2019_2020学年高中数学课时分层作业9平摆线渐开线（含解析）北师大版选修.docx

课时分层作业(九)(建议用时：45分钟)基础达标练一、选择题1.如图为圆的渐开线，已知基圆的半径为2，当AOB时，圆的渐开线上的点M到基圆上B点的距离为()A.BC. D解析由圆的渐开线的形成过程知|BM|2.答案B2摆线(t为参数，0t2)与直线y2的交点的直角坐标是()A(2,2)，(32,2)B(3,2)，(33,2)C(，2)，(，2)D(22,2)，(22,2)解析由22(1cos t)得cos t0.t0,2)，t1，t2.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2,2)，(32,2)答案A3圆的渐开线方程为(为参数)，当时，渐开线上的对应点的坐标为()A(2,2) B(2，2)C(4,2) D(4,2)解析把代入得x2，y2.答案B4已知一个圆的参数方程为(为参数)，那么圆的摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为()A.1 BC. D解析根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(为参数)，把代入参数方程中可得即A点的坐标为，|AB| .答案C5半径为2的基圆的渐开线方程是()A.BC.D解析由圆的渐开线参数方程可知D正确答案D二、填空题6已知圆的渐开线的参数方程是(为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数时对应的曲线上的点的坐标为_解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当时对应的坐标只需把代入曲线的参数方程，得x，y，由此可得对应的坐标为.答案27我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(为参数)关于直线yx对称的曲线的参数方程为_解析关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出平摆线方程关于yx对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换答案(为参数)8已知圆的方程为x2y24，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为_解析由题意，圆的半径r2，其渐开线的参数方程为(为参数)当时，x，y2，故点P的坐标为P(，2)答案(，2)三、解答题9有一轮子沿着直线轨道滚动，轮子的半径为r，在轮幅上有一点P与轮子中心的距离为a(ar)，点P的轨迹叫作短摆线，求它的参数方程解设圆滚动所沿直线为x轴，圆心和P点连线为y轴建立坐标系，圆滚动角后圆心在B且与x轴切于点A，作PDOx，PCBA，垂足分别为D，C，那么OAr，设P点坐标为(x，y)，则所求参数方程为10渐开线(为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，求得到的曲线的焦点坐标解根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r6，其方程为x2y236，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2y236，整理可得1，这是一个焦点在x轴上的椭圆c6，故焦点坐标为(6，0)和(6，0)能力提升练1已知平摆线的参数方程(为参数)，则摆线上的点(4，0)对应的参数的值是()A B2C4 D3解析因由得cos 1，2k(kZ)代入得2(2ksin 2k)4k(kZ)，即2k2(kZ)，所以取k1，此时2，因此点(4，0)对应的参数值为2.答案B2如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫作“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连结，则曲线AEFGH的长是()A3 B4C5 D6解析根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.答案C3已知平摆线的方程为(为参数)，则该平摆线的拱高是_，周期是_解析由已知方程可化为知基圆半径为r1，拱高为2r2，周期为2.答案224已知圆C的参数方程是(为参数)和直线l对应的普通方程是xy60.(1)如果把圆心平移到原点O，平移后圆和直线有什么关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程；(3)求平摆线和x轴的交点解(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线xy60的距离为d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的(2)由于圆的半径是