流形上的散度公式证明和数值模型 [附件1 分析和说明].doc

附件1流形上的散度公式证明和数值模型 分析和说明杨科中国 成都 610017E-mail: 证明和数值模型部分,以符号 / 为首者为分析说明(红色痕迹)摘 要:散度公式(又称-Gauss公式) 是现代数学、物理体系的核心公式之一.传统的散度公式证明逻辑体系,建立了基于空间直角坐标系投影法 (简称投影法) 的曲面积分与三重积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷(例如计算过程繁琐,不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题(例如电磁学领域的Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径,均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上.一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明,通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象流形的解析解、数值解;传统的流形微积分学, 用外微分形式推导出Green公式, -Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式20,即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;本稿件通过建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系,使用什么样几何形体的微元系数; 而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、 柱面坐标系、 广义球面坐标系及其相关微元系数等),用积分以及和式极限的方法,证明散度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系 包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)的存在, 使散度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分之间的新公式关联, 并且在无限丰富、 绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立两种新型的积分方法的理论逻辑依据和数值模型.证明流形上的散度公式本身不是唯一目的,建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分之间的新公式关联,确立两种新型的积分方法的理论逻辑依据和数值模型是根本目的.本系列稿件相关的数值模型表明, 使用基于参数化空间点积法的曲面积分以及基于个性化微元系数的三重积分,能够获得关于复杂几何形体(流形,尤其是不对称、不规则曲面及其包含空间区域)的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分以及任意空间区域三重积分,实现向量场(电场、磁场、流体场、引力场等)和数量场(电位场、温度场、密度场等)在任意自由曲面及其包含空间区域的精确积分计算, 确立两种类型积分的逻辑关联关系,实现流形上的散度公式和工程意义上的流形积分.关键词:微积分学 拓扑学 物理学 Poincare猜想 向量场 数量场 自由参数曲面坐标系单连通可定向闭合参数曲面坐标系 复连通可定向闭合参数曲面坐标系基于参数化空间点积法的曲面积分 基于个性化微元系数的三重积分 流形上的散度公式 证明 数值模型 和式极限 两种类型积分的新公式关联工程意义上的流形积分 解析积分值 任意精度浮点数积分值中图分类号：O17/O412.3目录引言 证明的前提条件-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立. 31.1流形上的散度公式证明 . 91.2 环面(复连通可定向闭合曲面)坐标系散度公式证明.152.流形上的散度公式数值模型 .18 数值模型2.1 . .18 数值模型2.2 . .223.环面坐标系散度公式数值模型.364. 流形上的散度公式的反例: 关于Klein瓶的曲面积分和三重积分 4.1 流形上的散度公式与Klein瓶. .39 4.2 Klein瓶的曲面积分和三重积分数值模型. .45总结 . 52参考书籍. 53引言 证明的前提条件单连通可定向闭合曲面坐标系的建立 (一)考察证明的对象-散度公式:“散度公式 设空间闭区域是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 及其偏导数在空间闭区域上连续,则 (1)其中曲面S为空间闭区域的整个边界曲面外侧, n为曲面S的单位外法向量, divA为向量场A的散度”.