2018年江苏省高考数学试卷(含答案).pdf

第 1页 共 32页 绝密绝密 启用前启用前 20182018 年年江苏江苏省高考数学试卷省高考数学试卷 考试时间 120 分钟 试卷整理 微信公众号 浙江数学 学校 姓名 班级 考号 题号一二总分 得分 注意事项 1 答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息 2 请将答案正确填写在答题卡上 第第 卷 选择题 卷 选择题 评卷人得分 一 填空题 共一 填空题 共 1414 小题 满分小题 满分 7070 分 每小题分 每小题 5 5 分 分 1 5 分 2018 江苏 已知集合 A 0 1 2 8 B 1 1 6 8 那么 A B 2 5分 2018 江苏 若复数z满足i z 1 2i 其中i是虚数单位 则z的实部为 3 5 分 2018 江苏 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示 那么 这 5 位裁判打出的分数的平均数为 4 5 分 2018 江苏 一个算法的伪代码如图所示 执行此算法 最后输出的 S 的值 为 第 2页 共 32页 5 5 分 2018 江苏 函数 f x 的定义域为 6 5 分 2018 江苏 某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 现从中任选 2 名学生去参 加活动 则恰好选中 2 名女生的概率为 7 5 分 2018 江苏 已知函数 y sin 2x 的图象关于直线 x 对称 则 的值为 8 5 分 2018 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 若双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点 F c 0 到一条渐近线的距离为c 则其离心率的值为 9 5 分 2018 江苏 函数 f x 满足 f x 4 f x x R 且在区间 2 2 上 f x 则 f f 15 的值为 10 5 分 2018 江苏 如图所示 正方体的棱长为 2 以其所有面的中心为顶点的多 面体的体积为 11 5 分 2018 江苏 若函数 f x 2x 3 ax2 1 a R 在 0 内有且只有 一个零点 则 f x 在 1 1 上的最大值与最小值的和为 第 3页 共 32页 12 5 分 2018 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 A 为直线 l y 2x 上在第一象限内 的点 B 5 0 以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D 若 0 则点 A 的横 坐标为 13 5 分 2018 江苏 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c ABC 120 ABC 的平分线交 AC 于点 D 且 BD 1 则 4a c 的最小值为 14 5 分 2018 江苏 已知集合 A x x 2n 1 n N B x x 2 n n N 将 A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 an 记 Sn为数列 an 的前 n 项和 则 使得 Sn 12an 1成立的 n 的最小值为 第 4页 共 32页 第第 卷 非选择题 卷 非选择题 评卷人得分 二 解答题 共二 解答题 共 1212 小题 满分小题 满分 150150 分 分 15 15 分 2018 江苏 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB AB1 B1C1 求证 1 AB 平面 A1B1C 2 平面 ABB1A1 平面 A1BC 16 15 分 2018 江苏 已知 为锐角 tan cos 1 求 cos2 的值 2 求 tan 的值 第 5页 共 32页 17 15 分 2018 江苏 某农场有一块农田 如图所示 它的边界由圆 O 的一段圆弧 P 为此圆弧的中点 和线段 MN 构成 已知圆 O 的半径为 40 米 点 P 到 MN 的距离 为 50 米 现规划在此农田上修建两个温室大棚 大棚 内的地块形状为矩形 ABCD 大 棚 内的地块形状为 CDP 要求 A B 均在线段 MN 上 C D 均在圆弧上 设 OC 与 MN 所成的角为 1 用 分别表示矩形 ABCD 和 CDP 的面积 并确定 sin 的取值范围 2 若大棚 I 内种植甲种蔬菜 大棚 内种植乙种蔬菜 且甲 乙两种蔬菜的单位面 积年产值之比为 4 3 求当 