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2.1 演绎 推理

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第二章　推理与证明 2.1　合情推理与演绎推理 2.1.2　演绎推理 1三段论“①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的.”中的小前提是(　　). A.① B.② C.①② D.③ 解析:由演绎推理可知,③是小前提. 答案:D 2某西方国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅”.结论显然是错误的,这是因为(　　). A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 解析:推理形式不符合三段论推理的形式.三段论的形式是:M是P,S是M,则S是P,而上面的推理形式则是:M是P,S是P,则S是M.故选C. 答案:C 3“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理(　　). A.小前提错误 B.结论错误 C.正确 D.大前提错误 解析:因为9是3的3倍,所以某奇数是9的倍数,它一定是3的倍数.故选C. 答案:C 4在空间中,设α,β,γ为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β; ②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β; ③若α∥β,l⊂α,则l∥β; ④若α∩β=l,β∩γ=m,α∩γ=n,l∥γ,则m∥n. 其中真命题的个数是(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由立体几何中的线面之间的平行和垂直的判定和性质,可得命题③④是正确的.故选B. 答案:B 5f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf(x)+f(x)<0.对任意正数a,b,若aF(b),即af(a)>bf(b). 又f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数, 所以bf(a)>af(a)>bf(b)>af(b).故选B. 答案:B 6补充下列三段论: (1)因为互为相反数的两个数的和为0,又因为a与b互为相反数,且　　　　　,所以b=8. (2)因为　　　　　,又因为e=2.718 28…是无限不循环小数,所以e是无理数. 答案:(1)a=-8　(2)无限不循环小数是无理数 7已知sin α=m-3m+5,cos α=4-2mm+5,其中α为第二象限角,则m的值为　　　　　. 解析:由sin2α+cos2α=(m-3)2(m+5)2+(4-2m)2(m+5)2 =5m2-22m+25(m+5)2=1, 得m(m-8)=0, ∴m=0或m=8. 又α为第二象限角, ∴sin α>0,cos α<0. ∴m=8(m=0舍去). 答案:8 8设f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c是两两不相等的常数),则af(a)+bf(b)+cf(c)的值是　　　　　. 解析:∵f(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b), ∴f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-a)(b-c),f(c)=(c-a)(c-b), ∴af(a)+bf(b)+cf(c)=a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) =a(b-c)-b(a-c)+c(a-b)(a-b)(a-c)(b-c)=0. 答案:0 9用三段论的形式写出下列演绎推理: (1)正整数是自然数,3是正整数,所以3是自然数; (2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等; (3)0.332是有理数. 分析:解决本题的关键是要弄清大前提、小前提、结论三者之间的关系. 解:(1)大前提:正整数是自然数. 小前提:3是正整数. 结论:3是自然数. (2)大前提:每一个矩形的对角线相等. 小前提:正方形是矩形. 结论:正方形的对角线相等. (3)大前提:所有的循环小数是有理数. 小前提:0.332是循环小数. 结论:0.332是有理数. 10设函数f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中实数a≠0. (1)若a>0,求函数y=f(x)的单调区间; (2)当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点,且g(x)存在最小值时,记g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域; (3)若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数,求a的取值范围. 分析:第(1)问可利用导数来求单调区间;第(2)问可将只有一个公共点转化为方程有唯一根的问题;第(3)问可以利用第(1)问中的结论来求解. 解:(1)∵f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a), 又a>0,∴当x<-a或x>a3时,f(x)>0; 当-a0时,g(x)才存在最小值, ∴a∈(0,2]. ∵g(x)=a(x-1a)2+1-1a, ∴h(a)=1-1a,a∈(0,2], ∴h(a)的值域为(-∞,1-22]. (3)当a>0时,f(x)在(-∞,-a)和(a3,+∞)内是增函数,g(x)在(1a,+∞)内是增函数. 由题意,得a>0,a≥a3,a≥1a,解得a≥1; 当a<0时,f(x)在(-∞,a3)和(-a,+∞)内是增函数,g(x)在(-∞,1a)内是增函数. 由题意,得a<0,a+2≤a3,a+2≤1a,解得a≤-3. 综上,实数a的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).

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