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第1章 信号分析基础11信号的时频联合分析我们生活在一个信息社会里，而信息的载体就是我们本书要讨论的主题信号。在我们身边以及在我们身上，信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，伴随着我们生命始终的心电信号，脑电信号以及心音、脉搏、血压、呼吸等众多的生理信号。对一个给定的信号，如，我们可以用众多的方法来描述它，如的函数表达式，通过傅立叶变换所得到的的频谱，即，再如的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。显然，时间和频率与我们的日常生活关系最为密切，我们时时可以感受到它们的存在。时间自不必说，对频率，如夕阳西下时多变的彩霞，音乐会上那优美动听的旋律以及在一片寂静中突然冒出的一声刺耳的尖叫等，这些都包含了丰富的频率内容。正因为如此，时间和频率也成了描述信号行为的两个最重要的物理量。信号是变化着的，变化着的信号构成了我们周围五彩斑斓的世界。此处所说的“变化”，一是指信号的幅度随时间变化，二是指信号的频率内容随时间变化。幅度不变的信号是“直流”信号，而频率内容不变的信号是由单频率信号，或多频率信号所组成的信号，如正弦波、方波、三角波等。不论是“直流”信号还是正弦类信号都只携带着最简单的信息。给定了信号的函数表达式，或随变化的曲线，我们可以由此得出在任一时刻处该信号的幅值。如果想要了解该信号的频率成分，即“在Hz处频率分量的大小”，则可通过傅立叶变换来实现，即 （1.1.1a） （1.1.1b）式中，单位为弧度/秒，将表示成的形式，即可得到和随变化的曲线，我们分别称之为的幅频特性和相频特性。如果我们想知道在某一个特定时间，如，所对应的频率是多少，或对某一个特点的频率，如，所对应的时间是多少，那么傅立叶变化则无能为力。分析（1.1.1）式，对给定的某一个频率，如，那么，为求得该频率处的傅氏变换，（1.1.1a）式对的积分仍需要从到，即需要整个的“知识”。反之，如果我们要求出某一时刻，如处的值，由（1.1.1b）式，我们需要将对从至作积分，同样也需要整个的“知识”。实际上，由（1.1.1a）所得到的傅氏变换是信号在整个积分区间的时间范围内所具有的频率特征的平均表示。反之，（1.1.1b）式也是如此，因此，傅立叶变换不具有时间和频率的“定位”功能。前已述及，信号的幅度不但随时间变化，而且对现实物理世界中的大部分信号，其频率也随时间变化。实际上，在时域中愈是在较短时间内发生幅度突变的信号，其包含的信息就愈多。但由傅立叶变换看不出在什么时刻发生了此种类型的突变。现举两个例子说明这一概念。 例111 设信号x(n)由三个不同频率的正弦所组成，即 （1.1.2）式中。为圆周频率，是信号的实际频率，为抽样频率，所以的单位为弧度，和的关系是19: （1.1.3）的波形如图1.1.1(a)所示，的傅立叶变换的幅频特性，如图1.1.1(b)所示。显然，只给出了在及处有三个频率分量，给出了这三个频率分量的大小，但由此图看不出在何时有频率，何时又有及，即傅立叶变换无时间定位功能。图1.1.1(c)是用我们后面所讨论的方法求出的的联合时频分布。该图是三维图形的二维投影，在该图中，一个轴是时间，一个轴是频率。由该图可清楚地看出的时间频率关系。若将1.1.1(c)画成三维图，则如图1.1.1(d)所示。 例1.1.2令 （1.1.4）该信号称作线性频率调制信号，其频率与时间序号成正比，在雷达领域中，该信号又称作chirp信号，图1.1.2(a)是其时域波形，图1.1.2(b)是其频谱。显然，无论从时域波形还是从频域波形，我们都很难看出该信号的调制类型及其他特点。