为何值时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 第 6页 共 32页 18 15 分 2018 江苏 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 C 过点 焦 点 F1 0 F2 0 圆 O 的直径为 F1F2 1 求椭圆 C 及圆 O 的方程 2 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 求点 P 的坐标 直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 若 OAB 的面积为 求直线 l 的方程 19 15 分 2018 江苏 记 f x g x 分别为函数 f x g x 的导函数 若 存在 x0 R 满足 f x0 g x0 且 f x0 g x0 则称 x0为函数 f x 与 g x 的一个 S 点 1 证明 函数 f x x 与 g x x 2 2x 2 不存在 S 点 2 若函数 f x ax 2 1 与 g x lnx 存在 S 点 求实数 a 的值 3 已知函数 f x x 2 a g x 对任意 a 0 判断是否存在 b 0 使函 数 f x 与 g x 在区间 0 内存在 S 点 并说明理由 第 7页 共 32页 20 15 分 2018 江苏 设 an 是首项为 a1 公差为 d 的等差数列 bn 是首项为 b1 公比为 q 的等比数列 1 设 a1 0 b1 1 q 2 若 an bn b1对 n 1 2 3 4 均成立 求 d 的取值范围 2 若 a1 b1 0 m N q 1 证明 存在 d R 使得 an bn b1对 n 2 3 m 1 均成立 并求 d 的取值范围 用 b1 m q 表示 21 10 分 2018 江苏 如图 圆 O 的半径为 2 AB 为圆 O 的直径 P 为 AB 延长线上 一点 过 P 作圆 O 的切线 切点为 C 若 PC 2 求 BC 的长 第 8页 共 32页 22 10 分 2018 江苏 已知矩阵 A 1 求 A 的逆矩阵 A 1 2 若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P 3 1 求点 P 的坐标 23 10 分 2018 江苏 在极坐标系中 直线 l 的方程为 sin 2 曲线 C 的方程为 4cos 求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 24 10 分 2018 江苏 若 x y z 为实数 且 x 2y 2z 6 求 x 2 y2 z2的最小值 第 9页 共 32页 25 10 分 2018 江苏 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AA1 2 点 P Q 分别 为 A1B1 BC 的中点 1 求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值 2 求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值 26 10 分 2018 江苏 设 n N 对 1 2 n 的一个排列 i 1i2 in 如果当 s t 时 有 is it 则称 is it 是排列 i1i2 in的一个逆序 排列 i1i2 in的所 有逆序的总个数称为其逆序数 例如 对 1 2 3 的一个排列 231 只有两个逆序 2 1 3 1 则排列 231 的逆序数为 2 记 fn k 为 1 2 n 的所有排列中逆序 数为 k 的全部排列的个数 1 求 f3 2 f4 2 的值 2 求 fn 2 n 5 的表达式 用 n 表示 第 10页 共 32页 20182018 年年江苏省江苏省高考数学试卷高考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 共一 填空题 共 1414 小题 满分小题 满分 7070 分 每小题分 每小题 5 5 分 分 1 5 分 2018 江苏 已知集合 A 0 1 2 8 B 1 1 6 8 那么 A B 1 8 分析 直接利用交集运算得答案 解答 解 A 0 1 2 8 B 1 1 6 8 A B 0 1 2 8 1 1 6 8 1 8 故答案为 1 8 点评 本题考查交集及其运算 是基础的计算题 2 5 分 2018 江苏 若复数 z 满足 i z 1 2i 其中 i 是虚数单位 则 z 的实部为2 分析 把已知等式变形 再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解答 解 由 i z 1 