【专题】数列通项公式的求法.doc

数列通项公式的求法1前n项和法（知求） 例1、已知数列的前n项和，求数列的前n项和变式：已知数列的前n项和，求数列的前n项和答案： ；变式： 练习：1、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。答案：2、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。答案：3、设数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足，求数列的通项公式。答案：2.形如型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.例 1. （2003天津文） 已知数列an满足,证明证明：由已知得： = .例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.答案： 例3.已知数列满足，求此数列的通项公式.答案：评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。3.形如型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 例1、在数列中 ，求数列的通项公式。答案：练习：1、在数列中 ，求。答案：2、求数列的通项公式。解答：由已知当，N-1个式子累乘，得到当n=1，也满足，所以4.形如型（取倒数法）例1. 已知数列中，求通项公式 解：取倒数： 练习：1、若数列中，,求通项公式.答案：2、若数列中，求通项公式.答案：5形如,其中)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列为等差数列;（2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,利用待定系数法求出A例1已知数列中，求通项.分析：待定系数法构造构造新的等比数列。解：由设,解出A=-1,则所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即 . 练习：1、若数列中，,求通项公式。答案：2、若数列中，,求通项公式。答案：6.形如型（构造新的等比数列）(1)若一次函数(k,b是常数，且)，则后面待定系数法也用一次函数。例题. 在数列中，,求通项.解：原递推式可化为比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：，故.练习：1、已知数列中，求通项公式答案：(2)若(其中q是常数，且n0,1)若p=1时，即：，累加即可若时，即：，后面的待定系数法也用指数形式。两边同除以 . 即： ,令,则可化为.然后转化为类型5来解，例1. 在数列中，且求通项公式解：由得 .设，则b. 即：,所以是首项为，公比为的等比数列.则=,即：,故评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.练习：1、已知数列中，求通项公式。答案：2、已知数列中，求通项公式。答案：7.形如(其中p,q为常数)型（1）当p+q=1时 用转化法例1.数列中，若,且满足,求.解：把变形为.则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则 利用类型6的方法可得 .（2）当时 用待定系数法.例2. 已知数列满足，且,且满足,求.解：令,即,与已知比较，则有,故或由来运算，即有,则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故,即 由来运算，即有,则数列是以为首项，2为公比的等比数列，故,即 由可得. 评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的