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苏北四市高三数学试卷第页(共6页)苏北四市20092010学年度高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)201001一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 请把答案直接填写在相应位置上。1. 已知集合A1,0,1,2，Bx|x2x0，则AB_.2. 复数z(1i)(12i)(i为虚数单位)的实部是_3. 运行如图的算法，则输出的结果是_(第3题)(第4题)4. 某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是96,106，若样本中净重在96,100)的产品个数是24，则样本中净重在98,104)的产品个数是_5. 已知函数f(x)log2x，x，2，若在区间，2上随机取一点x0，则使得f(x0 )0的概率为_6. 已知a，b是非零向量，且a，b的夹角为，若向量p，则|p|_. 7. 已知曲线f(x)xsinx1在点(，1)处的切线与直线axy10互相垂直，则实数a_.8. 由命题“存在xR，使x22xm0”是假命题，求得m的取值范围是(a，)，则实数a的值是_9. 已知函数f(x)sin(x)(0)，若f()f()，且f(x)在区间(，)内有最大值，无最小值，则_.10. 连续两次掷一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)，记出现向上的点数分别为m、n，设向量a(m，n)，b(3，3)，则a与b的夹角为锐角的概率是_11. 在数列an中，已知a12，a23，当n2时，an1是anan1的个位数，则a2 010_.12. 已知函数f(x)x22x，xa，b的值域为1,3，则ba的取值范围是_13. 已知椭圆1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P(异于长轴的端点)，使得csinPF1F2asinPF2F1，则该椭圆离心率的取值范围是_14. 已知t为常数，函数f(x)|x33xt1|在区间2,1上的最大值为2，则实数t_.二、 解答题： 本大题共6小题，1517每题14分，1820每题16分，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 设ABC的三个内角A、B、C对边分别是a、b、c，已知.(1) 求角B；(2) 若A是ABC的最大内角，求cos(BC)sinA的取值范围16. 如图，E、F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，B90，沿EF将三角形ABC折成如图所示的锐二面角A1EFB，若M为线段A1C中点求证：(1) 直线FM平面A1EB；(2) 平面A1FC平面A1BC.已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和(1) 若S4，S10，S7成等差数列，证明a1，a7，a4也成等差数列；(2) 设S3，S6，bnann2，若数列bn是单调递减数列，求实数的取值范围18. 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元(1) 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2) 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？19. 在矩形ABCD中，已知AD6，AB2，E、F为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，BEG的外接圆为H.以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系(1) 求以F、E为焦点，DC和AB所在直线为准线的椭圆的方程；(2) 求H的方程；(3) 设点P(0，b)，过点P作直线与H交于M、N两点，若点M恰好是线段PN的中点，求实数b的取值范围20. 已知正方形ABCD的中心在原点，四个顶点都在函数f(x)ax3bx(a0)图象上(1) 若正方形的一个顶点为(2,1)，求a、b的值，并求出此时函数的单调增区间；(2) 若正方形ABCD唯一确定，试求出b的值.苏北四市高三数学附加题试卷第页(共2页)苏北四市20092010学年度高三年级第一次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修41：几何证明选讲如图，O是等腰三角形ABC的外接圆，ABAC，延长BC到点D，使得CDAC，连结AD交O于点E，连结BE与AC交于点F，求证：BE平分ABC.B. 选修42：矩阵与变换已知圆C：x2y21在矩阵A(a0，b0)对应的变换下变为椭圆x21，求a、b的值C. 选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C的极坐标方程为cos()，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被圆C所截得的弦长D. 选修45：不等式选讲若正数a、b、c满足abc1，求的最小值22. 【必做题】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1.(1) 求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值；(2) 在线段AC上找一点P，使与所成的角为60，试确定点P的位置23. 【必做题】已知f(n)1，g(n)，nN*.(1) 当时n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2) 猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明苏北四市高三数学参考答案第页(共4页)苏北四市20092010学年度高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 0,12. 13. 254. 605. 6. 7. 