简明数学史讲义1 (2).doc

简明数学史讲义第一篇 绪论1.1数学史的意义曾经很多次被问及：数学在哪里？数学的意义又在哪里？数学作为一门科学很少受到关注，与其他任何科学相比，大多数人更为忽视的是数学。高速公路、摩天大楼、汽车、飞机、火箭、互联网等等，这些现代科技文明的代表，往往只被人们看作是以物理学为代表的自然科学和工程技术杰作。数学的作用在哪里，人们大都视而不见。难怪数学家哈尔莫斯曾经感叹：“甚至受过教育的人们都不知道我的学科存在，这使我感到伤心。”在人类历史和文化的发展进程中，数学的地位和作用绝不亚于语言、艺术、宗教和哲学，他是人类理性本能所固有的，他的确是存在的。尤其是近三百年来，数学已对科学文化社会经济产生了翻天覆地的影响。可以说数学是各个时代人类文明的标志之一，在推动其它科学和整个文化的进步方面起着不可替代的巨大作用。通过该课程试图在一定程度上回答以上提及和没有提到的问题，以使大家了解数学、欣赏数学、进而热爱数学。这一点对于师范专业的学生来说尤其重要，就我个人看来作为未来的中、小学数学教师对待数学的态度和精神远比专业理论知识重要，因为你的态度决定了你的学生对待数学的态度。数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治，经济和一般文化的联系。它记述数学内容的发展过程，它探寻数学思想和方法的演变，它观察影响数学的各种因素，它也思考数学在其发展过程中对人类文明带来影响。因此，数学史的研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及整个文明的进程，即涉及通常的社会史、科技史、哲学、宗教学、文化学等社会科学与人文科学内容，是一门综合性学科。人们在谈到数学科学的特点时，一般津津乐道于它的三个特点：高度的抽象性，体系的严谨性，应用的广泛性，往往忽略了它的第四个特点：发展的连续性。与其它科学相比，数学是一门历史性或者说累积性很强的科学。在数学的进化过程中几乎没有发生过彻底推翻前人建筑情况。对此，德国数学家汉克尔有一段精彩的论述：“在大多学科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏；唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”。数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录，它是数学发展过程中充满犹豫、徘徊，艰难曲折以及所面临危机的真实写照。数学史也是数学家们克服困难和战胜危机的斗争记录，它帮助人们了解数学创造的真实过程，而这种创造过程通常是以定理到定理的形式被包装起来的，对这种创造过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中汲取教益，获得鼓舞和信心。可以说：不了解数学史就不可能全面了解数学科学。数学史还向我们表明数学科学作为一种文化，不仅是是整个人类文化的重要组成部分；而且始终是推进人类文明的重要力量。数学家哈尔莫斯曾经感叹到：“甚至受过教育的人们都不知道我的学科存在，这使我伤心。”确实数学作为一门科学很少受到人们的关注，与其它任何学科相比，大多数的人更为忽视数学。然而，数学确实是存在的，它是人类更改事固有的，在人类文化和人类历史中它的地位绝不亚于语言、艺术、宗教和哲学，事实上数学一直与其它科学一起在推动着人类的文明与进步。可以说：不了解数学史就不可能全面了解整个人类的文明与进步。1.2什么是数学“数学”顾名思义是关于数的学问。那么什么是“数学”？“数学”一词又是怎样起源的呢？在中国最早的文字甲骨文中就有_字，经数学史专家鉴定，它就是今天的“数”字，表示结绳记数的形象，这个字后来演变成篆文_，又逐渐成为“”和“数”。中国古代数学以算为主，因而叫“算学”。例如：我国古典数学最重要的着作九章算术就采用问题集的方式提出了246个问题，以及这些问题的计算方法。宋元时期中国古代数学发展达到高峰，“数学”一词开始出现，如：秦九韶数书九章也叫数学大略，其序言中自述：“尝从隐君子受数学”。 “数学”，“算学”并用了几百年，受传统习惯的影响，算学用的反到更多，直到19世纪西方数学大量传入，有的翻译仍然称为西国算学、西洋算法等。1933年当时由专家学者组成“数学名词审查委员会”专门就这两词的统一问题进行讨论，因意见分岐没有结果，直到1939年8月，教育部通令全国一律使用“数学”，并以此为英文Mathematics的译名。数学本身是一个历史的的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，给数学下一个一劳永逸的定义是不科学的也是不可能的。从历史的角度看，人们对其内涵的认识是不断变化和丰富的。希腊人主要对几何感兴趣，但尽管如此，在公元前四世纪希腊数学家亚里士多德仍将数学定义为：数学是量的科学其中的“量”涵义是模糊的，显然不能单纯理解为“数量”。直到16世纪，英国数学家培根将数学分为“纯粹数学”与“混合数学”，这里“混合数学”相当于应用数学，而培根的所谓“纯粹数学”则定义为：“处理完全与物质和自然哲学公理相脱离的科学”。17世纪像笛卡尔这样的数学家与哲学家对数学的看法有了微妙的变化，笛卡尔认为：“凡是研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关”。恰恰在这个时代，数学发生了重大转折，数学家关注的焦点是运动与变化，牛顿与莱布尼茨制定的微积分本质上是运动与变化的科学。