天津大学信号与系统本科课件_2122_0514.ppt

离散序列的最高角频率是 且其频谱是周期为的周期函数 离散序列频谱在 区间上的变化规律就已描述了该序列的全部频域特性 而连续信号的全部频域特性是在 区间上描述的 离散系统的频率响应 离散系统在正弦周期序列作用下的稳态响应 若外加激励 例 某一LTI离散系统 其单位序列响应为 若外加激励求该系统的稳态响应 27 时间离散系统的幅频 相频响应特性曲线如图所示 1 指出此系统的滤波特性 低通 高通 带通 带阻 多带通等 2 若系统输入为f k 2e k 3 1 ke k 求系统的稳态输出yss k 提示 1 k cos k 1k cos 0k 第六章离散系统的z域分析 本节内容6 1Z变换从L到z变换 6 1z变换 一 从拉普拉斯变换到z变换 序列f kT 的双边Z变换 对连续信号进行均匀冲激抽样 即乘以单位冲激序列 T为抽样间隔 得到抽样信号为 对取双边拉普拉斯变换 得 令 用表示 有 z和s的关系为 本节内容6 1Z变换从L到z变换 二 z变换 定义 离散序列f k z为复变量 则 称为f k 的双边Z变换 记为F z Z f k F z 又称为f k 的象函数 f k 又称为F z 的原函数 f k 的单边z变换 本节内容6 1Z变换从L到z变换Z变换 三 收敛域 ROC f k 的双边Z变换为一无穷级数 因此存在级数是否收敛的问题 只有当级数收敛 F z 才存在 F z 存在或级数收敛的充要条件是 在f k 给定的条件下 上式是否收敛取决于z的取值 在z复平面上 使级数收敛的z取值区域称为F z 的收敛域 ROC 本节内容6 1Z变换从L到z变换Z变换收敛域 当0 z 时上式的级数收敛 所以 解 例 已知有限长序列 求的双边Z变换及收敛域 本节内容6 1Z变换从L到z变换Z变换收敛域 当 z a时F z 收敛 解 例 已知无限长因果序列 求的双边Z变换及其收敛域 本节内容6 1Z变换从L到z变换Z变换收敛域 k取负值 所以 当 z a时F z 收敛 解 例 已知无限长反因果序列 求的双边Z变换及其收敛域 本节内容6 1Z变换从L到z变换Z变换收敛域 第一项级数在 z a收敛 第二项级数在 z a 所以 F z 在a z b收敛 a z b 例 已知双边序列 式中b a 求的双边Z变换及其收敛域 本节内容6 1Z变换从L到z变换Z变换收敛域 1 有限长双边序列Z变换的收敛域一般为0 z 有限长因果序列双边Z变换的收敛域为 z 0 有限长反因果序列双边Z变换的收敛域为 z 2 无限长因果序列双边Z变换的收敛域为 z z0 z0为复数 虚数和实数 即收敛域为半径为 z0 的圆外区域 3 无限长反因果序列双边Z变换的收敛域为 z z0 即收敛域为以 z0 为半径的圆内区域 4 无限长双边序列双边Z变换的收敛域为 z1 z z2 即收敛域位于以 z1 为半径和以 z2 为半径的两个圆之间的环状区域 5 不同序列的双边Z变换可能相同 即序列与其双边Z变换不是一一对应的 序列的双边Z变换连同收敛域一起与序列才是一一对应的 F z 在全z复平面上收敛 常见序列的z变换 1 2 m为正整数 本节内容6 1Z变换从L到z变换Z变换收敛域 a b为正实数 本节内容6 1Z变换从L到z变换Z变换收敛域 6 2z变换的性质 一 线性 式中 a1 a2为常数 实数 虚数 复数 其收敛域至少是F1 z 和F2 z 收敛域的公共部分 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性 已知 则 例 已知 求f1 k 和f2 k 的双边Z变换及收敛域 已知 解 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性 同理 cos 0k和sin 0k双边Z变换不存在 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性 例 求Z变换及收敛域 解 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性 1 双边Z变换的移位若f k F z z 则有 f k m zmF z z f k m z mF z z 6 式中 m为正整数 为正实常数 令n k m 则有 同理可得f k m z mF z 二 移位特性 证明 根据双边Z变换的定义 则有 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性 根据位移性质 得 根据线性性质 得 解 f k 可以表示为 例 已知 求的双边Z变换及其收敛域 例 求图示矩形序列的Z变换 解 收敛域扩大 例 求周期为N的有始周期样值序列的Z变换 解 线性性质中有关收敛域的说明适合有限个序列相加的情形 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性 2 单边Z变换的移位 若 则 和 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性 解 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性 将换为 有 若 有 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换 根据时域乘ak性质 得 例 已知 求的双边Z变换及其收敛域 解 令 则有 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换 例 求指数衰减正弦序列的z变换 0 a 1 解 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换 四 卷积定理 式中 F1 z F2 z 的收敛域一般为F1 z 和F2 z 收敛域的公共部分 若F1 z 和F2 z 相乘中有零 极点相消 则得收敛域可能扩大 若 则 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理 解 例 求序列和的z变换 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理 例 求双边三角序列的z变换 解 五 序列乘 域微分 式中表示的运算为 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分 根据Z域微分性质得 再应用位移性质得 例 已知 求的双边Z变换F z 解根据Z域位移性质得 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分 再对上式应用Z域微分性质得 由于k 0 k 1时k k 1 ak 2 0 故 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分 例已知求 解 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分 例 确定 z a 的反变换 解 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分 六 序列除 域积分 若 设有整数m 且k m 0 则 若m 0且k 0 则 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分Z域积分 例 求序列的z变换 解 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分Z域积分 七 域反转 例 已知求的Z变换 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分Z域积分K域反转 因为 八 部分和 解 例 已知 求的双边Z变换 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分Z域积分K域反转部分和 根据部分和性质 则 令 由序列乘ak性质 得 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分Z域积分K域反转部分和 如果序列在k M M为整数 时 f k 0 且有 则f k 的初值f M 为 九 初值定理和终值定理 1 初值定理 如果M 0 即f k 为因果序列 有 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分Z域积分K域反转部分和初终值定理 由序列乘ak性质 得 根据初值定理 得 解 根据位移性质 得 例 已知 求的初值 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分Z域积分K域反转部分和初终值定理 由于上式取z 1的极限 所以终值定理要求F z 除允许在z 1有一阶极点外其余极点全在单位圆内 即要求的收敛域包含单位圆 这时f k 的终值有限且唯一 2 终值定理 如果序列在k M M为整数 时 f k 0 有 且 则f k 的终值为 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分Z域积分K域反转部分和初终值定理 解 1 求 因为在处有极点 所以 z 1 zF1 z 在单位圆上不收敛 不存在 终值定理不适应 若根据终值定理求 则有 例 已知 分别求和的终值和 的结果显然是错误的 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域尺度变换卷积定理Z域微分Z域积分K域反转部分和初终值定理 2 求 F2 z 在z 1有一阶极点 z 1 z F2 z 的极点为z 1 2 因此 根据终值定理得 由于 本节内容6 1Z变换6 2Z变换性质线性移位特性Z域