在公式的定义中,强调空间闭区域的边界闭合曲面S必须是能够区分其”内侧”、”外侧”的可定向曲面.在传统的直角坐标系-Gauss公式证明中,”抽象可定向闭合曲面”是这样定义的:抽象可定向闭合曲面由三个子曲面 分片包围而成,其中曲面皆为抽象二元函数.(参见高等数学(第六版)(下册) 同济大学数学系 高等教育版 2007 P168-170) 也就是说,散度公式客观上要求,不论在空间直角坐标系,或者在其它坐标系,被证明的相关曲面S必须具有两种属性:(1)闭合性;(2)可定向性. 离开传统的空间直角坐标系,怎样刻画抽象的、具有普遍意义的”可定向闭合曲面”并且进一步建立”可定向闭合曲面坐标系”? 并没有现成的答案.Poincare猜想19断定任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面,在散度或旋度公式涉及的三维欧氏空间, 其对应的判断为 任何单连通、可定向2维闭合流形必定同胚于2维球面.也就是说, 根据Poincare 猜想, 在散度或旋度公式涉及的三维欧氏空间, 任何单连通、可定向的闭合曲面(虽然仅仅是单连通),不论其几何外观如何千变万化,必定有同胚于”球面”这一普遍属性.进一步的问题自然是”在三维欧氏空间,能否根据Poincare 猜想这一普遍属性,定义单连通、可定向的闭合曲面的抽象的、普遍意义的表达式?” 这也正是本 ”引言2” 讨论的中心内容.在空间解析几何学中,上述2维球面的参数表达式为sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),其中参数u的变化范围0,Pi,参数v的变化范围0,2*Pi(在严格意义上, 该参数表达式是 ”2维球面” 在 ”空间直角坐标系”和”球面坐标系”之间的转换式; ”二维球面” 在球面坐标系的表达式是常数1). 在拓扑学领域,同胚的定义为两个流形,如果可以通过弯曲、延展、剪切等操作把其中一个变为另一个，则认为两者是同胚的.从解析几何学和拓扑学的角度再理解Poincare猜想,既然2维球面的参数方程为sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),其中参数变化范围u0,Pi,v0,2*Pi,则其变形a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi(其中待定系数a,b,c为任意非零常数) 即为任意椭球面的参数方程. 在三维欧氏空间,任意椭球面皆同胚于球面,这是拓扑学的常识,无需讨论;如果a,b,c为任意一阶可导连续函数,可能出现怎样的情况? 参见下列图例:图例1:假设任意待定系数a=sin(u)+cos(v), b=cos(u),c=cos(v/2),则目标参数曲面a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)(其中u0, v0,2)为(sin(u)+cos(v)*sin(u)*cos(v),cos(u)*sin(u)*sin(v),cos(v/2)*cos(u)(其中u0, v0,2) 其实际参数图形为:图例1 由待定系数a,b,c输入任意一阶可导连续函数,输出参数曲面呈非单连通、非闭合状态,与”Poincare猜想”及”流形上的散度或旋度公式”讨论的内容无关图例2:假设任意待定系数a=sin(u+v)+cos(v), b=cos(v),c=cos(v/2),则目标参数曲面a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)(其中u0, v0,2)为(sin(u+v)+cos(v)*sin(u)*cos(v),cos(v)*sin(u)*sin(v),cos(v/2)*cos(u)(其中u0, v0,2) 其实际参数图形为:图例2 由待定系数a,b,c输入任意一阶可导连续函数,输出参数曲面呈非单连通、不可定向状态,与”Poincare猜想”及”流形上的散度或旋度公式”讨论的内容无关图例3:假设任意待定系数a=sin(u),b=cos(u)+cos(u+3*v)/3,c= cos(u),则目标参数曲面a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)(其中u0,v0,2)为sin(u)*sin(u)*cos(v),(cos(u)+cos(u+3*v)/3)*sin(u)*sin(v),cos(u)*cos(u)(其中u0, v0,2) 其实际参数图形为:图例3 由待定系数a,b,c输入任意一阶可导连续函数,输出曲面呈单连通可定向闭合状态 可以作为”Poincare猜想”及”流形上的散度或旋度公式”讨论的对象实验数据从原始现象表明, 同样属于参数曲面 a sin(u)cos(v), b sin(u)sin(v),c cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi, 因待定系数a,b,c的不同取值, 一部份曲面属于单连通、可定向闭合曲面,一部分曲面则例外.