因此，从牛顿与莱布尼以后数学成为研究数、形以及运动变化的学问，当然运动与变化离不开数与形，所以在19世纪恩格斯还是这样来描述数学的本质的“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”。根据恩格斯的这一论述，数学可以定义为：数学就是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学但是这一经典的定义，已经远远不能概括今天的数学内容和本质。就在恩格斯的时代，数学又开始了本质的变化。在继续这一传统的数与形研究的同时，近现代数学进一步增加了对各种关系、变换、结构、系统、过程的研究。特别需要指出的是，这些关系、变换、结构、系统、过程是针对任何一个领域的，即不只是对数和形，不只包括自然界和工程技术，也是包括人类社会生活的一切领域（经济、法律、政治、军事、历史、体育、艺术、文学、美学、语言学、心理学、社会学、哲学等等）的关系、变换、结构、系统、过程。正是因为这样，近现代数学极大地扩展了数学的研究范围与应用范围。可以说哪里有质和量，哪里有数和形，哪里有关系、变换、结构、系统、过程，哪里就有数学。20世纪50年代，前苏联一批有影响的数学家试图修正前面提到的恩格斯的定义，他们这样来概括现代数学的特征：现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学从20世纪80年代开始，又出现了对数学的定义作符合时代的修正的新尝试。主要是一批美国学者，将数学简单定义为关于“模式”的科学：数学这个领域已被称作模式的科学，其目的是要提示人们从自然界和数学本身抽象世界中观察到的结构和对称性这一定义实际上用“模式”代替了“量”，而所谓的“模式”有着极其广泛的内涵，包括了数的模式，形的模式，运动与变化的模式，推理与想象的模式，行为的模式。这些模式可以是现实的，也可以是想象的；可以是定量的，也可以是定性的。数学的这一新定义，以其高度的概括性，已日益引起关注并获得大多数数学家的认同与接受。1.3数学史与数学文化史从所周知在以往的数学史主要注重于所谓的“内史”研究，其基本立场即是认为数学的历史发展主要取决于内在的因素，而且，这在很大程度上又可被归结为一种逻辑的必然性，并主要际体现于某些大数学家的某些伟大思想。因此，在研究的内容上主要倾向于研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，忽略了数学与社会政治，经济和一般文化的联系。近年来数学史研究经历了一个十分重要的转折，即是由惟一注重“内史”转移到了对“内史”和“外史”的共同研究，人们已不再满足于指明重要数学思想发展过程的内在线索，而且也为图揭示这种发展的社会、文化渊源。这就十分自然地提出了“数学文化史”的概念。本课程的目的就是要把数学史与数学文化相结合起来，既不是纯粹的讲数学史，也不是纯粹地讲数学文化学，而是想把相关的一些问题在这有限的篇幅里给大家作一个简要的介绍。基于以上的想法以下主要分两个部分进行介绍，一是数学的历史部分，主要以时序为线索介绍数学发展的历史进程；二是数学的文化部分，主要介绍数学与科学、数学与哲学、数学与艺术之间的关系。1.4数学史分期与数学史简表 根据数学发展的阶段性特征，可以把数学史分为若干时期。目前，通常将数学发展划分为以下五个时期：(1)数学萌芽期 （公元前600年以前）。(2)初等数学时期 (公元前600年至17世纪中叶)。(3)变量数学时期 (17世纪中叶至19世纪20年代)。(4)近代数学时期 (19世纪20年代至20世纪40年代)。(5)现代数学时期 (20世纪40年代以来)。特别需要说明的是，关于数学史的分期及现代数学的起始与划分，目前分歧较大。也有的学者将数学的发展分为如下的四个阶段：（1）数学起源与早期发展（公元前6世纪前）。（2）初等数学时期（公元前6世纪公元前16世纪）。（3）近代数学时期（或称变量数学建立时期，1718世纪）。（4）现代数学时期（1820年现在）。之所以存在两种不同的观点，实际上是涉及到对数学本质的理解，尤其是对现代数学本质的理解。在此不可能作深入细致的探讨，供大家参考。下面是公元前2000年至公元2005年的一个概略的、不完备的数学成果与事件的简表（其中一些内容将在后面章节进一步介绍）。即便是一个不完备的简表，其浩繁也丰富也已令人惊叹。公元前2000年左右，古埃及已有基于十进制的记数法。约公元前1950年，巴比伦人已经知道“勾股定理”。约公元前6世纪，毕达哥拉斯学派证明了“勾股定理”，发现无理数，引起第一次数学危机。公元前3世纪，欧几里得的几何原本13卷发表。公元前3世纪，筹算是当时中国的主要计算方法。约公元前1世纪，中国的周髀算经发表。50100年，东汉编纂成九章算术。150年左右，古希腊的托勒密求出圆周率为3.14166。3世纪至4世纪魏晋时期，赵爽列出关于直角三角形三边关系的命题共21条。3世纪至4世纪魏晋时期，中国的刘徽发明了“割圆术”，并算得圆周率为3.1416。5世纪，中国的祖冲之算出了圆周率的近似值到第七位小数，这比西方早了一千多年。5世纪，印度的阿耶波多着书讨论了一次不定方程的解法，度量术和三角学等。9世纪，阿拉伯的花拉子模发表了印度计数算法，使西欧熟悉了十进位制。10861093年，宋朝的沈括提出“隙积术”和“会圆术”，开始高阶等差级数的研究。11世纪，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书代数学。1202年，意大利的斐波拉契发表计算之书，把印度阿拉伯记数法介绍到西方。1247年，宋朝的秦九韶推广“增乘开方法”，提出联立一次同余式的解法。