高中三角函数的讲解与练习.doc

张家口市职教中心数学学案 第五章 三角函数学案（1）角的推广（一）目标1. 掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义；2. 掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法；3体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.复习1初中是如何定义角的？ 2初中我们所接触的角的范围是 新课初中所学习的角的意义是否有些狭隘？（在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720” （即转体2周），“转体1080”（即转体3周）；如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？在奥运会上跳水运动员的跳水难度系数经常有转体多少多少度，这些度数是否超过了我们初中所学角的范围？）1角的新定义： （请试着标出关键词）2推广后的角可以如何进行分类？ 3什么叫解析法？ 4象限角是如何定义的？5什么叫做终边相同的角？6试着在0到2000范围内写出与30的终边相同的角.观察有没有什么规律，这样的规律如何表示.结论：所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：7相等的角终边一定相同，那终边相同的角一定相等吗？例1 在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来：（1）60 .练习1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？090的角是锐角吗？2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420 (2)75 (3)855 (4)510注意:以后凡是没有给出 “始边落在x轴的正半轴上” 都默认为此条件.作业1下列命题中正确的是( )（A）终边在y轴非负半轴上的角是直角 （B）第二象限角一定是钝角（C）第四象限角一定是负角 （D）若360（Z），则与终边相同2与120角终边相同的角是( )（A）600k360，Z （B）120k360，Z（C）120(2k1）180，Z （D）660k360，Z3若角与终边相同，则一定有( )（A）180 （B）0 （C）360，Z （D）360，Z4与1840终边相同的最小正角为 ，与1840终边相同的最小正角是 .5今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 .6钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).7在直角坐标系中，作出下列各角(1)360 (2)720 (3)1080 (4)14408已知A锐角，B0到90的角，C第一象限角，D小于90的角求: AB，AC，CD，AD 9将下列各角表示为360（Z，0360）的形式，并判断角在第几象限.（1） 56024 （2）56024 （3）290315（4）290315 （5）3900 （6）390010写出终边落在第一象限角的角集合: 写出终边落在第二象限角的角集合: 写出终边落在第三象限角的角集合: 写出终边落在第四象限角的角集合: 11试写出终边落在x轴正半轴的所有角的集合: 学案（2）角的推广（二）目标1巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与角终边相同的角（包括角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法； 2掌握所有与角终边相同的角（包括角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；3体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题.复习1角的概念的推广.2正角、负角、零角.3象限角、终边相同的角.4写出终边在y轴上的角的集合.5写出所有轴上角的集合.6用区间的形式表示象限角.7写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界). 8已知a是第二象限角，问是第几象限角？2a的终边落在哪里？分别加以说明.练习1若Aaak360，kZ；Baak180，kZ； Caak90，kZ，则下列关系中正确的是( )（A）ABC （B）ABC （C）ABC （D）A B C2若a是第四象限角，则180a是( ) （A）第一象限角（B）第二象限角 （C）第三象限角 （D）第四象限角3. 若a与的终边互为反向延长线，则有( )（A）a180 （B）a180 （C）a （D）a（21）180，Z4终边在第一或第三象限角的集合是 .5. a为第四象限角，则2a的终边在 ;角a45+90的终边在第 象限.作业一1写出与37023终边相同角的集合S，并把S中在720360间的角写出来.2. 在直角坐标系中作出角，角的终边.3写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界). 4. 已知角是第三象限角,试判断,的终边落在什么位置.5. 经过3小时35分钟,时钟与分钟转过的度数之差是 .6. 集合,那么集合A,B,C的关系如何?作业二1在|3601440中与2116终边相同的角有( )（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个2. 在|3601620中与2116终边相同的角有( )（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个3. 角45180，Z的终边落在 ( )（A）第一或第三象限 （B）第一或第二象限（C）第二或第四象限 （D）第三或第四象限4. 第二象限角的集合可表示为 .5. 角的终边落在一、三象限角平分线上，则角的集合是 .6. 角是第二象限角，则180是第 象限角；是第 象限角；180是第_象限角.学案（3）弧度制目标1理解弧度制的定义；2掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；3熟记特殊角的弧度数.复习1角的概念的推广.2正角、负角、零角.3象限角、终边相同的角. 4写出终边在y轴上的角的集合.5. 写出所有轴上角的集合.6. 用区间的形式表示象限角.新课1. 什么是弧度制？ 2. 