和图1.1.1(c)一样，图1.1.2(c)也是的时频分布表示，由该图可明显看出，该信号的频率与时间成图1.1.1信号的时频表示 （a）信号x(n), (b) x(n)的频谱，(c) x(n)时频分布的二维表示，(d) x(n)时频分布的三维表示，正比，且信号的能量主要集中在时间频率平面的这一斜线上。图1.1.2(d)是图1.1.2(c)的立体表示。图1.1.2 chirp信号的时频表示. （a）信号x(n), (b) x(n)的频谱，(c) x(n)时频分布的二维表示，(d) x(n)时频分布的三维表示，频率随时间变化的信号（如例1.1.2中的）称为时变信号。文献13称这一类信号为“非平稳”信号，而把频率不随时间变化的信号称为“平稳”信号。此处的“平稳”和“不平稳”和随机信号中的“平稳随机信号”及“非平稳随机信号”的意义不同。平稳随机信号是指该类信号的一阶及二阶统计特征（均值与方差）不随时间变化，其自相关函数和观察的起点无关，而非平稳信号的均值、方差及自相关函数均与时间有关，即是时变的。尽管这两类说法的出发点不同，但非平稳信号的频率实质上也是时变的，因此，把频率随时间变化的信号统称为“非平稳信号”并无大碍。但要说一个信号是“平稳信号”，则要具体说明所指的是频率不随时间变化的信号还是平稳随机信号。由上述两例可以看出，傅立叶变换反映不出信号频率随时间变化的行为，因此，它只适合于平稳信号，而对频率随时间变化的非平稳信号，它只能给出一个总的平均效果。现在，我们再从“分辨率”的角度来讨论傅立叶变换的不足。“分辨率”包含了信号的时域和频域两个方面，它是指对信号所能作出辨别的时域或频域的最小间隔（又称最小分辨细胞）。分辨能力的好坏一是取决于信号的特点，二是取决于所用的算法。对在时域具有瞬变的信号，我们希望时域的分辨率要好（即时域的观察间隔尽量短），以保证能观察到该瞬变信号发生的时刻及瞬变的形态。对在频域具有两个（或多个）靠得很近的谱峰的信号，我们希望频域的分辨率要好（即频域的观察间隔尽量短，短到小于两个谱峰的距离），以保证能观察这两个或多个谱峰。有关分辨率的讨论见文献19的第三章。（1.1.1a）式的傅立叶变换可以写成如下的内积形式： （1.1.5）式中表示信号和的内积。若，都是连续的，则 （1.1.6a）若，均是离散的，则 （1.1.6b）内积的概念将贯穿在本书的始终。（1.1.5）式说明信号的傅立叶变换等效于和基函数作内积，由于对不同的构成一族正交基，即 （1.1.7）由1.5节的讨论可知，等于在这一族基函数上的正交投影，即精确地反映了在该频率处的成分大小。基函数在频域是位于处的函数，因此，当用傅立叶变换来分析信号的频域行为时，它具有最好的频率分辨率。但是， 在时域对应的是正弦函数（），因此其在时域的持续时间是从，因此，在时域有着最坏的分辨率。我们在“数字信号处理”的课程中已熟知，一个宽度为无穷的矩形窗（即直流信号）的傅立叶变换为一函数，反之亦然。当矩形窗为有限宽时，其傅立叶变换为一Sinc函数，即 （1.1.8）式中是窗函数的高度，是其单边宽度。和其频谱如图1.1.3(a)和(b)所示。X()02AT-TT0Atx(t)图1.1.3 矩形窗及其频谱 (a) 时域矩形窗， （b）矩形窗的频谱显然，矩形窗的宽度和其频谱主瓣的宽度（）成反比。由于矩形窗在信号处理中起到了对信号截短的作用，因此，若信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那么由于的主瓣变宽因此在频域的分辨率必然会下降。所有这些都体现了傅立叶变换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。如果我们用基函数 （1.1.8）来代替傅立叶变换中的基函数，则 (1.1.9)该式称为的短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, STFT）。