也就是说,参数曲面a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi存在两种情况: (1)在待定系数a,b,c为任意非零常数的情况下,参数曲面为椭球面(自然同胚于球面);(2)在待定系数a,b,c为任意一阶可导连续函数的情况下,参数曲面可以为单连通可定向闭合曲面(同胚于球面),也可以为非单连通可定向闭合曲面(不同胚于球面).进一步的问题自然是“在参数曲面a sin(u)cos(v), b sin(u)sin(v), c cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi模式中, 能否通过某种定义将非单连通可定向闭合曲面(不同胚于球面)的情况排除?” (二)设定“任意曲面”为一集合,则“任意单连通、可定向闭合曲面” 是前者的子集合. Poincare猜想是这一子集合的属性,本论文“流形上的散度或旋度公式证明”则讨论散度或旋度公式是否适用于这一子集合. Poincare猜想为用参数方程方法描述“任意单连通、可定向闭合曲面”的某种属性(即“同胚于2维球面”这一属性)提供了实现途径. 参考丘成桐院士2006年观点: 庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响.基于上述情况,将无数具体的单连通、可定向闭合曲面抽象化为一个统一的表达式:a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi(其中待定系数a,b,c不能任意指定, 而必须服从于曲面的 ”单连通、可定向闭合” 的拓扑学属性)也就是说, 如果待定系数a,b,c能够任意指定, 则目标曲面 a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v), c*cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi 可能是”单连通、可定向闭合曲面”,也可能不是; 如果预先设定目标曲面 a sin(u)cos(v), b sin(u) sin(v), c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi 本身就是”单连通、可定向闭合曲面”, 则待定系数a,b,c就不能任意指定了.从几何意义解释上述现象 - 在空间直角坐标系, 球面( 即sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi) 沿x,y,z轴三个方向任意连续变化(即a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi,其中 待定系数a,b,c为任意一阶可导连续函数),不一定产生单连通、可定向闭合曲面;反过来,在空间直角坐标系,任一单连通、可定向闭合曲面-必定由球面( 即sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi)沿x,y,z轴三个方向连续变化而成(也必定能够沿x,y,z轴三个方向连续变回球面)- Poincare 猜想为依据.例如,正六面体(即正方体)表面也可以被视为单连通、可定向闭合曲面-但是正六面体表面难于甚至不能用参数方程描述-但是不能否认,根据Poincare猜想, 正六面体表面必定同胚于球面,必定由球面(即sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi)沿x,y,z轴三个方向连续变化而成(也必定能够沿x,y,z轴三个方向连续变回球面);根据Poincare猜想,正六面体表面同样可以用a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi参数模式描述.用a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi 模式描述抽象的、具有普遍意义的单连通、可定向闭合曲面,实际上是用Poincare猜想来描述单连通、可定向闭合曲面的某种内在结构和属性(即同胚于球面这一属性),为进一步的公式推导设定一个恰当的前提条件.需要特别指出,在具体曲面为“复连通、可定向闭合曲面”(例如环面及其同胚曲面)情况下还不能实现抽象化,还没有相关的理论依据为支持. 在实际操作层面,用Plot3D属于Waterloo Maple计算机代数系统指令指令绘画出某一参数曲面,必须在直观视觉上判定该曲面是否为单连通、可定向闭合曲面以后, 才能决定是否适用于流形上的散度或旋度公式数值建模;从参数表达式本身无法判断曲面是否为单连通、可定向闭合曲面;“参数曲面是否为单连通、可定向闭合曲面” 的决定因素在拓扑学领域而不在解析几何领域;单凭解析几何的参数方程方法并不能够推导、演绎出某一曲面的单连通、可定向闭合属性.