1261年，宋朝的杨辉详解九章算术，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。14世纪中叶，中国开始应用珠算。15501572年，意大利的邦别利引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。1614年，英国的耐普尔制定了对数。1637年，法国的笛卡尔提出了解析几何，把变量引进数学，成为数学的转折点。1638年，法国的费玛开始用微分法求极大、极小问题。1649年，法国的帕斯卡制成帕斯卡计算器，它是近代计算机的先驱。1654年，法国的帕斯卡、费玛研究了概率论的基础。16651676年，牛顿先于莱布尼茨制定的微积分，莱布尼茨早于牛顿发表了微积分。1670年，法国的费马提出“费马大定理”。1704年，牛顿发表三次曲线枚举、利用无穷级数求曲线的面积和长度、流数法。1733年，英国的德勒哈佛尔发现正态概率曲线。1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的无穷分析概要。17601761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。1799年，法国的蒙日创立画法几何学，在工程技术中应用颇多。1799年，德国的高斯证明了代数学的一个基本定理：实系数代数方程必有根。1809年，法国的蒙日出版了微分几何学的第一本书分析在几何学上的应用。1812年，法国的拉普拉斯出版分析概率论一书，这是近代概率论的先驱。1821年，柯西用极限严格地定义了函数的连续、导数和积分、无穷级数的收敛性等。1822年，彭色列系统研究了几何图形在投影变换下的不变性质，建立了射影几何学。1824年，挪威的阿贝尔证明用根式求解五次方程的不可能性。1826年，俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的波约提出非欧几何学的理论。1830年，法国的伽罗华在代数方程可否用根式求解的研究中建立群论。1841年，德国的雅可比建立了行列式的系统理论。1844年，德国的格拉斯曼研究多个变元的代数系统，首次提出多维空间的概念。1847年，英国的布尔创立了布尔代数，在后来的电子计算机中有重要应用。1850年，德国的黎曼给出了“黎曼积分”的定义，提出函数可积的概念。1854年，黎曼建立广泛的一类非欧几何学黎曼几何学，提出多维流形拓朴的概念。1870年，德国的克朗尼格给出了群论的公理结构，这是后来研究抽象群的出发点。1883年，德国的康托尔建立集合论，发展了超穷基数的理论。1884年，德国的弗莱格出版了数论的基础，这是数理逻辑中量词理论的发端。1895年，法国的彭加勒提出同调的概念，开创了代数拓朴学。1899年，德国的希尔伯特的几何学基础出版，提出欧几里得几何学的严格公理体系。1900年，希尔伯特提出数学尚未解决的23个问题，引起20世纪许多数学家的关注。1903年，英国数学家贝罗素发现集合论中的罗素悖论，引发第三次数学危机。1906年，俄国数学家马尔可夫首次提出|“马尔可夫链”的数学模型。1908年，德国数学家金弗里斯建立点集拓扑学。策麦罗提出集合论的公理化体系。1910年，施坦尼茨总结代数系统，如群、代数、域等的研究，开创了现代抽象代数。1915年，爱因斯坦和卡施瓦茨西把黎曼几何用于广义相对论，解出球对称的场场方程。1918年，英国的哈代、里德武特应用复变函数论方法来研究数论，建立了解析数论。1922年，希尔伯特提出数学要彻底形式化的主张，创立数学形式主义体系和证明论。1931年，哥德尔证明了公理化数学体系的不完备性。1933年，苏联的柯尔莫哥夫提出概率论的公理化体系。1936年，图灵、邱吉、克林等提出理想的计算机概念，同时建立算法理论。1938年，布尔巴基丛书数学原本开始出版，以非常抽象的方式叙述了全部现代数学。1940年，哥德尔证明连续假说在集合论公理系中的无矛盾性。1944年，冯诺伊曼等建立了博弈论。1945年，美籍华人陈省身建立代数拓扑和微分几何的联系，推进了整体几何学的发展。1946年，美国莫尔电子工程学校和宾夕法尼亚大学试制成功第一台电子计算机ENIAC。1950年，美国的斯丁路特、美籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出纤维丛理论。1958年，创立算法语言ALGOL（58），用于电子计算机程序自动化。1965年，美国的札德发表了模糊集合，开创了模糊数学学科。1966年，中国的陈景润获得哥德巴赫（1、2）的证明。1967年，法国的曼德勃罗特发表英国的海岸线有多长？的论文，首创“分形”一词。1975年，中国的李天岩和英国的约克给出混沌的定义，第一次使用“混沌”这一专用名词。1976年，丘成桐证明了微分几何中的“卡拉比猜想”。1977年，美国的阿佩尔和哈肯用计算机证明了四色猜想成立。1977年，美国的帕里等人发现数学中存在不可判定的命题。1977年，中国的吴文俊给出数学定理机器证明的“吴方法”。1978年，中国的丘成桐与美国的台思用微分几何方法证明了广义相对论的正质量猜想。1982年，法国的曼德勃罗特自然界的分形几何出版，分形几何诞生。1994年，完成费马大定理的证明。1994年，美国的数学家J纳什因博弈论的基础性研究获诺贝尔经济学奖。1998年，英国的A怀尔斯因四年前证明了费马大定理，荣获菲尔兹特别贡献奖。1999年，比利时的斯坦，多维欧氏调和分析的创造者，获沃尔夫数学奖。2000年，美国数学家博特、因拓扑学和微分几何学的深刻发现，获沃尔夫奖。2002年，第24届国际数学家大会在北京举行。2003年，恩格尔及格兰杰由于经济时间序列方面的研究工作，获诺贝尔经济学奖。