2i 得 z z 的实部为 2 故答案为 2 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的基本概念 是基础题 3 5 分 2018 江苏 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示 那么 这 5 位裁判打出的分数的平均数为90 第 11页 共 32页 分析 根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可 解答 解 根据茎叶图中的数据知 这 5 位裁判打出的分数为 89 89 90 91 91 它们的平均数为 89 89 90 91 91 90 故答案为 90 点评 本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题 是基础题 4 5 分 2018 江苏 一个算法的伪代码如图所示 执行此算法 最后输出的 S 的值 为8 分析 模拟程序的运行过程 即可得出程序运行后输出的 S 值 解答 解 模拟程序的运行过程如下 I 1 S 1 I 3 S 2 I 5 S 4 I 7 S 8 此时不满足循环条件 则输出 S 8 故答案为 8 第 12页 共 32页 点评 本题考查了程序语言的应用问题 模拟程序的运行过程是解题的常用方法 5 5 分 2018 江苏 函数 f x 的定义域为 2 分析 解关于对数函数的不等式 求出 x 的范围即可 解答 解 由题意得 1 解得 x 2 函数 f x 的定义域是 2 故答案为 2 点评 本题考查了对数函数的性质 考查求函数的定义域问题 是一道基础题 6 5 分 2018 江苏 某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 现从中任选 2 名学生去参 加活动 则恰好选中 2 名女生的概率为0 3 分析 适合理科生 从2名男同学和3 名女同学中任选2人参加社区服务 共有C5 2 10 种 其中全是女生的有 C3 2 3 种 根据概率公式计算即可 适合文科生 设 2 名男生为 a b 3 名女生为 A B C 则任选 2 人的种数为 ab aA aB aC bA bB Bc AB AC BC 共 10 种 其中全是女生为 AB AC BC 共 3 种 根据概率公式计算即可 解答 解 适合理科生 从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务 共有 C5 2 10 种 其中全是女生的有 C 3 2 3 种 故选中的 2 人都是女同学的概率 P 0 3 适合文科生 设 2 名男生为 a b 3 名女生为 A B C 则任选 2 人的种数为 ab aA aB aC bA bB Bc AB AC BC 共 10 种 其中全是女生为 AB AC BC 共 3 种 第 13页 共 32页 故选中的 2 人都是女同学的概率 P 0 3 故答案为 0 3 点评 本题考查了古典概率的问题 采用排列组合或一一列举法 属于基础题 7 5 分 2018 江苏 已知函数 y sin 2x 的图象关于直线 x 对称 则 的值为 分析 根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可 解答 解 y sin 2x 的图象关于直线 x 对称 2 k k Z 即 k 当 k 0 时 故答案为 点评 本题主要考查三角函数的图象和性质 利用正弦函数的对称性建立方程关系 是解决本题的关键 8 5 分 2018 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 若双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点 F c 0 到一条渐近线的距离为c 则其离心率的值为2 分析 利用双曲线的简单性质 以及点到直线的距离列出方程 转化求解即可 解答 解 双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点 F c 0 到一条渐近线 y x 的距离为c 第 14页 共 32页 可得 b 可得 即 c 2a 所以双曲线的离心率为 e 故答案为 2 点评 本题考查双曲线的简单性质的应用 考查转化思想以及计算能力 9 5 分 2018 江苏 函数 f x 满足 f x 4 f x x R 且在区间 2 2 上 f x 则 f f 15 的值为 分析 根据函数的周期性 进行转化求解即可 解答 解 由 f x 4 f x 得函数是周期为 4 的周期函数 则 f 15 f 16 1 f 1 1 f cos cos 即 f f 15 故答案为 点评 本题主要考查函数值的计算 