弧度与角度如何进行转换？正角零角负角正实数零负实数3. 试理解下图4. 弧长公式与扇形面积公式：例1 把化成弧度例2 把化成度注意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行； 2今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略.如：3表示3rad ， sinp表示prad角的正弦； 3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：a030456090120135150180270360弧度例3 用弧度制表示：1. 终边在轴上的角的集合 2. 终边在轴上的角的集合 3. 终边在坐标轴上的角的集合练习1. 下列各对角中终边相同的角是( )（A）（Z） （B）和（C）和 （D）2. 若3，则角的终边在( )（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3. 若是第四象限角，则一定在( )（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限4. (用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .5. 7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .6. 圆弧长度等于其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .7. (选做)求值：.8. 已知集合A22，Z，B44，求AB.9. 现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.作业已知是第二象限角，试说明下列各角终边所在位置： (1) (2) (3)2 学案（4）三角函数的定义 目标1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；2. 理解三角函数是以实数为自变量的函数；3. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.新课在初中，我们对于三角函数的定义是基于直角三角形，而到了高中阶段，我们要在直角坐标系的圆里进行定义.1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离.2比值叫做的正弦 记作： 比值叫做的余弦 记作： 比值叫做的正切 记作： 比值叫做的余切 记作： 比值叫做的正割 记作： 比值叫做的余割 记作： 根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述六个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；当角的终边在横轴上时，即（Z）时，终边上任意一点P的纵坐标都为0，所以cot、csc无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数.3. 探究: 角是“任意角”，当b=2kpa(kZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等.实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用.三角函数是以“比值”为函数值的函数.而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.定义域：对于正弦函数，因为0，所以恒有意义，即取任意实数，恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数，因为x0时，无意义，即tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是.从而有： 4. 注意: (1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.(4)比值只与角的大小有关.例1已知角的终边经过点P(2，3)(如图)，求的六个三角函数值.例2填表：a030456090120135150180270360弧度cosatancotasecacsca例3（1）已知角a的终边经过P(4,-3),求2sinacosa的值（2）已知角a的终边经过P(4,-3),(0)求2sinacosa的值 例4求函数的值域练习1. 若点P(3，)是角终边上一点，且，则的值是 . 2. 角的终边上一个点P的坐标为(5,12)(0)，求sin2cos的值. 3. 已知，求4试理解角为第三象限角的充分必要条件是5已知tan=3，求下列各式的值.6若10，则tan的值为 .学案（5）同角三角函数的基本关系（一）目标1掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2通过运用公式的训练过程，培养解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3. 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，培养思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的学习过程中，培养分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力.复习1. 三角函数的概念.2. 三角函数值的符号.新课例1已知，并且是第二象限角，求的其他三角函数值.例2已知，求sin、tan的值.练习1已知，求的值.2. 已知，求下列各式的值.sincos sincos sincos3. 已知sincos，且，则cossin的值是多少.学案（6）同角三角函数的基本关系（二）目标1掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2通过运用公式的训练过程，培养解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，培养思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的学习过程中，培养分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力.