式中是一窗函数。（1.1.9）式的意义实际上是用沿着轴滑动，因此可以不断地截取一段一段的信号，然后对其作傅立叶变换，故得到的是的二维函数。的作用是保持在时域为有限长（一般称作“有限支撑”），其宽度越小，则时域分辨率越好。在频域，由于为一函数，因此仍可保持较好的频域分辨率。比较（1.1.9）式和（1.1.5）式可以看出，使用不同的基函数可得到不同的分辨率效果。有关短时傅立叶变换的内容我们将在第二章详细讨论。总之，对给定的信号，人们希望能找到一个二维函数，它应是我们最关心的两个物理量和的联合分布函数，它可反映的能量随时间和频率变化的形态，同时，又希望既具有好的时间分辨率，同时又具有好的频率分辨率。法国工程师傅立叶于1807年提出了傅立叶级数的概念，即任一周期信号可分解为复正弦信号的迭加。1822年，傅立叶又提出了非周期信号分解的概念13，这就是傅立叶变换。经过100多年的发展，傅立叶变换不但已经形成了一个重要的数学分支，同时也在信号分析与信号处理中起到了重要的作用。正是由于傅立叶变换，原本对人们比较抽象的“频率”概念才变得具体化。在傅立叶变换理论发展的过程中，人们逐渐发现了我们在上面所说的它的一些严重不足。如，Gabor在1946年提出应用时间和频率这两个坐标同时来表示一个信号，即Gabor展开64： （1.1.10）式中是窗函数，是展开系数，代表时域序号，代表频域序号。早在1932年，Wigner在量子力学的研究中提出了Wigner分布的概念120，到了1948年，Ville将这一概念引入信号处理领域，于是得到了著名的Wigner-Ville时频分布，即 （1.1.11）由于在积分中出现了两次，所以又称该式为双线性时频分布，其结果是的二维函数，它有着一系列好的性质，因此是应用甚为广泛的一种信号时频分析方法。1966年，Cohen提出了如下的时频分布形式44，即 （1.1.12）式中是处在平面的权函数，可以证明，若1，则Cohen分布即变成Wigner-Ville分布，给定不同的权函数，我们可得到不同的时频分布。在80年代前后提出的时频分布有十多种，后来人们把这些分布统统称为Cohen类时频分布，简称Cohen类，我们将在第三和第四章中详细讨论这些分布的理论与实现。在80年代后期及90年代初期所发展起来的小波变换理论已形成了信号分析和信号处理的又一强大的工具。其实，小波分析可看作信号时频分析的又一种形式。对给定的信号，我们希望找到一个基本函数，并记的伸缩与位移 （1.1.13）为一族函数，和这一族函数的内积即定义为的小波变换： （1.1.14）式中，是尺度定标常数，是位移，又称为基本小波或母小波。由傅立叶变换的性质可知，若的傅立叶变换是，则的傅立叶变换是。若，表示将在时间轴上展宽，若，表示将在时间轴上压缩。对的改变，即与对的改变情况正好相反。我们若把看成一窗函数，的宽度将随着的不同而不同，这也同时影响到频域，即，由此我们可得到不同的时域分辨率和频域分辨率。由后面的讨论可知，小，对应分析信号的高频部分，大，对应分析信号的低频部分。参数是沿着时间轴的位移，所得结果是信号的“尺度位移”联合分析，它也是时频分布的一种，小波的理论内容非常丰富，我们将在第三篇的各章中详细讨论。1.2 信号的多分辨率分析信号的多分辨率分析（Multiresolution Analysis），又称信号的多分辨率分解（Multiresolution Decomposition）。现在，我们用两个例子说明其含义。例1.2.1，对图1.2.1(a)的信号，我们欲将其传输，若用数字方法，其传输过程包括对的数字化、量化、编码及调制等步骤。