弯矩图 目录 例题10 4 10 4剪力 弯矩方程与剪力 弯矩图 简支梁受均布载荷作用 试写出剪力和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 解 1 确定约束力 FAy FBy ql 2 2 写出剪力和弯矩方程 3 依方程画出剪力图和弯矩图 目录 例题10 5 10 4剪力 弯矩方程与剪力 弯矩图 10 5剪力 弯矩与载荷集度间的微分关系 载荷集度 剪力和弯矩关系 目录 载荷集度 剪力和弯矩关系 q 0 Fs 常数 剪力图为水平直线 M x 为x的一次函数 弯矩图为斜直线 2 q 常数 Fs x 为x的一次函数 剪力图为斜直线 M x 为x的二次函数 弯矩图为抛物线 分布载荷向上 q 0 抛物线呈凹形 分布载荷向上 q 0 抛物线呈凸形 3 剪力Fs 0处 弯矩取极值 4 集中力作用处 剪力图突变 集中力偶作用处 弯矩图突变 目录 10 5剪力 弯矩与载荷集度间的微分关系 5 也可通过积分方法确定剪力 弯矩图上各点处的数值 从左到右 向上 下 集中力作用处 剪力图向上 下 突变 突变幅度为集中力的大小 弯矩图在该处为尖点 从左到右 顺 逆 时针集中力偶作用处 弯矩图向上 下 突变 突变幅度为集中力偶的大小 剪力图在该点没有变化 目录 10 5剪力 弯矩与载荷集度间的微分关系 34 二 剪力 弯矩与外力间的关系 外力 无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶 Fs图特征 M图特征 水平直线 斜直线 自左向右突变 无变化 斜直线 曲线 自左向右折角 自左向右突变 与m反 微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法 根据载荷及约束力的作用位置 确定控制面 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值 建立FS一x和M一x坐标系 并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状 进而画出剪力图与弯矩图 目录 10 5剪力 弯矩与载荷集度间的微分关系 例题10 6简支梁受力的大小和方向如图示 试画出其剪力图和弯矩图 解 1 确定约束力 求得A B二处的约束力FAy 0 89kN FBy 1 11kN 根据力矩平衡方程 2 确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面 即A C D E F B截面 目录 10 5剪力 弯矩与载荷集度间的微分关系 3 建立坐标系建立FS x和M x坐标系 5 根据微分关系连图线 4 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值 并将其标在FS x和M x坐标系中 0 89kN 1 11kN 目录 10 5剪力 弯矩与载荷集度间的微分关系 解法2 1 确定约束力 FAy 0 89kNFFy 1 11kN 2 确定控制面为A C D B两侧截面 3 从A截面左测开始画剪力图 目录 10 5剪力 弯矩与载荷集度间的微分关系 4 从A截面左测开始画弯矩图 从A左到A右 从C左到C右 从D左到D右 从A右到C左 从C右到D左 从D右到B左 从B左到B右 目录 10 5剪力 弯矩与载荷集度间的微分关系 例题10 7试画出梁的剪力图和弯矩图 解 1 确定约束力 根据梁的整体平衡 由 求得A B二处的约束力 2 确定控制面 由于AB段上作用有连续分布载荷 故A B两个截面为控制面 约束力FBy右侧的截面 以及集中力qa左侧的截面 也都是控制面 目录 10 5剪力 弯矩与载荷集度间的微分关系 3 建立坐标系建立FS x和M x坐标系 4 确定控制面上的剪力值 并将其标在FS x中 5 确定控制面上的弯矩值 并将其标在M x中 目录 10 5剪力 弯矩与载荷集度间的微分关系 解法2 1 确定约束力 2 确定控制面 即A B D两侧截面 3 从A截面左测开始画剪力图 目录 10 5剪力 弯矩与载荷集度间的微分关系 4 求出剪力为零的点到A的距离 B点的弯矩为 1 2 7qa 4 7a 4 81qa2 32 qa2 AB段为上凸抛物线 且有极大值 该点的弯矩为1 2 9qa 4 9a 4