逻辑联结词与量词.doc

（一）本单元知识结构：（二）概念与规律总结 （1）命题的结构命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题构成复合命题的形式：p或q（记作pq）；p且q（记作pq）；非p（记作q）（2）命题的四种形式与相互关系原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p原命题与逆否命题互为逆否，同真假；逆命题与否命题互为逆否，同真假（3）命题的条件与结论间的属性“pq”的含义有三条：p推出q；p是q 的充分条件；q是p的必要条件（4）“或”、“且”、“非”的真值判断“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真真值表pqp或qp且q非p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真规律一真即真，全假则假全真才真，一假即假与p真假相反（5）全称量词与存在量词全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；全称命题 p:xM， p（x） 否定为 p：$xM， p（x）存在性命题p：$x M， p（x） 否定为 p：xM， p（x）常见命题的否定词正面词语等于大于小于是都是至少有一个至多有一个任意两个反面词语不等于不大于不小于不是不都是一个也没有至少有两个某两个（6）反证法是间接证法的一种假设为真，即不成立，并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理，得出矛盾因为公理、定理、公式正确，推理过程也正确，产生矛盾的原因只能是“假设为真”，由此假设不成立，即“为真”【典型例题】例1. 概念辨析（1）分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断它们的真假：p：四边都相等的四边形是正方形，q：四个角都相等的四边形是正方形解：“p或q”：四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形“p且q”：四边都相等的且四个角都相等的四边形是正方形“非p”：四边不都相等的四边形不是正方形方法：分清命题的条件与结论，然后重新组合（2）下列命题是全称命题的是 ，是存在性命题的是 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等负数的平方是正数有些三角形不是等腰三角形有些菱形是正方形解：是全称命题的是，是存在性命题的是判断方法就是判断它们有无全称量词与存在量词（3）写出下列命题的否定 已知集合AB，如果对于任意的元素xA，那么xB；已知集合AB，存在至少一个元素xB，使得xA；解：否定为：$xA， xB否定为：xB， xA（4）若A是B的充分不必要条件，则A是B的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解：“AB”“BA”选B方法总结：遇到有否定词的问题可以转化为它的等价命题，去掉否定词例2. 若下列方程：x4ax4a30， x（a1）xa0， x2ax2a0至少有一个方程有实根试求实数a的取值范围分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根先求出反面情况时a的范围，则所得范围的补集就是正面情况的答案解：设三个方程均无实根，则有：，解得，即a1所以当a1或a时，三个方程至少有一个方程有实根方法总结：“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻方法归纳：1、本题重点考查充要条件的概念及学生解答充要条件命题时的思维的严谨性2、以等比数列的判定为主线，本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定3、因为题目求的是充要条件，即有充分性和必要性两层含义，很容易忽视充分性的证明4、技巧与方法由an关系式去寻找an与an1的比值，但同时要注意充分性的证明例4. 有六个人参加歌手新秀赛，组委会只设了一名特等奖，观众A、B、C、D四人对于谁能获得特等奖进行了如下猜想：A说：不是1号就是2号能获特等奖；B说：3号不可能获得特等奖；C说：4、5、6号都不可能获得特等奖；D说：能获得特等奖的是4、5、6号中的一人 比赛结果公布后表明，A，B，C，D四人中只有一人猜对了，问：究竟是谁猜对了？123456ABCD从上表可以看出只有第3列是打了一个“”，即一个人猜对了，故为C猜对了，是3号获得了特等奖方法总结：逻辑推理问题要抓住条件与结论进行推理，本题运用表格是一种很好的方法，通过表格一目了然看出哪种情况是符合题意的在解题中要善于使用表格分析问题例5. 函数f（x）对一切实数x，y均有f（xy）f（y）（x2y1）x成立，且f（1）0（1）求f（0）的值；（2）当f（x）2logax， x（0，）恒成立，求a的取值范围解：（1）令 x1，y0得f（1）f（0）2，又f（1）0，f（0） 2（2）令y0，得f（x）2（x1）x原命题转化为：x2xlogax，对x（0，）恒成立（x2x）的最大值logax的最小值且0a1，借助于图形可以看出如下：方法总结：本题是全称命题，当然可以取任意一个量进行研究，因此这种方法叫赋值法恒成立问题利用图象处理直观简洁【模拟试题】一、选择题（每小题只有一个答案，每道题4分，共40分）1. 下列语句中的简单命题是（ ）A. 不是有理数 B. ABC是等腰直角三角形C. 3x20 D. 负数的平方是正数2. 命题：“方程x220的解是x”中使用逻辑联结词的情况是（ ）A. 没有使用逻辑联结词 B. 使用了逻辑联结词“且”C. 使用了逻辑联结词“或” D. 使用了逻辑联结词“非”3. “a2b2”的含义是 （ ） A. a，b不全为0 B. a，b全不为0 C. a，b中至少有一个为 D. a，b中没有4. 如果命题“非p为真”，命题“p且q”为假，那么则有（ ）A. q为真 B. q为假 C. p或q为真 D. p或q不一定为真5. 1的一个充分不必要条件是 （ ）A. xy B. xy0 C. xy D. yx06. 下列全称命题末位是的整数，可以被2整除；不相交的两条直线是平行直线；偶函数的图像关于y轴对称；正四面体中两侧面的夹角相等；其中真命题的个数为（ ）A. l B. 2 C. 3 D. 07. 已知集合A、B，全集，给出下列四个命题（ ）若，则； 若，则；若，则； 若，则则上述正确命题的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 给出命题：若，则x1或x2； 若，则；若xy0，则； 若，xy是奇数，则x，y中一奇，一偶那么（ ）A. 的逆命题为真 B. 的否命题为真 C. 的逆否命题为假 D. 的逆命题为假9. 下列命题中，真命题的个数为对所有正数x， 不存在实数x，使x4 33A. 1 B. 2 C. 3 D. 410. 给出下列四个命题： 有理数是实数； 有些平行四边形不是菱形； xR，x22x0； $xR，2x1为奇数； 以上命题的否定为真命题的序号依次是（）A. B. C. D. 二、填空题（每道题4分，共16分）11. 分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：命题“非空集A中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是 的形式；命题“非空集AB中的元素是A中元素或B中的元素”是 的形式；命题“非空集CUA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是 的形式12. 命题“若ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 13. 命题“$xR，x1或x24”的否定为14. 设Ax|x2x60，Bx|mx10，写出BA的一个充分不必要条件_三、解答题（共44分）15. （本题满分16分）写出下列命题的非，并判断其真假（1）p：如果a，b，c成等差数列，则2bac；（2）q：等圆的面积相等，周长相等；（3）r：任何三角形的外角都至少有两个钝角；（4）s：$xZ，x21且x24 14. m0三、解答题15. 解：（1）p：如果a，b，c成等差数列，则2bac；假4（2）q：存在一对等圆，它们的面积不相等，或周长不相等；假8（3）r：存在一个三角形，其外角最多有一个是钝角；假12（4）s：xZ，x21；假1616. 解：当a0时显然符合，2当a0时，0是有根的必要条件，正面用补集的方法求解，显然方程不可能有根为04故可在0的大前提下求方程有两个正根