若对该信号用抽样频率进行抽样，每一个抽样数据为16bit，那么其1秒数据所需要的bit数是，现对的抽样信号作傅立叶变换，其频谱如图1.2.1(b)所示，我们发现，的频谱能量集中在归一化频率0.08及0.15处，而从0.250.5处的能量很小。这种情况自然启发我们，对的所有抽样数据都用16bit表达是否太浪费？能否保证在传输过去的信号不失真的情况下，尽量减少所用的bit数？图1.2.1 的时域波形及频谱，（a）时域波形, (b) 频谱由于的频谱在00.5之间的分布不均匀，我们设想可分别用低通和高通滤波器对作滤波处理。设低通滤波器的频带在00.25（即）之间，高通滤波器的频带在0.250.5（即）之间，并设的输出为，的输出为，这一滤波过程分别如图1.2.2(a)和(b)所示，如图(c)和(d)所示，其频谱分别如图(e)和(f)所示，显然，中几乎不包含有用的信息，而应是由两个正弦信号加白噪声所组成。实际上，本例的是由两个归一化频率分别为0.08及0.15的正弦信号加一定强度的白噪声所组成的。由于的带宽在之间，的带宽在之间，它们均比原信号的带宽（）减小了一半。由此我们可以想到，对和的抽样频率没有必要再用，现仅用就够了（即满足抽样定理）。因此，图1.2.1(a)的和后面均跟随了一个二抽取环节，它表示将、的数据每两点仅保存一个，因此实现了抽样频率降低一半，即、的抽样频率都是。由于的能量主要集中在，也即中，因此，我们对它的每一个抽样点仍用16bit表示之，这样，对，1秒钟数据所需的bit数是，由于，也即中几乎不包含有用的信息，所以我们可以用少的bit数来表示之，如用4bit，那么，1秒的数据所需的bit数是。这样，表示、所需的bit数是。而原来表示时是，可见经此简单处理后bit数下降了近40%。分析图1.2.2(a)可知，、及的抽样频率都是，、也是在的抽样频率下实现滤波。但、的抽样频率是，在这之后对它们的处理环节均是工作在的抽样频率下，因此，该系统是一个多抽样率系统（Multirate System）。读者可以想象得到，若用更多的滤波器，如，来对作等频带间隔的分解，对得到的，作M倍抽取，使所得的，的抽样频率降为1/M，然后再依据它们的“重要性”给一不同的bit数，那么所传输的bit流必然会进一步下降。上述分解是将的频谱等分成两部分，或等分成M部分。另一种将频谱分解的方法是按二进制（diadic）分解。 例1.2.2 设信号其中=1Hz , =20Hz，=40Hz ,=200Hz ,这样保证了对每一个正弦分量都可采到整周期。设数据长度取400点，现希望能将的抽样中的三个正弦信号分离出来。由所给参数，。我们可按例1.2.1的方法H0(z)2H1(z)2图1.2.2 对分解对过程，（a）用、分别对滤波, (b)、 的频带示意图,(c) ，(d) ，（e），(f) 利用M个滤波器将均分，M的选择应能把、及三个频率分量分开。由于这三个频率间距相当不等，现在我们用二等分的方法将其频带逐级分开，如图1.2.3所示。图1.2.3 频带的二进制逐级分解每一级的分解用序号来表示。在级，被分解成低通信号和高通信号，在级，又被分解成低频的和高频的，这样可以依次分解。显然，的第三个分量（对应）应包含在中，第二个分量（）应包含在中，第一个分量（）应包含在中，在级，中仍是第一个分量，中应不包含信号，这些信号如图1.2.4(a)(e)所示。实现图1.2.3和1.2.4分解的系统流程图如1.2.5所示。图中为低通滤波器，为高通滤波器。分析图1.2.4可以看出，由于的频带在050Hz，它包含了的所有三个正弦，因此，它应和图1.2.4(a)的基本一样。理论上，应为零信号，但由于实现上述分解的滤波器、不会是理想的锐截止滤波器，因此，的阻带内将会和的第三个分量相重合，故使中有小幅度的高频（基本上等于）正弦。