(三)a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi 只是基于Poincare猜想定义的抽象的、普遍意义的单连通可定向闭合曲面表达式, 还不属于坐标系;抽象单连通可定向闭合曲面坐标系为r a sin(u)cos(v),r b sin(u) sin(v),r c cos(u), r0, ,u0,Pi,v0,2*Pi, 其中r为向径, a,b,c为待定系数(因为a,b,c既可以为非零常数, 也可以为一阶可导连续函数),具有不确定性.实际上,抽象单连通可定向闭合曲面表达式a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi与椭球面表达式a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi在形式上是完全一致的,只是两者对待定系数a,b,c的解释不同:前者将a,b,c解释为任意非零常数或一阶连续可导函数(非任意,受曲面的单连通可定向闭合属性限制)”,而后者将a,b,c解释为只是任意非零常数;故抽象单连通可定向闭合曲面坐标系与直角坐标系的对应关系是x=r*a sin(u)cos(v),y=r*b sin(u) sin(v),z=r*c cos(u)(与椭球面坐标系-直角坐标系转换式是相同的).1.1流形上的散度公式证明:散度公式 设空间闭区域是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 及其偏导数在空间闭区域上连续,则 (1)其中曲面S为空间闭区域的整个边界曲面外侧,n为曲面S的单位外法向量, divA为向量场A的散度证明:定义任意单连通、可定向闭合曲面S的参数表达式:/不是”任意曲面S”的参数表达式,而是”任意单连通、可定向闭合曲面S”的参数表达式/详见 引言 说明a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u) (2)/在严格意义上,参数表达式a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u) 是任意单连通、可定向闭合曲面S在”直角坐标系”和”任意单连通、可定向闭合曲面S坐标系”之间的转换式.其中a,b,c为非零常数或一阶可导连续函数表达式, 单连通、可定向闭合曲面S决定a,b,c的取值;设定参数u,v的变化范围0,0,2,使曲面S闭合.(参见Poincare猜想: 任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面)19/在散度公式涉及的三维欧氏空间, Poincare猜想对应的判断为任何单连通、可定向2维闭合流形必定同胚于2维球面./待定系数a,b,c均不是由任意的一阶可导连续函数表达式构成,a,b,c的取值必须服从于参数曲面S的”单连通、可定向闭合”的拓扑学属性;详见 引言 说明.根据曲面参数表达式(2),定义并计算第一偏导数矩阵,获取曲面S的切平面法向量: =(3)从(3)式分别提取i,j,k项系数,获得曲面S的切平面法向量:, (4)向量场A与曲面S的切平面法向量(4)的空间点积对曲面参数u,v的积分: (5)/ 相对于由具体的、千变万化的三元函数构成的具体空间向量场, 抽象空间向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是一种均衡、对称的抽象数据结构; 在流形上的散度公式证明中,客观上需要一种均衡、对称的抽象可定向闭合曲面表达式与上述抽象空间向量场匹配; Poincare猜想为抽象单连通可定向闭合曲面表达式(即a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi)的实现提供了理论依据./ 在传统的直角坐标系-Gauss 公式证明中, 同样是抽象可定向闭合曲面和抽象空间向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)积分:抽象可定向闭合曲面由三个子曲面分片包围而成,其中曲面皆为抽象二元函数.(参见高等数学(第六版)(下册) 同济大学数学系 高等教育版 2007 P168-170) /因为抽象向量场P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)具有普遍性和同质性,以抽象函数P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z)的变量x(或y或z)的内含子变量u(或v)为自变量积分,其积分结果仍然可以表述为P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z). 