根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用 转化法是解决本题的关键 10 5 分 2018 江苏 如图所示 正方体的棱长为 2 以其所有面的中心为顶点的多 面体的体积为 第 15页 共 32页 分析 求出多面体中的四边形的面积 然后利用体积公式求解即可 解答 解 正方体的棱长为 2 中间四边形的边长为 八面体看做两个正四棱锥 棱锥的高为 1 多面体的中心为顶点的多面体的体积为 2 故答案为 点评 本题考查几何体的体积的求法 考查空间想象能力以及计算能力 11 5 分 2018 江苏 若函数 f x 2x 3 ax2 1 a R 在 0 内有且只有 一个零点 则 f x 在 1 1 上的最大值与最小值的和为 3 分析 推导出 f x 2x 3x a x 0 当 a 0 时 f x 2x 3x a 0 f 0 1 f x 在 0 上没有零点 当 a 0 时 f x 2x 3x a 0 的解为 x f x 在 0 上递减 在 递增 由 f x 只 有一个零点 解得 a 3 从而 f x 2x 3 3x2 1 f x 6x x 1 x 1 1 利用导数性质能求出 f x 在 1 1 上的最大值与最小值的和 解答 解 函数 f x 2x 3 ax2 1 a R 在 0 内有且只有一个零点 f x 2x 3x a x 0 第 16页 共 32页 当 a 0 时 f x 2x 3x a 0 函数 f x 在 0 上单调递增 f 0 1 f x 在 0 上没有零点 舍去 当 a 0 时 f x 2x 3x a 0 的解为 x f x 在 0 上递减 在 递增 又 f x 只有一个零点 f 1 0 解得 a 3 f x 2x 3 3x2 1 f x 6x x 1 x 1 1 f x 0 的解集为 1 0 f x 在 1 0 上递增 在 0 1 上递减 f 1 4 f 0 1 f 1 0 f x min f 1 4 f x max f 0 1 f x 在 1 1 上的最大值与最小值的和为 f x max f x min 4 1 3 点评 本题考查函数的单调性 最值 导数的运算及其应用 同时考查逻辑思维能 力和综合应用能力 是中档题 12 5 分 2018 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 A 为直线 l y 2x 上在第一象限内 的点 B 5 0 以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D 若 0 则点 A 的横 坐标为3 分析 设 A a 2a a 0 求出 C 的坐标 得到圆 C 的方程 联立直线方程与圆的 方程 求得 D 的坐标 结合 0 求得 a 值得答案 解答 解 设 A a 2a a 0 第 17页 共 32页 B 5 0 C a 则圆 C 的方程为 x 5 x a y y 2a 0 联立 解得 D 1 2 解得 a 3 或 a 1 又 a 0 a 3 即 A 的横坐标为 3 故答案为 3 点评 本题考查平面向量的数量积运算 考查圆的方程的求法 是中档题 13 5 分 2018 江苏 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c ABC 120 ABC 的平分线交 AC 于点 D 且 BD 1 则 4a c 的最小值为9 分析 根据面积关系建立方程关系 结合基本不等式 1 的代换进行求解即可 解答 解 由题意得 acsin120 asin60 csin60 即 ac a c 得 1 得 4a c 4a c 5 2 5 4 5 9 当且仅当 即 c 2a 时 取等号 故答案为 9 点评 本题主要考查基本不等式的应用 利用 1 的代换结合基本不等式是解决本题 的关键 14 5 分 2018 江苏 已知集合 A x x 2n 1 n N B x x 2 n n N 将 A 第 18页 共 32页 B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 an 记 Sn为数列 an 的前 n 项和 则 使得 Sn 12an 1成立的 n 的最小值为27 分析 采用列举法 验证 n 26 n 27 即可 解答 解 利用列举法可得 S26 a27 43 12a27 516 不符合题意 S27 546 28 45 1228 540 符合题意 故答案为 27 点评 本题考查了集合 数列的求和 属于中档题 二 解答题 共二 解答题 共 1212 小题 满分小题 满分 150150 分 分 15 15 分 2018 江苏 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB AB1 B1C1 求证 1 AB 平面 A1B1C 2 平面 ABB1A1 平面 A1BC 分析 1 由 AB 平面 A1B1C 2 可得四边形 ABB1A1是菱形 AB1 A1B 由 AB1 B1C1 AB1 BC AB1 面 A1BC 平面 ABB1A1 平面 A1BC 解答 证明 1 平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 AB A1B1 第 19页 共 32页 AB 平面 A1B1C 2 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB 四边形 ABB1A1是菱形 AB1 A1B 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB AB1 B1C1 AB1 BC AB1 面 A1BC 且 AB1 平面 ABB1A1 平面 ABB1A1 平面 A1BC 点评 本题考查了平行六面体的性质 及空间线面平行 面面垂直的判定 属于中 档题 16 15 分 2018 江苏 已知 为锐角 tan cos 1 求 cos2 的值 2 求 tan 的值 分析 1 由已知结合平方关系求得 sin cos 的值 再由倍角公式得 cos2 的 值 2 由 1 求得 tan2 再由 cos 求得 tan 利用 tan tan 2 展开两角差的正切求解 解答 解 1 由 解得 cos2 2 由 1 得 sin2 则 tan2 0 0 第 20页 共 32页 sin 则 tan tan tan 2 点评 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值 考查同角三角函数基本关系式的 应用 是中档题 17 15 分 2018 江苏 某农场有一块农田 如图所示 它的边界由圆 O 的一段圆弧 P 为此圆弧的中点 和线段 MN 构成 已知圆 O 的半径为 40 米 点 P 到 MN 的距离 为 50 米 现规划在此农田上修建两个温室大棚 大棚 内的地块形状为矩形 ABCD 大 棚 内的地块形状为 CDP 要求 A B 均在线段 MN 上 C D 均在圆弧上 设 OC 与 MN 所成的角为 1 用 分别表示矩形 ABCD 和 CDP 的面积 并确定 sin 的取值范围 2 若大棚 I 内种植甲种蔬菜 大棚 内种植乙种蔬菜 且甲 乙两种蔬菜的单位面 积年产值之比为 4 3 求当 为何值时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 分析 1 根据图形计算矩形 ABCD 和 CDP 的面积 求出 sin 的取值范围 2 根据题意求出年总产值 y 的解析式 构造函数 f 利用导数求 f 的最大值 即可得出 为何值时年总产值最大 解答 解 1 S 矩形 ABCD 40sin 10 80cos 800 4sin cos cos S CDP 80cos 40 40sin 第 21页 共 32页 1600 cos cos sin 当 B N 重合时 最小 此时 sin 当 C P 重合时 最大 此时 sin 1 sin 的取值范围是 1 2 设年总产值为 y 甲种蔬菜单位面积年产值为 4t 乙种蔬菜单位面积年产值为 3t 则 y 3200t 4sin cos cos 4800t cos cos sin 8000t sin cos cos 其中 sin 1 设 f sin cos cos 则 f cos 2 sin2 sin 2sin 2 sin 1 令 f 0 解得 sin 此时 cos 当 sin 时 f 0 f 单调递增 当 sin 1 时 f 0 f 单调递减 时 f 取得最大值 即总产值 y 最大 答 1 S 矩形 ABCD 800 4sin cos cos S CDP 1600 cos cos sin sin 1 2 时总产值 y 最大 点评 本题考查了解三角形的应用问题 也考查了构造函数以及利用导数求函数的 最值问题 是中档题 18 15 分 2018 江苏 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 C 过点 焦 点 F1 0 F2 0 圆 O 的直径为 F1F2 第 22页 共 32页 1 求椭圆 C 及圆 O 的方程 2 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 求点 P 的坐标 直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 若 OAB 的面积为 求直线 l 的方程 分析 1 由题意可得 又 a 2 b2 c2 3 解得 a 2 b 1 即可 2 可设直线 l 