对，由于其频带在025Hz之间，故它应包含的第一个和第二个分量，因此它是这两个正弦图1.2.4信号的二进制分解a1(n)H1(z)2H0(z)2H1(z)2H0(z)2H0(z)2H1(z)2x(n)d1(n)d3(n)a3(n)d2(n)a2(n)图1.2.5信号二进制分解的实现的迭加，而的频带在2550Hz之间，因此它是的第三个分量所在。注意：的幅度比大得多。进一步，仅包含第一个分量，仅包含第二个分量，如图1.2.4(c)所示。这就实现了三个分量的分解。若将进一步分解，那么中仍是，而中基本上为零。在上述分解过程中，每一级分解后的信号的频带都比前一级减小一倍，故在图1.2.5中在每一级都跟随着一个二抽取环节。由于是高通滤波器，其输出是每一级的高频信号，我们称之为该级信号的“细节（detail）”，而是每一级的低频信号，我们称之为信号的“概貌”或“近似（approximation）”。通过以上两个例子，我们可大致看到信号按频带分解的过程。也许有的读者会问：我们为什么要对信号作这样的分解？其一是由于信号的自然特征所决定的。一个实际的物理信号决不可能在的范围内有着均匀的谱。既然信号的能量在不同的频带有着不同的分布，我们自然需要对它们分别对待。如前所说，对能量大的频段所对应的信号给以较多的bit，对能量少的频段所对应的信号给以较少的bit，这实际上是对信号分层量化的概念。此外，对不同频段所对应的信号还可给以不同的加权，或给以不同的去噪处理，等等。其二是实际工作的需要。随着半导体技术特别是数字信号处理器（Digital Signal Processor，DSP）的飞速发展，这就为一维信号和二维图象的实时处理提供了可能。高速器件的发展推动了新的信号处理理论的发展。这些发展给我们的现实生活带来了许多革命性的变化，如语音信箱、自动翻译机、可视电话、会议电视、远程医疗、高清晰度电视、数字相机、移动电话、便携式个人生理参数监护仪（如心电Holter，脑电Holter等）等等。所有这些应用领域都要涉及到信号的滤波、变换、特征提取、编码、量化、压缩等众多环节中的一个或几个。而这些环节都离不开信号的分解。例如，在过去的十多年中，在图象的压缩方面，国际上已制定了JPEG、MPEG及H.263等标准85,117。在例1.2.1及1.2.2对信号的分解过程中，我们可以看到一次次的分解将原信号分成了一个个具有不同频带的“子带（subband）”信号。直观的说，若对这些子带信号各自做DFT，且做DFT的长度都一样，那么每一个子带信号的频率分辨率是不一样的。例如，在图1.2.3及1.2.4中，对信号的频率分辨率是，对，的频率分辨率是，提高了一倍，对、是，对、是，这一分析过程是一个由“粗”及“精”的过程。因此，我们把这一类将原信号按频带分解成一个个子带信号的方法称作“多分辨率分析（或分解）”。信号的多分辨率分析和信号的多抽样率分析是紧密相连的。信号的多抽样率分析是指对给定抽样频率的信号做抽样率转换（），以及研究工作在不同抽样频率下系统的分析与设计问题。在过去的二十年中，多抽样率信号处理已发展成为数字信号处理学科的一个重要分支，国内外已有这方面的著作出版4,6,10,15,23。多抽样率信号处理中的核心内容是滤波器组，包括了滤波器组的分析与设计，通过滤波器组进行信号的准确重建等重要内容。图1.2.2(a)实际上是一个两通道滤波器组的分解部分，将分解后的信号、经编码量化以后传输到目的地后，除了相应的解码以外，更应包含信号的重建部分。一个完整的两通道滤波器组如图6.1.1所示，一个M通道的滤波器组如图7.1.1所示。这两个滤波器组的分解部分是将的频带均匀地等分成M等份，故称它们为均匀滤波器组。图1.2.5是两通道滤波器组分解部分的级联，它们构成的是一个树状滤波器组的分解部分，其频带是按二的整数幂不断分解的。有关多抽样率信号处理及滤波器组构成了本书第二篇的主要内容。上一节已经讲到，小波变换是对给定的信号作“尺度位移”分析，是时频分析的另一种形式。