也就是说,以变量x,y,z的内含子变量u(或v)为自变量积分,不会改变抽象函数P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z)本身的结构.因为如此,抽象函数结构P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z)能够在积分以后保持原形.(参见附件3,”流形上的散度公式和式极限证明”部分)/ “积分值为零”具有明确的数学、物理意义:在数学意义上,积分值为零是逻辑推导的必然结果,反映了积分诸元素之间的逻辑均衡状态;在物理意义上,积分值为零意味着“抽象向量场”在“抽象单连通、可定向闭合曲面”上的通量恒为静止、待定的零; 如果积分值为某一正数、负数或者某一表达式,则意味着“抽象向量场”在“抽象单连通、可定向闭合曲面”上始终存在流出量、流入量或者某一未知的值,这将是不可解释的现象.将曲面S的参数表达式(2)各项通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的曲面坐标参数转化为空间区域坐标参数:ra sin(u)cos(v),rb sin(u) sin(v),rc cos(u) (6)根据空间区域坐标参数(6),定义并计算第二偏导数矩阵,获取空间闭区域微元系数的一般表达式:= (7)/ 在严格意义上,空间闭区域微元系数是”空间闭区域坐标微元”和”直角坐标微元”之间的比值.计算向量场 A的散度,并将其从直角坐标形式(8) 转变为空间闭区域坐标形式(9): (8) (9)/在空间直角坐标系,抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的散度为 在本证明的逻辑推导中,需要将其引入抽象单连通可定向闭合曲面坐标系.抽象向量场散度的三个组成单元, , 为抽象微分函数结构,而其微分变量x,y,z皆含有子变量r,u,v.空间直角坐标系与抽象单连通可定向闭合曲面坐标系之间的转换式为x = r a sin(u)cos(v), y = r b sin(u) sin(v), z = r c cos(u)-与微分函数,的三个微分变量,对应的坐标转换微分函数分别为 , 和“微分函数 , 与坐标转换微分函数的乘积”(即两种微分函数的乘积)构成了抽象单连通可定向闭合曲面坐标系的散度./ 是”链式求导”还是”坐标转换”? / 如果是”链式求导”,根据”同链相乘,分链相加”的原则应为: / 不论是”链式求导”还是求”散度”或者”旋度”, 解决的是抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)”如何求导”、”求导方式” 的问题;而这里是要将抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)散度求导的结果从一个坐标系转化到另一个坐标系的问题;两个”问题”的性质和层次都是不同的,这里是”相乘”而不是”相加”,这是由坐标的空间属性决定的.散度(9)与空间闭区域微元的乘积对变量r,u,v的三重积分: (10) /因为抽象向量场的散度,或者其单元, 具有普遍性和同质性,以其变量x(或y或z)的内含子变量r(或u,或v)为自变量积分, 其积分性质可以被理解为对”散度的微分函数单元即, 、坐标转换微分函数、空间闭区域微元三者的乘积”的积分.以变量x,y,z的内含子变量r,(或u,或v)为自变量积分,不会改变抽象向量场散度及其三个微分函数单元本身的结构. 抽象向量场散度及其微分函数单元, 或, 或,能够在积分以后保持原形; 而与其三个微分变量, 对应的三个坐标转换微分函数,即: , 和 则可以在积分以后被改变. (参见附件3,”流形上的散度公式和式极限证明”部分)/ 和普通的三重积分不同,这里的第一重积分限始终为r0,1,而不是r0,n或r0,.因为”1”的存在,才能使a,b,c,r,u,v保持正确的比例关系. 其中,即设定空间闭区域微元本身对参数r,u,v的三重积分不能为零,也可以理解为设定空间闭区域不能为零体积即(5)式=(10)式:= 亦可表述为 (1), 证毕1.2环面(复连通可定向闭合曲面)坐标系散度公式证明:散度公式 设空间闭区域是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 及其偏导数在空间闭区域上连续,则 (1)其中曲面S为空间闭区域的整个边界曲面外侧,n为曲面S的单位外法向量, divA为向量场A的散度证明:定义环面S的参数表达式:(2+cos(u)cos(v),(2+cos(u)sin(v),sin(u) (2)设定参数u,v的变化范围0,2,0,2,使环面S闭合.