的方程为 y kx m k 0 m 0 可得 由 可得 4k 2 1 x2 8kmx 4m2 4 0 8km 2 4 4k2 1 4m2 4 0 解得 k m 3 即可 设 A x1 y1 B x2 y2 联立直线与椭圆方程得 4k 2 1 x2 8kmx 4m2 4 0 O 到直线 l 的距离 d AB x2 x1 OAB 的面积为 S 解得 k 正值舍去 m 3 即可 解答 解 1 由题意可设椭圆方程为 焦点 F1 0 F2 0 又 a 2 b2 c2 3 第 23页 共 32页 解得 a 2 b 1 椭圆 C 的方程为 圆 O 的方程为 x 2 y2 3 2 可知直线 l 与圆 O 相切 也与椭圆 C 且切点在第一象限 可设直线 l 的方程为 y kx m k 0 m 0 由圆心 0 0 到直线 l 的距离等于圆半径 可得 由 可得 4k 2 1 x2 8kmx 4m2 4 0 8km 2 4 4k2 1 4m2 4 0 可得 m 2 4k2 1 3k2 3 4k2 1 结合 k 0 m 0 解得 k m 3 将 k m 3 代入可得 解得 x y 1 故点 P 的坐标为 设 A x1 y1 B x2 y2 由 k 联立直线与椭圆方程得 4k 2 1 x2 8kmx 4m2 4 0 x2 x1 O 到直线 l 的距离 d AB x2 x1 OAB 的面积为 S 解得 k 正值舍去 m 3 第 24页 共 32页 y 为所求 点评 本题考查了椭圆的方程 直线与圆 椭圆的位置关系 属于中档题 19 15 分 2018 江苏 记 f x g x 分别为函数 f x g x 的导函数 若 存在 x0 R 满足 f x0 g x0 且 f x0 g x0 则称 x0为函数 f x 与 g x 的一个 S 点 1 证明 函数 f x x 与 g x x 2 2x 2 不存在 S 点 2 若函数 f x ax 2 1 与 g x lnx 存在 S 点 求实数 a 的值 3 已知函数 f x x 2 a g x 对任意 a 0 判断是否存在 b 0 使函 数 f x 与 g x 在区间 0 内存在 S 点 并说明理由 分析 1 根据 S 点 的定义解两个方程 判断方程是否有解即可 2 根据 S 点 的定义解两个方程即可 3 分别求出两个函数的导数 结合两个方程之间的关系进行求解判断即可 解答 解 1 证明 f x 1 g x 2x 2 则由定义得 得方程无解 则 f x x 与 g x x 2 2x 2 不存在 S 点 2 f x 2ax g x x 0 由 f x g x 得 2ax 得 x f g lna2 得 a 3 f x 2x g x x 0 由 f x0 g x0 得 b 0 得 0 x0 1 由 f x0 g x0 得 x0 2 a 得 a x0 2 第 25页 共 32页 令 h x x 2 a a 0 0 x 1 设 m x x 3 3x2 ax a a 0 0 x 1 则 m 0 a 0 m 1 2 0 得 m 0 m 1 0 又 m x 的图象在 0 1 上连续不断 则 m x 在 0 1 上有零点 则 h x 在 0 1 上有零点 则 f x 与 g x 在区间 0 内存在 S 点 点评 本题主要考查导数的应用 根据条件建立两个方程组 判断方程组是否有解 是解决本题的关键 20 15 分 2018 江苏 设 an 是首项为 a1 公差为 d 的等差数列 bn 是首项为 b1 公比为 q 的等比数列 1 设 a1 0 b1 1 q 2 若 an bn b1对 n 1 2 3 4 均成立 求 d 的取值范围 2 若 a1 b1 0 m N q 1 证明 存在 d R 使得 an bn b1对 n 2 3 m 1 均成立 并求 d 的取值范围 用 b1 m q 表示 分析 1 根据等比数列和等差数列的通项公式 解不等式组即可 2 根据数列和不等式的关系 利用不等式的关系构造新数列和函数 判断数列和函 数的单调性和性质进行求解即可 解答 解 1 由题意可知 an bn 1 对任意 n 1 2 3 4 均成立 a1 0 q 2 解得 即 d 第 26页 共 32页 证明 2 an a1 n 1 d bn b1 q n 1 若存在 d R 使得 an bn b1对 n 2 3 m 1 均成立 则 b1 n 1 d b1 q n 1 b 1 n 2 3 m 1 即b1 d n 2 3 m 1 q 1 则 1 q n 1 qm 2 n 2 3 m 1 b1 0 0 因此取 d 0 时 an bn b1对 n 2 3 m 1 均成立 下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值 当 2 n m 时 当 1 q 时 有 q n qm 2 从而 n q n qn 1 qn 2 