2004年，沃尔夫奖获得者，美籍华裔国际数学大师陈省身逝世。2005年，托马斯谢林运用博弈论，加深了对冲突与合作的理解，获诺贝尔经济学奖。第二篇 数学的历史2.1数学的起源最初的数学知识源于人类的生存需要。就已有的考古学材料分析，大约在三百万年前，人类还处于茹毛饮血原始时代，以采集野果、围猎野兽为生。这种活动常常是集体进行的，所得的收获需要记录与分配。这样，古人便渐渐产生了数量的概念。他们学会了在捕获一头野兽后用一块石子、一根木条来代表；或者用在绳子上打结的方法来记事、记数。这样，在原始社会人们的眼中，一个绳结就代表一头野兽，两个结代表两头，或者一个大结代表一头大兽，一个小结代表一头小兽。数量的观念就在这些过程中逐渐建立发展起来。结绳记事的方法在秘鲁高原一直盛行到十九世纪，而在世界有些地方如日本的琉球岛的居民至今还保持着结绳记事的传统。迄今发现的人类刻痕记事的最早证据，是1937年在捷克摩拉维亚（Moravia）地方出土的一块幼狼胫骨，这块胫骨的年代据考大约在3万年前。又经历了数万年的，直到距今大约五千多年前，终于出现了书写记数以及相应的记数系统。与算术的产生相仿，最初几何知识则从人们的直觉中萌发出来。史前大概首先是从自然界本身提取几何形式，并在器皿制作、建筑设计及绘画装饰上加以再现。在距今大约五六千年以前，沿非洲的尼罗河出现了一个早期的文明社会埃及，埃及人较早在学会了农业生产。尼罗河每年7月定期泛滥，淹没大片耕地，11月洪水逐渐退去。埃及人通过长期观察，注意到当天狼星和太阳同时出现的时候，正是洪水将到的预兆。还发现，这种现象大约365天重复一次。这样，埃及人选择在洪水泛滥之后留下的肥沃淤泥上播种，待6月洪水来临之前收割，以获得好的收成。但每一次洪水泛滥之后的土地都必须重新丈量，因此，古埃及几何学的产生就源于土地的丈量。“几何学”的原意就是“土地测量”。2.2古埃及数学由生产及生活需要导致数学研究的一个范例是古埃及数学。古埃及是古代世界上文化最发达的几个地区之一，公元3200年左右，形成了一个统一的国家。公元2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已经懂得沙天文和几何知识，例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书。这两卷纸草书一卷藏在伦敦大英博物馆，叫做莱因德纸草书（1858年苏格兰收藏家莱因德购得，因名。），长525CM，宽33CM，中间有少量缺失，缺失的碎片1922年意外地纽约一私人收存的医学纸草书中被发现，现藏于美国布鲁克林博物馆。莫斯科纸草书又叫戈列尼雪夫纸草书，1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现藏于莫斯科普希金精细艺术博物馆，其长度与莱因得纸草书大致相同，宽只及后者的四分之一。这两部纸草书实际上是各种类型的数学问题集。莱因德纸草书主体部分由84个问题组成，莫斯科纸草书则包括了25个数学问题。这些问题大部分来自现实生活，但纸草书的作者将它们作为示范性例子编集在一起，现在看来它不像是专题论文，也不是今天所说的教科书，而很可能是一本学生的笔记本。这两部纸草书无疑是研究古埃及数学的重要文献。除此之外还存在一些零星的资料，已发现的有：卡呼恩纸草书和柏林纸草书、阿赫米姆木板文书以及克索斯时代的在这种情况下羊皮书一卷等，它们也提供了关于埃及数学的一些补充信息。埃及数学是实用数学。古埃及人没有命题证明的思想，不过他们常常对问题的数值结果加以验证。埃及人运用的所有数学法则都带有极端的经验主义性质，这些法则既没有表述为定理，也没有任何的证明。尽管埃及数学带有如此原始的性质，它却赋予现代科学后来发展以极为有益的影响。勤劳的埃及人，在自己千百年的历史中积累了丰富的数学知识，后来数学如果不利用这些知识就不会取得成就。公元前四世纪希腊人征服埃及以后这一些古老的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。但是我们仍然可以说，假如没有埃及的数学，就没有后来希腊的数学。2.3 古希腊数学古希腊在人类类文明史上，占有特殊的地位。它的社会组织形态，它的经济生活，它的哲学、艺术、科学，它的民风民俗，乃至于它的体育竞技都给人类文明以深刻的影响到。公元前5、6世纪，特别是希波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显着提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文明。现在所知最早的希腊数学家是泰勒斯。泰勒斯出生于小亚细亚（今土耳其）西部爱奥尼亚地方的米利都城，他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明的先河。不过，关于泰勒斯并没有确凿的传记资料留下来，我们对他在数学上的贡献的最可靠的证据是来自公元5世纪新柏拉图学派哲学家普洛克鲁斯所着欧几里得原本第一卷评注一书，普洛克鲁斯在评注中介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理：圆的直径将圆分为两个相等的部分；等腰三角形两底角相等；两相交直线形成的对顶角相等；如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等。传说泰勒斯（前625-547）还证明了现在称为“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。