根据环面参数表达式(2),定义并计算第一偏导数矩阵,获取环面的切平面法向量(3): =从(3)式分别提取i,j,k项系数,获得环面S的切平面法向量: (4) 向量场A与环面S的切平面法向量(4)的空间点积对参数u,v积分: = (5)将环面S的参数表达式(2)各项通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的环面坐标参数转化为环面包围空间闭区域坐标参数:r(2+cos(u)cos(v),r(2+cos(u)sin(v),rsin(u) (6)定义并计算第二偏导数矩阵,获取环面包围空间闭区域微元系数的一般表达式: = (7)计算向量场A的散度,并将其从直角坐标形式(8)转变为环面空间区域坐标形式(9): (8) (9) 散度(9)与环面包围空间闭区域微元的乘积对变量r,u,v的三重积分(10): = 即(5)式=(10)式:=亦可表述为 (1), 证毕2.流形上的散度公式数值模型数值模型2.1:已知: 单连通、可定向闭合曲面(不规则、不对称)的参数表达式(1)/在严格意义上,该参数表达式是”该单连通、可定向闭合目标曲面本身”在”直角坐标系”和”该单连通、可定向闭合目标曲面坐标系”之间的转换式; 如同球面参数表达式sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u) 是”球面本身”在”直角坐标系”和”球面坐标系”之间的转换式一样.其中,u0,v0,2; 以及积分向量场 (2)计算并验证流形上的散度公式. 图1 单连通、可定向闭合曲面（1）不规则、不对称解: 第一部分,自由曲面积分实现:根据曲面参数表达式(1),定义并计算第一偏导数矩阵,获取曲面的切平面法向量: = (3)从(3)式分别提取i,j,k项系数,获得曲面S的切平面法向量(4):/ 不同几何拓扑形状的曲面,有不同的切平面法向量.将曲面坐标参数(1)带入积分向量场(2);并且实现积分向量场(2)与曲面(1)的切平面法向量(4)的空间点积对曲面参数u,v的积分: (5)第二部分,自由体积分实现:将目标曲面的参数表达式(1)各项通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的曲面坐标参数转化为空间区域坐标参数:(6)根据空间区域坐标参数(6),定义并计算第二偏导数矩阵,获取空间闭区域微元系数的一般表达式: = (7) / 在严格意义上,空间闭区域微元系数是”该蛇形曲面所包含空间闭区域坐标微元”和”直角坐标微元”之间的比值./ 不同几何拓扑形状的空间区域,有不同的空间区域微元系数; 如同球体空间闭区域微元系数是,而其它几何拓扑形状的空间闭区域微元系数则千差万别.计算向量场(2)的散度: (8)将空间区域坐标参数(6)带入散度(8),并且计算散度(8)与空间闭区域微元的乘积对变量r,u,v的三重积分(9): (9)/ 和普通的三重积分不同, 这里的第一重积分限始终为r0,1,而不是r0,n或r0,.因为”1”的存在,才能使r,u,v保持正确的比例关系./ 与 ”公式证明”涉及的抽象散度函数不同, 在”数值模型” 中可以直接将空间区域坐标参数(6)带入散度带入具体散度函数(8), 继之以”具体散度函数(8)与空间区域微元的乘积”,进行三重积分.积分向量场在目标曲面的积分精确值(5),等于该向量场的散度在目标曲面包含的空间区域的体积分精确值(9),流形上的散度公式运算并验证完毕.数值模型2.2: 已知: 单连通、可定向闭合曲面(不规则、不对称)的参数表达式 （1） 其中,u0,v0,2; 以及积分向量场 (2)计算并验证流形上的散度公式. 图2 单连通、可定向闭合曲面（2）不规则、不对称解: 第一部分,自由曲面积分实现:根据曲面参数表达式(1),定义并计算第一偏导数矩阵,获取曲面的切平面法向量: = (3)从(3)式分别提取i,j,k项系数,获得曲面S的切平面法向量(4):将曲面坐标参数(1)带入积分向量场(2);并且积分向量场(2)与曲面(1)的切平面法向量(4)的空间点积对曲面参数u,v的积分:(5)第二部分,自由体积分实现:将目标曲面的参数表达式(1)各项通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的曲面坐标参数转化为空间区域坐标参数: (6)根据空间区域坐标参数(6),定义并计算第二偏导数矩阵,获取空间闭区域微元系数的一般表达式(7): =计算向量场(2)的散度: (8)将空间区域坐标参数(6)带入散度(8),并且计算散度(8)与空间闭区域微元的乘积对变量r,u,v的三重积分:(9)积分向量场在目标曲面的积分精确值(5),等于该向量场的散度在目标曲面包含的空间区域的体积分精确值(9),流形上的散度公式运算并验证完毕.3.环面坐标系散度公式数值模型已知: 环面(复连通、可定向闭合曲面)的参数表达式 (1)其中,u0,2,v0,2; 以及积分向量场 (2)计算并验证流形上的散度公式. 