0 因此当 2 n m 1 时 数列 单调递增 故数列 的最大值为 设 f x 2 x 1 x 当 x 0 时 f x ln2 1 xln2 2x 0 f x 单调递减 从而 f x f 0 1 当 2 n m 时 1 f 1 因此当 2 n m 1 时 数列 单调递递减 第 27页 共 32页 故数列 的最小值为 d 的取值范围是 d 点评 本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用 考查学生的运算 能力 综合性较强 难度较大 21 10 分 2018 江苏 如图 圆 O 的半径为 2 AB 为圆 O 的直径 P 为 AB 延长线上 一点 过 P 作圆 O 的切线 切点为 C 若 PC 2 求 BC 的长 分析 连接 OC 由题意 CP 为圆 O 的切线 得到垂直关系 由线段长度及勾股定理 可以得到 PO 的长 即可判断 COB 是等边三角形 BC 的长 解答 解 连接 OC 因为 PC 为切线且切点为 C 所以 OC CP 因为圆 O 的半径为 2 所以 BO OC 2 所以 所以 COP 60 所以 COB 为等边三角形 所以 BC BO 2 第 28页 共 32页 点评 本题主要考查圆与直线的位置关系 切线的应用 考查发现问题解决问题的 能力 22 10 分 2018 江苏 已知矩阵 A 1 求 A 的逆矩阵 A 1 2 若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P 3 1 求点 P 的坐标 分析 1 矩阵 A 求出 det A 1 0 A 可逆 然后求解 A 的逆矩阵 A 1 2 设 P x y 通过 求出 即可得到点 P 的坐标 解答 解 1 矩阵 A det A 2 2 1 3 1 0 所以 A 可逆 从而 A 的逆矩阵 A 1 2 设 P x y 则 所以 A 1 因此点 P 的坐标为 3 1 点评 本题矩阵与逆矩阵的关系 逆矩阵的求法 考查转化思想的应用 是基本知 识的考查 23 10 分 2018 江苏 在极坐标系中 直线 l 的方程为 sin 2 曲线 C 的方程为 4cos 求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 分析 将直线 l 曲线 C 的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程 利用直线与 圆的相交弦长公式即可求解 解答 解 曲线 C 的方程为 4cos 2 4 cos x2 y2 4x 曲线 C 是圆心为 C 2 0 半径为 r 2 得圆 直线 l 的方程为 sin 2 2 直线 l 的普通方程为 x y 4 第 29页 共 32页 圆心 C 到直线 l 的距离为 d 直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程 直线与圆的相交弦长关系 点到 直线的距离公式 属于中档题 24 10 分 2018 江苏 若 x y z 为实数 且 x 2y 2z 6 求 x 2 y2 z2的最小值 分析 根据柯西不等式进行证明即可 解答 解 由柯西不等式得 x 2 y2 z2 12 22 22 x 2y 2z 2 x 2y 2z 6 x 2 y2 z2 4 是当且仅当时 不等式取等号 此时 x y z x 2 y2 z2的最小值为 4 点评 本题主要考查不等式的证明 利用柯西不等式是解决本题的关键 25 10 分 2018 江苏 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AA1 2 点 P Q 分别 为 A1B1 BC 的中点 1 求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值 2 求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值 分析 设 AC A1C1的中点分别为 O O1 以 为基底 建立空间直角坐标 第 30页 共 32页 系 O xyz 1 由 cos 可得异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值 2 求得平面 AQC1的一个法向量为 设直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为 可得sin cos 即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值 解答 解 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 设 AC A1C1的中点分