尽管没有任何第一手文献可以证实泰勒斯的这些成就，但上述间接的记载却流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。古希腊数学史中另一个重要人物是毕达哥拉斯（前580-500）。毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物皆是数。关于这一点毕达哥拉斯本人的原话不得而知，但这个学派的一位晚期成员费洛罗斯确曾明白地宣称：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物”。他们以发现勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）闻名于世，又由此导致不可通约量（无理数）的发现。这个学派还有一个特点，就是力图将算术和几何联系起来。他们找到用三个正数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从起的连续的奇数和必为平方数，等等，这既是算术问题，又和几何有关。同时他们还发现了五种正多面体。相传“哲学”（希腊原词意为“智力爱好”）和“数学”（希腊原词,意为“可学到的知识”）这两个词正是毕达哥拉斯本人所创。公元前世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公共与开放精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学知识，于是“智人学派”应运而重生，他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。他们提出“三大数学问题”：三等分任意角对任意角，将其三等分；倍立方体求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方求作一正方形，其面积等于一已知圆。这些问题的困难在于，作图只许用直尺（没有刻度的尺）和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下人理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。这些问题在人类的数学史上和思想史上都有特别的意义。这些问题难倒了人类上千年，直到近代才被证明在那样的限制条件下，那些问题是无解的。人们从而懂得了智慧的界限，并进而研究这种界限，以新方式去突破这种界线。公元前三世纪，柏拉图在雅典建立建立学派，创办学园。他非常重视数学，强调数学在训练智力方面的作用。据说柏拉图学院的大门上写着“不懂几何者莫入”。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何既需要严密的推理又能给人以强烈直观的印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。这个时期希腊数学还有以芝诺为代表的伊利亚学派。希腊人在理性数学活动早期，已经接触到无限性、连续性等深刻的概念，对这些概念的着意探讨，也是雅典时期希腊数学的特征之一。芝诺提出了四个着名的悖论，将无限性概念遭遇的困难提示无遗，根据亚里士多德物理学记载，这四个悖论如下：（1）两分法：运动不存在。因为位移事物在达到目的地之前必先抵达一半处；在抵达一半处之前又必先抵达四分之一处，依此类推可至无穷。（2）阿基里斯：阿基里斯永远追不上一只乌龟。因为若乌龟的起跑点领先一段距离，阿基里斯必须首先跑到乌龟的出发点，而在这段时间里乌龟又向前爬过一段距离，如此直至无穷。（3）飞箭：飞着的箭是静止的。因为任何事物当它是在一个和自己大小相同的空间里时，它是静止的，而飞箭在飞行过程中的每一“瞬间”都是如此。即是说：每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的。（4）运动场：空间和时间不能由不可分割的单元组成。假设不然，运动场跑道上三排队列A、B、C令C往右移动，A往左移动，其速度相对于B而言都是每瞬间移动一个点的。这样一来，A上的点就在每一个瞬间离开C两个点的距离，因而必存在一更小的时间单元。芝诺悖论的前两个，是针对事物无限可分的观点，而后两个则矛头直指不可分无限小量的思想。要澄清这些悖论需要极限、连续及无穷集合等抽象概念，当时的希腊数学家尚不可能给予清晰的解答。但芝诺悖论与不可公度困难一起，成为希腊数学追求逻辑精确性的强力激素。公元前4世纪以后的希腊数学，逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的学科。数学的历史于是进入一个新的阶段初等数学时期。这个时期的特点是，数学（主要是几何学）建立起自己的理论体系，从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。由少数几个原始命题（公理）出发，通过逻辑推理得到一系列的定理。这是希腊数学的基本精神。从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡之前，希腊数学以亚历山大为中心，达到了它的全盛时期，史称希腊数学的“黄金时代”。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集于此进行教学和研究。先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。