图3 环面 (复连通、可定向闭合曲面)（1）解: 第一部分,环面坐标系曲面积分实现:根据环面参数表达式(1),定义并计算第一偏导数矩阵,获取环面的切平面法向量(3):=(3)从(3)式分别提取i,j,k项系数,获得曲面S的切平面法向量(4): (4)将环面坐标参数(1) 带入积分向量场(2); 并且实现积分向量场(2) 与环面(1) 的切平面法向量(4)的空间点积对曲面参数u,v的积分: = (5)第二部分,自由体积分实现:将目标环面的参数表达式(1)各项通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的环面坐标参数转化为空间区域坐标参数: (6)根据空间区域坐标参数(6),定义并计算第二偏导数矩阵,获取空间闭区域微元系数的一般表达式: = (7) / 在严格意义上,空间闭区域微元系数是”环面所包含空间闭区域坐标微元”和”直角坐标微元”之间的比值./ 不同几何拓扑形状的空间区域,有不同的空间区域微元系数; 如同球体空间闭区域微元系数是,而其它几何拓扑形状的空间闭区域微元系数则千差万别.计算向量场(2)的散度: (8)将空间区域坐标参数(6)带入散度(8),并且计算散度(8)与空间闭区域微元的乘积对变量r,u,v的三重积分(9): = (9)积分向量场在目标环面的积分精确值(5),等于该向量场的散度在目标环面包含的空间区域的体积分精确值(9),环面坐标系散度公式运算并验证完毕.4.流形上的散度公式的反例: 关于Klein瓶的曲面积分和三重积分4.1流形上的散度公式与Klein瓶 众所周知,Klein瓶是典型的不可定向、闭合曲面.如果将”Klein瓶”曲面用”流形上的散度公式证明”的逻辑方法推导演绎,将会出现怎样的情况? 散度公式 设空间闭区域是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 及其偏导数在空间闭区域上连续,则 (1)其中曲面S为空间闭区域的整个边界曲面外侧,n为曲面S的单位外法向量, divA为向量场A的散度.证明(反例):定义Klein瓶的参数表达式:cos(u)*(cos(u/2)*sin(v)-sin(u/2)*sin(2*v)+3),sin(u)*(cos(u/2)*sin(v)-sin(u/2)*sin(2*v)+3), (sin(u/2)*sin(v)+cos(u/2)*sin(2*v) (2)设定参数u,v的变化范围0,4,0,使Klein瓶闭合. 图4 Klein瓶(具有不可定向、闭合的几何拓扑属性)根据Klein瓶的参数表达式(2),定义并计算第一偏导数矩阵,获取Klein瓶的切平面法向量(3): = (3) 从(3)式分别提取i,j,k项系数,获得Klein瓶的切平面法向量: (4) (4) 向量场A与Klein瓶的切平面法向量(4)的空间点积对参数u,v积分: (5)= 0 (5)将Klein瓶的参数表达式(2)各项通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的Klein瓶曲面坐标参数转化为Klein瓶曲面包围空间闭区域坐标参数(6): (6)定义并计算第二偏导数矩阵, 获取 Klein 瓶包围空间闭区域 微元系数的一般表达式(7): = (7) 计算向量场 A 的散度, 并将其从直角坐标形式 (8) 转变为 Klein 瓶空间区域坐标形式(9): (8) = (9)散度(9)与Klein瓶包围空间闭区域微元的乘积对变量r,u,v的三重积分(10): = (10)即(5)式(10)式用”流形上的散度公式证明”的逻辑方法推导演绎,Klein瓶的曲面积分与其空间区域三重积分在逻辑上不相等证明(反例)完毕.4.2 Klein瓶的曲面积分和三重积分数值模型已知: Klein瓶(不可定向闭合曲面)的参数表达式:cos(u)*(cos(u/2)*sin(v)-sin(u/2)*sin(2*v)+3),sin(u)*(cos(u/2)*sin(v)-sin(u/2)*sin(2*v)+3), (sin(u/2)*sin(v)+cos(u/2)*sin(2*v) (1)其中,u0,4,v0,; 以及积分向量场 (2)计算并验证流形上的散度公式(反例). 图5 Klein瓶、积分向量场及其散度函数等值面解: 第一部分,Klein瓶曲面积分实现:根据Klein瓶参数表达式(1),定义并计算第一偏导数矩阵, 获取Klein瓶的切平面法向量: = (3)从(3)式分别提取i,j,k项系数,获得Klein瓶的切平面法向量(4): (4)将Klein瓶坐标参数(1)带入积分向量场(2);并且积分向量场(2)与Klein瓶(1)的切平面法向量(4)的空间点积对曲面参数u,v的积分: (5) = 第二部分,Klein瓶体积分实现:将Klein瓶的参数表达式(1)各项通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的Klein瓶曲面坐标参数转化为空间区域坐标参数(6): (6)根据空间区域坐标参数(6),定义并计算第二偏导数矩阵,获取空间闭区域微元系数的一般表达式(7): = (7)计算向量场(2)的散度: = (8)将空间区域坐标参数(6)带入散度(8),并且计算散度(8)与空间闭区域微元的乘积对变量r,u,v的三重积分(9): = (9)具体向量场在Klein瓶曲面的积分精确值(5),等于该向量场的散度在Klein瓶曲面包含的空间区域的体积分精确值(9),流形上的散度公式(反例)运算并验证完毕.