实际上，小波的“尺度位移”分析是按照例1.2.2的多分辨率分解来实现的，也即小波变换最后归结为树状滤波器组的问题，由此，读者不难看出本书第一、第二及第三篇所讨论的内容有着密切的内在联系。在此顺便指出，例1.2.2即是信号小波变换的一个实例，图1.2.5中的滤波器、是对应某一种具体小波的滤波器。此外，Mallat对信号的多分辨率分析给出了具体的定义8，我们将在第三篇中详细讨论。1. 3信号的时宽与带宽在信号分析与信号处理中，信号的“时间中心”及“时间宽度（time-duration）”，频率的“频率中心”及“频带宽度（frequence-bandwidth）是非常重要的概念。它们分别说明了信号在时域和频域的中心位置及在两个域内的扩展情况。在文献中，这些概念有着不同的定义，因此，由不同的定义又可以引导出不同的解释。此处，我们采用目前绝大多数文献中所共同使用的“标准差”的定义。对给定的信号，假定它是能量信号，即其能量 （1.3.1）式中|.|表示求范数，是的傅立叶变换。这样，归一化函数及可看作是信号在时域和频域的密度函数。有了这两个密度函数，我们即可用概率中的矩的概念来进一步描述信号的特征。例如，利用一阶矩可得到的“时间均值”与“频率均值”： （1.3.2a） （1.3.2b），又称的“时间中心”与“频率中心”。由（1.3.2b）式，为求频率中心，需要先求出的傅立叶变换，文献13给出了不通过傅立叶变换而直接求出的方法：如果是复信号，我们总可把写作的形式，式中和分别是的幅度与相位，它们均是的实函数。如果是实信号，我们可以得到的解析信号（analytic signal）19，即 （1.3.3）式中是的Hilbert变换，即 （1.3.4）可以证明，的傅立叶变换在负频率处全为零，在处等于，而在正频率处是的两倍，即 （1.3.5）这样，保留了频域的基本特征，而频带减小了一倍。因此，求信号的解析信号是处理信号，特别是窄带信号的一种常用方法。这样，我们可将也表示成的形式。令 ，则 （1.3.6）由（1.3.2b）式，有由Parsevals定理，上式又可写成 因为始终为实数，所以上式的虚部应为零，即 （1.3.7）式中称为信号的瞬时频率（Instantaneous Frequence,IF）或称“平均瞬时频率”，有关IF的概念我们将在1.5节讨论。这样，（1.3.7）式可解释为：信号的均值频率（或中心频率），是其瞬时频率在整个时间轴上的加权平均，而权函数即是。信号的时间宽度和频率带宽反映的是、围绕和的扩展程度，由概率论的知识，它们自然应被定义为密度函数的二阶中心矩，即： （1.3.8a） （1.3.8b）显然，这是方差的标准定义。通常，我们定义，分别是信号的时宽和带宽。定义为信号的时宽带宽积。再令，类似（1.3.7）式的推导，我们可以导出钱： （1.3.9）由该式可以看出，信号的带宽（）完全由幅度、幅度的导数及相位的导数所决定。如果希望信号的带宽很小，即为一窄带信号，那么，信号的幅度和相位都应是慢变的。极端的情况，如果一个信号的幅度和相位均为常数，如复正弦，那么该信号的带宽为零。令， （1.3.10）我们称T和B分别为信号的时宽和带宽，TB称为时宽带宽积。当我们实际去求一个信号的，及时，有两个问题要考虑。一是要把这几个定义中的积分改为求和，二是式中的频率变量要改成归一化频率，即频率轴应是0.50.5。为此，（1.3.2）及（1.3.8）式中的定标要作些改变。文献7给出了实际用于计算的的一组定义，并在MATLAB的“Time-Frequency Toolbox“中给出了相应的m文件，这几组定义是： （1.3.10a） （1.3.10b） （1.3.11a） （1.3.11b），注意，这组式子中的是归一化频率。例1.3.1令 （1.3.12）显然，是一实的高斯信号，可以求出该信号的能量，因此我们称之为归一化高斯信号。