欧几里德（Euclid，生卒年代不可考，应是公元前367前282托勒密王朝时期人）的几何原本是一部划时代的着作，其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比做砖瓦木石，只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较、揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。几何原本体现了这种精神，第对整个数学的发展产生了深远的影响。“原本”的希腊文，原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。欧几里德在这本原着中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定理和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。欧几里德还写了另外几部着作，如已知数（94个命题）、图形的分割（36个命题）等。他还着有天文学、音乐和力学方面的书，但大多已经失传。阿基米德（Archimdes，公元前287-212）是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积的问题，已经包含积分学的初步思想。阿基米德着述极为丰富，但多以类似论文手稿而非大部巨着的形式出现。这些着述内容涉及数学、力学、及天文学等，其中流传于世的有：（1）圆的度量（2）抛物线求积（3）论螺线（4）论球和圆柱（5）论劈锥曲面和旋转椭球（6）引理集（7）处理力学问题的方法（8）论平面图形的平衡或重心（9）论浮体（10）砂粒计数（11）牛群问题与欧几里德相比，阿基米德可以说是一位应用数学家。关于阿基米德的许多轶闻趣事都与数学有关。例如根据帕波斯记载，阿基米德曾宣称：“给我一个支点，我就可以移动地球！”而传说阿基米德为了让人相信自己的断言，曾设计了一组复杂的滑车装置，使叙拉古国王希罗亲手移动了一只巨大的三桅货船。阿基米德有两本着作是关于应用数学的，即论平面图形的平衡或其重心和论浮体。前者讨论物体的平衡及重心的确定，其中给出了着名的杠杆原理。论浮体则是一部流体静力学着述，其中提出了许多流体力学定律，特别是着名的“阿基米德原理”（物体在流体中所受浮力等于其排开流体的重量），与此相联系的是一个家喻户晓的故事：国王希罗为自己定做了一顶金皇冠，皇冠做好后，他怀疑其中掺了银子，便请阿基米德设法判断。阿基米德久思不解。有一次洗澡时，注意到身体将水排出盆外并觉体重减轻，顿受启发，立即光身冲出浴室，沿街奔呼“Eureka!”(找到啦！)。他就这样发现了浮力定律并用它解决了皇冠难题。阿基米德在第二次布匿战争中被罗马士兵杀害，终年75岁。阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga约公元前262-前190）出生于小亚细亚的珀尔加。阿波罗尼奥斯年轻进曾在亚历山大城跟随欧几得的门生学习，后到小亚细亚西岸的帕加蒙王国居住与工作，但晚年又回到亚历山大，并卒于该城。阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学和天文学，但他最重要的数学成就是在前人工作的基础上创立了完美的圆锥曲线理论。圆锥曲线论就是这方面的系统总结。这部以欧几里得严谨风格写成的巨着对圆锥曲线研究所达到的高度，直至17世纪笛卡尔、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。圆锥曲线论全书共分八卷，含有487个命题。前四卷是基础部分，后四卷为拓广内容，其中第八卷已经失传。在阿波罗尼奥斯之前，希腊人用三种不同圆锥导出圆锥曲线。阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶（直圆或斜圆）锥得到所有的圆锥曲线，并给它们正式命名，现在通用的椭圆（elipse）、双曲线（hyperbola）和抛物线（parabola）就是他提出来的。通常把从公元前三十年到公元六世纪的这一段时期，称为希腊数学的“亚历山大后期”。晚期的希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯（Nicomachus of Gerasa约公元100年）和丢番图（Diophanrus of Alexandria约公元250年）。前者是杰拉什（今约旦北部）地方的人，着有算术入门。后者的算术是讲数的理论的，而大部分内容可以归入代数的范围。它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响之大，仅次于几何原本。算术是一本问题集，据作者自序称全书共13卷，但15世纪发现的希腊文本仅有六卷。1973年伊朗境内的马哈什德地方又发现了4卷阿拉伯文本，这样现存的丢番图算术共10卷（1-10），含有290个问题。丢番图算术特别以不定方程的求解而着称。所谓“不定方程”，是指未知数的个数多于方程个数的代数方程（组），这类问题在丢番图以前已有人接触过，如阿基米德“牛群问题”，就涉及含8个未知数的7个方程求解。但丢番图是第一个对不定方程问题作广泛、深入研究的数学家，以致我们今天常常把求整系数不定方程整数解的问题叫“丢番图问题”或“丢番图分析”。丢番图算术的另一个重要贡献是创用了一套缩写符号。特别是他使用了特殊的记号来表示未知数，据考证这个符号是。丢番图还用专门的符号来记乘幂，二次幂记为，三次幂是，四次幂是，五次幂是等等。减号为，方程中所有的负项都放在一个减号后，未知数乘幂的系数是用放在该幂号后的希腊数字表示，常数项记作M。