在抽象向量场 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 运算的情况下,Klein瓶的曲面积分与其空间区域三重积分在逻辑上不等;因具体向量场的取值,Klein瓶的曲面积分与其空间区域三重积分可能相等.总结传统的散度公式证明逻辑体系, 建立了基于空间直角坐标系投影法 (简称投影法) 的曲面积分与三重积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷 (例如计算过程繁琐,不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题 (例如电磁学领域的 Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径, 均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上. 一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明, 通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象(流形)解析解、数值解;传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green公式,-Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式20,即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;建立与具体几何对象 (流形) 匹配的个性化坐标系 (即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系,使用什么样几何形体的微元系数;而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、柱面坐标系、广义球面坐标系及其相关微元系数等),证明散度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)的存在, 使散度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分之间的新公式关联, 并且在无限丰富、 绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立两种新型的积分方法的理论逻辑依据和数值模型.证明流形上的散度公式本身不是唯一目的,建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分之间的新公式关联,确立两种新型积分方法的理论逻辑依据和数值模型是根本目的.本稿件相关的数值模型表明,通过基于参数化空间点积法的曲面积分和基于个性化微元系数的三重积分, 能够获得关于复杂几何形体(流形,尤其是不对称、不规则曲面及其包含空间区域) 的解析积分值或任意精度浮点积分值; 实现任意曲面积分、任意空间区域三重积分(甚至实现积分区间的艺术化); 寻找向量场 (电场、磁场、流体场、引力场等)和数量场(电位场、 温度场、 密度场等) 在任意自由曲面及其空间区域的积分计算途径和关联关系,寻找微积分学、拓扑学和工程计算三者的直接衔接点,实现流形上的散度公式和工程意义上的流形积分,实现更广大、更自由的物理、数学探索和工程实践.参考书籍:1基础物理述评教程潘根 科学版 2002.1 (P360-361,P385,P401)2费恩曼物理学讲义(第2卷) The Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. SandsPearson Education 1989 上海世纪出版股份有限公司/上海科学技术版 2005.6 第1版 2009.10 第6次印刷 (P31-32,P48-54,P55-65,P159-165,P230-242,P259-289)3电磁学 高等教育版 2001.1 (P33-43)4电动力学及其计算机辅助教学科学版 2007.8 (P1-47)5场论 原子能版 2006.10 (2008.8 重印) (P9-13,P147-150,P184-186)6流体力学 冶金工业版 2010.2 (P40-80)7应用流体力学 清华大学版 2006.3 (P21-32)8工程流体力学 人民交通版 2010.1 (P28-46,P57