18. 19. 10. 11. 412. 2,413. (1,1)14. 1二、 解答题： 本大题共6小题，共90分15. 解：(1) 在ABC中，由正弦定理，得，(2分)又因为，所以sinBcosB，(4分)所以tanB.又因为0B， 所以B.(6分)(2) 在ABC中，BCA，所以cos(BC)sinAsinAcosA2sin(A)(10分)由题意，得A，A，所以sin(A)，1)，即2sin(A)1,2)，所以cos(BC)sinA的取值范围1,2)(14分)16. 证明：(1) 取A1B中点N，连结NE、NM，则MN綊BC，EF綊BC，所以MN綊FE，所以四边形MNEF为平行四边形，所以FMEN.(4分)又因为FM平面A1EB，EN平面A1EB，所以直线FM平面A1EB.(7分)(2) 因为E、F分别为AB和AC的中点，所以A1FFC，所以FMA1C.(9分)同理，ENA1B，由(1)知，FMEN，所以FMA1B.又因为A1CA1BA1，所以FM平面A1BC.(12分)又因为FM平面A1FC，所以平面A1FC平面A1BC.(14分)17. (1) 证明：设数列an的公比为q，因为S4，S10，S7成等差数列，所以q1，且2S10S4S7.所以.因为q0，所以1q32q6.(4分)所以a1a1q32a1q6，即a1a42a7.所以a1，a7，a4也成等差数列(6分)(2) 解：因为S3，S6，所以， ，由，得1q3，所以q，代入，得a12.所以an2()n1.(8分)又因为bnann2，所以bn2()n1n2.由题意可知对任意nN*，数列bn单调递减，所以bn1bn，即2()n(n1)22()n1n2，即6()n2n1对任意nN*恒成立(10分)当n是奇数时，当n1时，取得最大值1，所以1；(12分)当n是偶数时，当n2时，取得最小值，所以.综上可知，1，即实数的取值范围是(1，)(14分)18. 解：(1) 由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为x200(4分)2200200，当且仅当x，即x400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元(8分)(2) 设该单位每月获利为S，则S100xy(10分)100x(x2200x80 000)x2300x80 000(x300)235 000.因为400x600，所以当x400时，S有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损(16分)19. 解：(1) 由已知，设椭圆方程为1(ab0)，由于焦点E的坐标为(1,0)，它对应的准线方程为x3，(2分)所以c1，3，于是a23，b22，所以所求的椭圆方程为1.(4分)(2) 由题意可知A(3,0)，B(3,2)，C(3,2)，F(1,0)所以直线AC和直线BF的方程分别为x3y30，x2y10.由解得所以G点的坐标为(，)(6分)所以kEG2，kBF.因为kEGkBF1，所以EGBF.(8分)所以H的圆心为BE中点H(2,1)，半径为BH，所以H方程为(x2)2(y1)22.(10分)(3) 设M点的坐标为(x0，y0)，则N点的坐标为(2x0,2y0b)，因为点M、N均在H上，所以由4，得8x04(1b)y0b22b90， 所以点M(x0，y0)在直线8x4(1b)yb22b90.(12分)又因为点M(x0，y0)在H上，所以圆心H(2,1)到直线8x4(1b)yb22b90的距离，(14分)即|(b1)210|4，整理，得(b1)412(b1)2280，即(b1)22(b1)2140，所以1b1，故b的取值范围为1，1(16分)20. 解：(1) 因为一个顶点为(2,1)，所以必有另三个顶点(2，1)，(1，2)，(1,2)将(2,1)，(1，2)代入yax3bx，得a，b.(4分)所以f(x)x3x.因为f(x)(15x217)，令f(x)0，得x或x，所以函数f(x)单调增区间为(，)和(，)(6分)(2) 设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为ykx(k0)，则对角线BD所在的直线方程为yx.由解得x2，所以AO2x2y2(1k2)x2(1k2).同理，BO21()2.又因为AO2BO2，所以k3k2bb0.(10分)即k2b(k)0，即(k)2b(k)20.因为正方形ABCD唯一确定，所以关于k的方程(k)2b(k)20有且只有一个实数根又因为(k)R，所以b280，即b2.(14分)因为x20，a0，所以bk；又0，所以b，故b0.因此b2.(16分)苏北四市高三数学附加题参考答案第页(共2页)苏北四市20092010学年度高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：因为CDAC，所以DCAD.因为ABAC，所以ABCACB.因为EBCCAD，所以EBCD.(5分)因为ABCABEEBC，ACBDCAD，所以ABEEBC，即BE平分ABC.(10分)B. 解：设P(x0，y0)为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P(x，y)，则，(2分)，所以(4分)又因为点P(x0，y0)在圆C：x2y21上，所以xy1，(6分)所以1，即1.由已知条件可知，椭圆方程为x21，(8分)所以a21，b24.因为a0，b0，所以a1，b2.(10分)C. 解：曲线C的极坐标方程cos()，可化为cossin，化为直角坐标方程为x2y2xy0，即(x)2(y)2.(3分)直线l：(t为参数)可化为3x4y10，(6分)圆心到直线l的距离d，(8分)弦长L2.(10分)D. 解：因为abc1，a、b、c为正数，由柯西不等式，得()(3a2)(3b2)(3c2)(111)2，(6分)所以1，(8分)当且仅当3a23b23c2，即abc时“”成立，所以当abc时，原式取最小值1.(10分)22. 解：(1) 以，为正交基底，建立如图空间直角坐标系，则E(0,0,1)，D(，0,0)，B(0，0)，A(，0)，F(，1)，因为ACBD，AFBD，所以是平面ACEF的法向量(2分)又因为(，0)，(0，1)，所以cos，故直线DF与平面ACEF所成角的正弦值为.(5分)(2) 设P(a，a,0)(0a)，则(a，a,1)，(0，0)因为