这样，方程 就记作M在丢番图以前，所有的代数问题都是用文字来叙述。丢番图创用的这些符号，虽然还只具缩写性质，却不失为代数符号的滥觞。有人称丢番图类型的代数为“简写代数”，是真正的符号代数出现前的一个重要阶段。亚历山大最后一位重要的数学家是帕波斯（Pappus of Alexandria公元300-350）。他唯一的传世之作数学汇编，就是一部荟萃总结前人成果的典型着作，在数学史上有特殊的意义。许多古代希腊数学的宝贵资料仅仅是由于数学汇编记载而得以保存。例如用割圆曲线化圆为方；尼科米迪斯蚌线与倍立方体问题；阿基米德的半正多面体；现存阿波罗尼奥斯圆锥曲线论中未提及的圆锥曲线的焦点、准线性质等等。数学汇编被认为是古希腊数学的安魂曲。帕波斯之后，希腊数学益趋衰微。喧嚣尘上的基督教罗马被奉为国教后，将希腊学术视为异端邪说，对异教学者横加迫害。公元415年，亚历山大女数学家希帕蒂亚(Hypatia 约公元370-415)被一群听命于主教里希尔的基督暴徒残酷杀害。希帕蒂亚是评注欧几里德几何原本的塞翁的女儿，她本人也注释过阿基米德、阿波罗尼奥斯和丢番图的着作，是历史上第一位杰出的女数学家。希帕蒂亚的被害预示了在基督教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运。盛极一时的古希腊学术中心亚历山大城，几经兵火，学术着作焚毁殆尽。早在公元前47年，亚历山大图书馆在罗马大帝凯撒攻城烧港时已遭重创；公元392年，疯狂的基督教徒又纵火烧毁了经过重建的亚历山大图书馆和另一处藏有大量希腊手稿的西拉比斯神庙；到公元640年，亚历山大学术宝库中残余的书籍被阿拉伯征服者最终付之一炬，几十万卷各类典籍在6个月的熊熊大火在化为灰烬。希腊古代数学至此落下帷幕。2.4 中世纪欧洲数学中世纪开始于公元476年，结束于15世纪。这一千年的历史大致可以分为两段。11世纪之前常被人们形容为黑暗时期，11世纪后情况稍有好转。这一时期基督教占有极重要的地位，渗透到社会的各个领域，成为支配一切的力量。因此，政治、法律、哲学、文学、艺术等意识形态领域，都具有浓厚的神学色彩。基督教也垄断了文化和教育，对不符合教义的古代科学文化及其代表人物，一概加以排斥、打击、甚至消灭。13世纪，法国、意大利、西班牙等国还建立了宗教裁判所，以镇压异端嫌疑者为名，竭力扼杀进步思想和学说，迫害揭露教会黑暗和反封建的人。哥白尼、布鲁诺、伽利略等着名科学家都遭到迫害、囚禁、甚至残杀。由于罗马人偏重实用而没有发展抽象数学，这对于罗马帝国崩溃后的欧洲数学也有一定的影响，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。不过因为宗教教育的需要，也出现一些水平低下的算术和几何教材。这一时期的主要人物及其成就有：(1)博伊西斯（Boethius,约公元480-524）。生于罗马，早年受希腊式传统教育，约公元510年任东哥特王国执政官，约公元520年任首席执政官，几年后遭政事牵连被迫害。他的数学着作有算术入门和几何学。前者包括算术的基本概念和术语、乘法表、比例、素数与合数等方面的知识，基本取材于希腊数学家尼可马霍斯基的同类着作，但删去了许多在当时较新颖的命题，主要目的是为教会学校学习算术知识提供一个初级手册；后者主要取材于欧几里得几何原本前几卷的内容，同样删掉了许多的证明，成为一本非常浅显易读的几何课本。(2)比德（V.Beda，公元672-735）。英国学者。在论指示语中完整地记述了手指记数的方法及其在各种计算中的应用，这些应用之一是准确在确定复活节的时间。他以多方面的才能被誉为：“英国文化之父”。(3)阿德拉德（Adelard of Bath，约公元1116-1142）。英国学者，是他最早将欧几里得几何原本的阿拉伯文本译为拉丁文。由于他的译本翻译质量高，发行又早，受到普遍的欢迎，在西欧一直用到16世纪。他还翻译过花拉子米等人的着作，并自己写过数学书。 (4)斐波那契(L.Fibonacci，约1170-1250)。意大利人，是黑暗时期过后，第一位有影响的数学家。他早年就随其父在北非师人阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后写算经。这部很有名的着作主要是一些源自古代中国、印度和希腊的数学问题的汇集，内容涉及整数和分数算法，开方法，二次和三次方程以及不定方程。特别是，书中系统介绍了印度阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响。算经可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角。(5)布雷德沃丁（T.Bradwardine，约1290-1349）。英国学者，坎特伯雷大主教，牛津大学神学教授。最是将正切、余切引入三角运算，被誉为14世纪英国最杰出数学家，欧洲最早研究三角学的数学家之一。(6)奥雷姆(N.Oresme，约公元1320-1382)。法国数学家。曾担任神学院院长和地区主教。有数学论着若干。最早引入分数概念，规定了它的记法及使用规则。为研究变化与变化率，萌发了坐标几何思想，尝试用两个坐标确定点的位置，并用图象表示变化中的量，成为17世纪笛卡尔创立解析几何的先声。还证明了调和级数的和为无穷，区别了收敛级数与发散级数，给出级数敛散的某些判别法则，大发展了古希腊学者有关极限的思想。欧洲数学复苏的过程十分曲折，从12世纪到15世纪中叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊哲学着作中的消极成份来阻抗科学的进步。