复习同角三角函数的基本关系公式： 1“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立.3一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号.这些关系式还可以如图样加强形象记忆：对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系).新课例1化简：. 例2已知.例3求证：. 例4已知方程的两根分别是，求例5（选讲）消去式子中的例6已知.练习1已知cot=2，求的其余三个三角函数值.2已知：且，试用定义求的其余三个三角函数值.3已知角的终边在直线y=3x上，求sin和cos的值.4化简下列各式，其中（1）（2）（3）5求证：.6已知.作业1. 已知sincos，且0，则tan的值为( )（A） （B） （C） （D）2. 若sin4cos41，则sincos的值为( )（A）0 （B）1 （C）1 （D）13. 若tancot2，则sincos的值为( )（A）0 （B） （C） （D）4. 若tancot=2，则sin4cos4 .5. 若tan2cot22，则sincos .6. 求证.7已知tancot2，求sin3cos3的值.学案(7)诱导公式（一）目标1理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号；2理解并掌握诱导公式.复习1写出下面函数的定义域 2上述函数值的正负是什么样的.3终边相同的角的三角函数值有什么样的关系.4终边关于x轴对称的角的三角函数值有什么样的关系.5终边关于y轴对称的角的三角函数值有什么样的关系.6终边关于原点对称的角的三角函数值有什么样的关系.例1确定下列三角函数值的符号. (1)cos250 （2） （3）tan（672） (4) tan 例2求下列三角函数的值. (1) (2) tan 例3求值：sin(1320)cos1110+cos(1020)sin750+ tan4950练习1确定下列各式的符号 (1)sin100cos240 (2)sin5tan52x取什么值时,有意义?3若三角形的两内角a，b满足sinacosb0)的最大值为2, 最小值为4，求k,b的值.5求下列函数的定义域： (1)y= (2) y=lg(2sinx1) 学案（19）三角函数的图象与性质（二）目标1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3掌握正弦函数yAsin(x)的周期及求法.复习1y=sinx，xR和y=cosx，xR的图象.2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,1) (2p,0)余弦函数yxo1-1y=cosx x0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,1) (,0) (2p,1)3定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R.分别记作： ysinx，xR ycosx，xR4值域正弦函数、余弦函数的值域都是1，1,其中正弦函数y=sinx,xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1.当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1.而余弦函数ycosx，xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1.当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1.5周期性一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1）周期函数x属于定义域M，则必有xTM, 且若T0则定义域无上界；T0则定义域无下界；2）“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0t)f (x0)）3）T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,2p,4p,都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2.6奇偶性ysinx为奇函数，ycosx为偶函数正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称7单调性正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.新课例1求下列函数的周期：(1)y3cosx，xR(2)ysin2x，xR(3)y2sin(x)，xR例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.(1)sin()sin()；(2)cos()cos().例3求函数y的值域.例4f(x)sinx图象的对称轴是 .例5 (1)函数ysin(x)在什么区间上是增函数?(2)函数y3sin(2x)在什么区间是减函数?练习1函数是( )（A）奇函数 （B）偶函数（C）既奇又偶函数 （D）非奇非偶函数2. 函数ysin（2x）图象的一条对称轴方程是( )（A）x （B）x （C）x （D）x3. 设条件甲为“yAsin(x)是偶函数”，条件乙为“”，则甲是乙的( )（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件4. 函数ysin4xcos4x的最小正周期为 5. 函数ysin2xtanx的值域为 .6. 函数yxsinx，x0,的最大值为( )（A）0 （B）1 （C） （D） 7. 求函数y2sin22x4sin2xcos2x3cos22x的最小正周期.8.求函数f（x）sin6xcos6x的最小正周期，并求f（x）的最大值和最小值.9. 已知f（x），问x在0,上取什么值时，f（x）取到最大值和最小值.学案(20)正切函数的图象与性质目标理解并掌握作正切函数图象的作法.新课对于正切函数，仍然从那几方面来研究它的性质1定义域2值域： 3周期性： 4奇偶性：5单调性： 6图象：例1(1)不通过求值，比较tan135与tan138的大小(2)比较与的大小例2讨论函数的性质例3求函数ytan2x的定义域例4观察正切曲线写出满足tanx0的x的值的范围.练习1函数ytan（ax）（a0）的最小正周期为( )2以下函数中，不是奇函数的是( )（A）ysinxtanx （B）yxtanx1 （C）y （D）yl