2018版高中数学空间几何体1.31.3.2球的体积和表面积学案新人教A版.docx

1.3.2球的体积和表面积目标定位1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.自 主 预 习球的体积公式与表面积公式(1)球的体积公式VR3(其中R为球的半径)(2)球的表面积公式S4R2即 时 自 测1.判断题(1)球的半径为R，那么它的体积VR3.()(2)半径为3的球的体积是36.()(3)球的半径为R，那么它的表面积S4R2.()(4)半径为的球的表面积等于2.()提示(4)S球4()28.2.两个球的半径之比为13，那么两个球的表面积之比为()A.19 B.127 C.13 D.11解析由表面积公式知，两球的表面积之比为RR19.答案A3.球的体积是，则此球的表面积是()A.12 B.16 C. D.解析设球的半径为R，则VR3，R2，表面积S4R216.答案B4.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是_.解析设大球的半径为R，则有R3213，R32，R.答案类型一球的表面积和体积【例1】 (1)已知球的表面积为64，求它的体积.(2)已知球的体积为，求它的表面积.解(1)设球的半径为R，则4R264，解得R4，所以球的体积VR3(4)3.(2)设球的半径为R，则R3，解得R5，所以球的表面积S4R2452100.规律方法1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积.2.已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.【训练1】在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B. C6 D.解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.答案B类型二球的截面问题(互动探究)【例2】 平面截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B.4 C.4 D.6思路探究探究点一用一个平面去截球，截面是什么？提示圆面.探究点二有关球的截面问题的解题策略如何？提示有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决，计算时，需要注意球心与截面圆心之间的距离，截面圆的半径及球的半径满足勾股定理.解析如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，则OO，OM1.OM.即球的半径为.V()34.答案B规律方法有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.【训练2】 已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6和8，则这两个截面间的距离为_.解析若两个平行截面在球心同侧，如图(1)，则两个截面间的距离为1；若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为7.答案1或7类型三球的组合体与三视图【例3】 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.解由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为S4126221224.该几何体的体积为：V23138.规律方法1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.【训练3】 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_.解析由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R，则2R2，R.S球表4R24312.答案12课堂小结1.球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.1.直径为6的球的表面积和体积分别是()A.36，144 B.36，36C.144，36 D.144，144解析球的半径为3，表面积S43236，体积V3336.答案B2.若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的()A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍解析设气球原来的半径为r，体积为V，则Vr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的238倍.答案C3. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()A12 B. C8 D4解析由题可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4R2(2R)212，故选A.答案A4.在半径为R的球面上有A，B，C三点，且ABBCCA3，球心到ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.解依题意知，ABC是正三角形，ABC的外接圆半径r3.由R2()2，得R2.所以球的表面积S4R216.基 础 过 关1.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为()A.8 B.8 C.8 D.4解析球的半径为1，且正方体内接于球，球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a24，即a2.正方体的表面积为6a268.答案A2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()A.R B.2R C.3R D.4R解析设圆柱的高为h，则R2h3R3，h4R.答案D3.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A.4(rR)2 B.4r2R2C.4Rr D.(Rr)2解析法一如图，设球的半径为r1，则在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1.故球的表面积为S球4r4Rr.法二如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在RtAOB中，OF是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得OF2BFAFRr，即rRr，故r1，故球的表面积为S球4Rr.答案C4.一个球的表面积是144 cm2，则它的体积是_.解析设球的半径为R，则4R2144，R6，VR363288(cm3).答案288 cm35.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_.解析由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即43.答案36.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？解设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球2(cm3)，此体积即等于它们在容器中排开水的体积V52h，所以52h，所以h，即若取出这两个小球，则水面将下降 cm.7.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积.解该组合体的表面积S4r22rl41221310，该组合体的体积Vr3r2l13123.能 力 提 升8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解析利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm).设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，R5，V球53(cm3).答案A9.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A. B. C. D.解析过球心作球的截面，如图所示，设球的半径为R，截面圆的半径为r，则有rR，则球的表面积为4R2，截面的面积为R2，所以截面的面积与球的表面积的比为.答案A10.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm.解析设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为r26r6r3，高度为8 cm的水的体积为8r2，3个球的体积和为3r34r3，由题意6r38r24r3，解得r4(cm).答案411.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.(其中BAC30)解如图所示，过C作CO1AB于O1.在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，ACR，BCR，CO1R，S球4R2，S圆锥AO1侧RRR2，S圆锥BO1侧RRR2，S几何体表S球S圆锥AO1侧S圆锥BO1侧R2R2R2.故旋转所得几何体的表面积为R2.探 究 创 新12.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计