特别是他们把亚里士多德、托勒玫的一些学说奉为绝对正确的教条，企图用这种新权威主义来继续束缚人们的思想。欧洲数学真正的复苏是在15、16世纪。2.5文艺复兴时期的欧洲数学文艺复兴时期是欧洲资产阶级文化萌芽时期，一般指14001600年左右。文艺复兴带来了人们的觉醒，束缚人们思想自由发展的烦琐哲学和神学的教条权威逐步被摧毁了，社会从以神权为本转向以人为本。封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会，生产力大大解放。资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产过渡，促使技术科学和数学急速发展。在科学史上，这一时期出现了许多重大事件，向数学提出新的课题。首先是哥白尼提出地动说，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇。16世纪下半叶，丹麦天文学家第谷进行了大量精密的天文观测，在这个基础上，德国天文学家开普勒总结出行星运动三大定律，导致后来牛顿万有引力的发现。17世纪初，初等数学的主要科目（算术、代数、几何、三角）已基本形成，其主要成就体现在：（1）算术。1478年，西方第一本印刷的算术书在意大利特雷维索出版。该书没有标题和作者姓名，通常称之为特雷维索算术书。书中解释了印度阿拉伯数码的写法，载述了数的四则运算、乘法表、有关合股和易货的大量应用算术题及数学游戏题，是当时常见的商业算术书。此后，各种数学书籍相继印刷出版，对数学知识的普及和数学符号的改革均有重要意义。例如德国维德曼在1489年的书中首次出现印刷形式的加、减符号“+、-”，沿用至今；意大利卡兰德的算术书中（1491年）已有至今仍使用的长除法，并首次出现插图，画有讲授数学知识的情景和数学问题图示。意大利帕乔利（L.Pacioli，约1445-1517）的书中包括系统的理论算术与实用算术，被认为13世纪斐波拉契算经之后第一部内容全面的数学书；德国里斯（A.Ries，1492-1559）撰写的4部算术书讨论了算盘、印度算法及其他课题，在1656年以前就印了10多版；英国的汤斯托尔（C.Tunstall，1474-1559）在书中使用了与现代形式一致的印度阿拉伯数码。（2）代数。文艺复兴时期的代数成就主要是解高于二次方程，其次是代数符号有了较大发展。波兰奥地利数学家鲁多尔夫（C.Rudolff，约1500-1540）引入了表示方程根的符号“”。德国的施蒂费尔（M.Stifel，约1487-1567）1554年用字母表示未知数。韦达（F.Vietr,1540-1603）的分析方法入门则是符号代数的代表作，试图创立一般符号代数学。例如：引入字母表示量，用辅音字母B、C、D等表示已知量，用元音字母A等表示未知量；将代数称“类的运算”，以区别于算术中“数的运算”；第一个系统地对未知量进行运算，使代数成为研究一般的类和方程的学问等。他的革新被认为是数学史上的重要进步，为代数学的发展开辟了道路，因此韦达也被西方称为“代数学之父”。（3）三角学。欧洲三角学继承了希腊、印度和阿拉伯的传统，在文艺复兴时期有了较大发展。三角学起源于天文观测，最先发展的是球面三角学。1464年，德国雷格蒙塔努斯完成论各种三角形，前2卷论述平面三角学，后3卷论述球面三角学，是全面系统介绍三角学知识的专着，也是欧洲第一本独立于天文学的三角学专着。书中出现了正弦定理，采用了印度人使用的半弦，并制作了精密的正弦表。他还在1475年发表的着作方位表中，制定了多达5位的三角函数表，除正弦和余弦表外，还有正切表，并采用了10等分的角度。1579年，韦达在所着应用三角形的数学定律中列出6种三角函数表，给出精确到5位或10位小数的值，并给出造的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式，其中有正切定律，和差化积公式等韦达自己发现的公式，还有球面三角学中钝角的余弦定理。1595年韦达利用三角学解出了一个45次方程_，还给出倍角展开式，实质上已能给出当n是任意正整数时，cos nx表示成由cos x构成的展开式。 16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。（4）几何学。1590年，意大利帕乔利所着神圣比例出版，给出与黄金分割有关的数学论述，讨论了正多面体的性质及半正多面体的问题。1593年韦达开始用代数方法讨论几何问题，给出尺规作图所涉及的代数方程问题，较早地将古希腊倍立方体问题和三等分角问题转化为求解三角方程的问题。韦达还研究了圆内接正七边形的作图法，指出它也导致三次方程问题，并在1600年发表一部关于阿波罗尼奥斯几何作图相切问题的专着，得到“求作一圆与已知三个圆相切”问题的解答。此外，透视画法的研究为射影几何学奠定了基础，制作地图也导致投影问题的研究，是微分几何的早期例证。（5）对数。对数萌芽于16世纪，创立于17世纪，是数值计算的一项革命。1484年法国数学家许凯（N.Chuquet,1445-1500）已经注意到下面的等差数列与等比数列的关系：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 要想求第二行任意两个数的积，只要计算与这两个数对应的第一行的数的和即可。1544年施蒂费尔将第一行的数叫做“指数”，原意指“代表者”，即要计算两个数的积，只需计算这两个数的“代表者”的和。这种用加法代替乘法的思想，为日后对数的创立提供了借鉴。 1614年，英国数学家纳皮尔所着奇妙的对数规则的说明出版，标志着对数理论的创立。纳皮尔的对数刚一发