1.1 矢量代数与位置矢量.doc

1 矢量分析矢量分析是研究电磁场和其它物理场必不可少的数学工具，它包括矢量代数、正交坐标系以及场函数的微积分运算等内容。1.1 矢量代数与位置矢量1.1.1 矢量和标量标量：仅有大小的量，用英文字母或希腊字母表示，如f、g、j、y等。矢量：既有大小又有方向的量，用黑体英文字母或加上箭头的英文字母表示，如A或、a或等，印刷中采用A或a，在书写中采用或。A的模记作|A|或A。AxAyAzAyzx直角坐标中A及其各分矢量图矢量可用带箭头的有向线段形象地表示。矢量的起点、终点、大小，矢量的平移。在右手直角坐标系中，A起于坐标原点，它的三个坐标分量（即A在x、y、z轴上的投影）分别为Ax、Ay、AzA=exAx+eyAy+ezAz (1.1.1)式中：ex、ey、ez分别为沿坐标x、y、z方向的单位矢量。它的模A = ( A2x+ A2y + A2z )1/2 (1.1.2)1.1.2 矢量运算1. 矢量A和B相加定义为两矢量的和，用新矢量A+B表示。用的平行四边形法则或首尾相接法则进行 A和B相减定义为两矢量的差，用新矢量A - B表示。写为A - B =A +（- B），按B反向再与A相加。矢量的加（减）运算法则：交换律 A + B = B + A (1.1.3)结合律 A+B-C=A+(B-C)=(A+B)-C (1.1.4)( a ) ( b ) 两矢量相加ABA+BABA+B- BBAA-B 两矢量相减若已知A = exAx + eyAy + ezAzB = exBx + eyBy + ezBz则AB = (Ax Bx)ex + (AyBy) e y + (AzBz) ez （1.1.5）|AB| = (Ax Bx)2 + (AyBy) 2 + (AzBz) 2 1/2 （1.1.6）f与A相乘图A A( 0) A( 0和 0的两种情况画出A，有A =fAx ex + fAyey + fAzez （1.1.7）3. 两矢量A和B的标量积定义为标量，又称为点积。其量值为两矢量的模与两矢量间夹角q (0q 180)的余弦之积=ABcosq (1.1.8)特点：（1）两矢量的点积为一标量，其正、负取决于q 是锐角还是钝角；（2）点积遵从交换律，即；（3）A与B相互垂直，反之亦然-两矢量正交的充要条件；（4）A自身的点积。在直角坐标下A、B的点积运算：将两矢量的各分量逐项点乘。考虑单位矢量的点积关系可得= Ax Bx + AyBy + AzBz （1.1.9）矢量的点积遵循分配率 （1.1.10）4. A和B的矢量积表示为AB，又称为叉积，定义式AB= ABsinq en （1.1.11）式中，q为A与B间的夹角，en是 AB的单位矢量，它与A、B相垂直，en的方向由右手定则确定。AB的右手定则图BA ABq 角正方向enq 特点：（1） 两矢量的叉积是一个矢量；（2） 叉积不遵从交换率，应是AB = -(BA)；（3） A、B相平行（q = 0或180）时，AB=0，反之亦然-两矢量平行的充要条件；（4） A自身的叉积为零，即AA=0。在直角坐标下A、B的叉积运算，应将两矢量的各分矢量逐项叉乘。考虑到单位矢量的叉乘关系exex = eyey = ezez =0exey = ez （ey ex = - ez ）eyez = ex （ez ey = - ex ）ezex = ey （ex ez = - ey ）推导可得AB = ex ( AyBz-AzBy)+ ey (Az Bx- Ax Bz)+ ez (AxBy-Ay Bx)= （1.1.12）A与B + C的叉积遵循分配率A(B+C)=AB+AC （1.1.13）5. 三矢量的乘积（三重积）有两种：（1）标量三重积 （1.1.14）标量三重积可写成易于记忆的行列式形式= （1.1.15）（2）矢量三重积。有如下矢量恒等式 （1.1.16）位置矢量与相对位置矢量图or P (x,y,z)RrP (x,y,z)yzxR1.1.3 位置矢量1. 定义：空间中任一点的位置可以用一个起点在坐标原点、终点与该点重合的空间矢量表示。图中，P点的位置矢量为r，其模为P点与原点o之间的距离，其方向表示P点相对于o点所处的方位。按此定义空间中的点与位置矢量形成一一对应的关系，亦可将r所确定的点径称为r点。设P点的坐标为（x,y,z）r = x ex + y ey + z ez （1.1.17）其模r = (x2 + y2 + z2 )1/2 （1.1.18）对于另一点P(x,y,z)的位置矢量r，有r = x ex + y ey + z ez （1.1.19） r = (x2 + y2 + z2 )1/2 （1.1.20）2. 相对位置矢量可表示空间任意两点之间的位置关系。R是以P点为起点、P点为终点的空间矢量，它的模表示P点相对于P点的距离，它的方向表示P点相对于P点所处的方位，则称R为P点相对于P点的相对位置矢量。R及模R应分别为 R = r - r= (x - x) ex + (y - y ) ey +( z- z ) ez （1.1.21）R = |r - r|= (x - x)2 + (y - y )2 +( z- z )2 1/2 （1.1.22）位置矢量与相对位置矢量图or P (x,y,z)RrP (x,y,z)yzxR若考虑P点相对于P点的相对位置矢量R，则R的方向是由P点指向P点，有 R= - R任何真实的物理场，都有其产生的根源即所谓的场源，例如静止电荷是静电场的场源，恒定电流是恒定磁场的场源，等等。场源和它所产生的物理场总是与空间概念联系在一起的。以后我们将要研究的电磁场和它的源之间存在的关系，其中场源所在位置的点和需要确定场量（如电场强度矢量和磁场强度矢量）的点需要在名称和符号上加以明确的区分。场源所在位置的点简称源点，用加撇的源点坐标 (x, y, z) 或r表示；需要确定场量的点简称场点，用不带撇的场点坐标（x, y, z）或r表示。于是，R（或 r - r）就具有了场点相对于源点的相对位置矢量的特殊含义。至于空间普通两点的相对位置矢量，可通过加双下标予以区别，如将P2点相对于P1点的相对位置矢量记为R12，其方向是由P1点指向P2点。3. 相对坐标函数与相对位置矢量有关的一类函数，其变