由高斯信号的性质，我们不用计算可知其时间均值，又由于该信号是实信号，有，由（1.3.7）式，有。由（1.3.9）式，我们可以求出 （1.3.13a）再由（1.3.8a）式及上式，有 （1.3.13b）显然， 及 （1.3.14）若令，及其频谱如图1.3.1(a)和(b)所示，若用（1.3.10）及（1.3.11）式的定义，并利用MATLAB中的Loctime.m及Locfreq.m文件可求出，可见本节给出的两组定义所得的TB差一常数2。图1.3.1高斯信号及其频谱,时域信号，频谱例1.3.2 记例1.3.1中的高斯信号为，令 （1.3.15）则为一高斯幅度调制信号，调制频率为。 由于。故，由（1.3.7）式有： （1.3.16）及 （1.3.17）同理可求得，由此可以看出，该例和例1.3.1不同的是频率中心变成了，但由于该例是纯正弦调制，故信号的带宽、时宽及时宽带宽积没有改变。仍令，归一化频率等于0.25，则本例的及频谱如图1.3.2(a)和(b)所示。所求出的，。例133 图1.3.3(a)是一个高斯信号与一chirp信号的乘积，称之为“高斯幅度调制chirp信号”，图1.3.3(b)是其频谱，我们可以求出:，（归一化频率），该信号的时宽带宽积大于1。 图1.3.2高斯幅度调制信号及其频谱,时域信号，频谱图1.3.3高斯幅度调制chirp信号及其频谱,时域信号，频谱例1.3.4，给定信号，设其能量为，时间中心，频率中心分别是和，时宽和带宽分别是和，令 （1.3.18）其中为常数，现研究的能量。时、频中心及时宽与带宽。1. （1.3.19）2. （1.3.20a）3 由于，所以，这样， （1.3.20b）4 ， （1.3.20c）5同理可求出 ， （1.3.20d）由此可以看出，当信号的时间尺度发生变化，即由变成时，若则其能量增大倍，时间中心和时间宽度分别扩大倍，但频率中心则移到处，带宽也减小倍。若，则上述变化正好相反。但是，不论还是，其带宽和频率中心之比始终为一常数，即 （1.3.21）式中Q为信号的“品质因数”，可见，时间尺度变化前后所得的信号具有恒Q性质，这正是小波理论的基础。图1.3.4(a)是一三角波幅度调制信号，其长度为031，求出其，；图（b）是其傅立叶变换，求出 ；图1.3.4(c)是的波形，(d)是其傅立叶变换，求出，和近似相等。14不定原理下面的定理给出了信号时宽带宽之间的制约关系，也即不定原理（Uncertainty Principle）。定理1.1给定信号，若，则 （1.4.1）图1.3.4及,（a）,（b）的傅立叶变换 （c），（d）的傅立叶变换当且仅当为高斯信号，即时等号成立，式中由（1.3.8）式定义。证明13,8：不失一般性，假定，则 （1.4.2a） （1.4.2b）于是 由于是的傅立叶变换，再由Parsevals定理，上式可写成由Schwarz不等式，有 （1.4.3）由于 及假定，故上式应等于，代入（1.4.3）式，有，即如果要求（1.4.1）式的等号成立，则（1.4.3）式的等号也要成立，这时，只有才有可能，这样的只能是具有的形式，也即高斯信号。于是定理得证。不定原理是信号处理中的一个重要的基本定理，又称Heisenberg测不准原理，或Heisenberg-Gabor不定原理。该定理指出，对给定的信号，其时宽与带宽的乘积为一常数。当信号的时宽减小时，其带宽将相应增大，当时宽减到无穷小时，带宽将变成无穷大，如时域的函数；反之亦然，如时域的正弦信号。这就是说，信号的时宽与带宽不可能同时趋于无限小，这一基本关系即是我们在前面几节中所讨论过的时间分辨率和频率分辨率的制约关系。在这一基本关系的制约下，人们在竭力探索既能得到好的时间分辨率（或窄的时宽）又能得到好的频率分辨率（或窄的带宽）的信号分析方法。顺便指出，若信号的持续时间是有限的，我们称其为是“紧支撑”的，其时间的持续区间（如），称为“支撑范围”，对频率信号，我们也使用类似的称呼。15信号的瞬时频率“时间”和“频率”是信号分析与处理中的两个最常用的物理量。信号，一般都是时间t的函数，其概念极易接受。而频率的概念却稍微有点抽象。对周期信号，其频率定义为周期T的倒数，即，它表示该信号在单位时间内重复变化的次数。对非周期信号，我们可以简单地把它分解为无穷多周期信号的迭加，这些子信号的周期是连续变化的，其倒数自然就是连续变化的频率。在这两种情况下，“频率”一词都是和傅立叶变换紧密相连的。实际上，傅立叶变换 （1.5.1）可理解为在基函数上的投影（下一节详细讨论），由于可以从，所以（1.5.1）式是将投影到一个无穷维空间的基函数上。由此，由（1.5.1）式得出的频率称为“傅立叶频率”，它是在整个时间轴上积分所得到的频率。在现实世界及工程实际中，还存在着另外一种频率，称为“瞬时频率”。1. 3节已经指出，如果是复信号，我们总可把它写成的形式，若是实信号，我们可通过Hilbert变换得到与相对应的解析信号（见（1.3.3）及（1.3.4）式），这样，也可写作的形式，瞬时频率定义为对t的导数，即，或 （1.5.2）显然，瞬时频率是相对解析信号而言的，它是解析信号相位的导数。傅立叶频率和瞬时频率有如下几方面的区别：1 傅立叶频率是一个独立的量，而瞬时频率是时间的函数；2 傅立叶频率和傅立叶变换相联系，而瞬时频率和Hilbert变换相联系；3 傅立叶频率是一个“全局性”的量，它是信号在整个时间区间内的体现，而瞬时频率是信号在特定时间上的“局部”体现，理论上讲，它应是信号在该时刻所具有的频率。4 由（1.3.7）式可以看出，信号的均值频率是其瞬时频率在整个时间轴上的加权平均，而权函数即是，只有当信号为纯正弦时，其均值频率才等于其瞬时频率，而正弦信号的瞬时频率始终为一常数。在例1.1.2中，我们给出了chirp信号的时域、频域波形及其能量随时间频率的分布图（见图1.1.2）。由于该信号的，故，因此其瞬时频率是时间的线性函数。该信号的能量主要集中在时频平面的这条曲线上。如果信号在任意的时刻都只会有一个频率分量（即在一固定的， 是单值的），我们称该信号为“单分量（mono-component）”信号，如例1.1.2的信号。但在现实中，信号在同一时刻往往包含了多个频率分量，如我们的语音及变幻着的色彩等。我们称这样的信号为“多分量（multi-components）”信号。在某一个时刻，多分量的瞬时频率应是多值的，但用求出的瞬时频率只能是单值的。这样，（1.5.2）式对瞬时频率的定义是否适用于多分量信号就值得怀疑。例1.5.1 设由两个chirp信号相加而成，它们有着相同的幅度，第一个chirp信号的频率在00.3之间线性变化，第二个在0.20.5之间线性变化。图1.5.1(a)是该信号的时域波形，(c)是其实际的瞬时频率。显然，在任一时刻，该信号都包含两个频率分量。图(b)是按（1.5.2）式的定义计算出的瞬时频率，它在任一时刻都是单值的，其形状不能反映该信号频率变化的实际内容。实际上，（1.5.2）式对瞬时频率的定义只是对单分量信号适应，而对多分量信号，该定义给出的结果是在该时刻其瞬时频率的平均值，更确切地说，应是信号的“平均瞬时频率”13。图1.5.1多分量信号，(a)时域波形，(b)按（1.5.2）式定义求出的瞬时频率，(c)信号实际的瞬时频率实际上，（1.5.2）式对瞬时频率的定义只是对单分量信号适应，而对多分量信号，该定义给出的结果是在该时刻其瞬时频率的平均值，更确切地说，应是信号的“平均瞬时频率”13。应是瞬时频率的一维表示，它难于给出多分量信号实际频率随时间变化的特征。我们在第一篇所讨论的多种分布，都能在一定程度上给出瞬时频率的较好表示。这种分布都是2D表示，即信号能量随时间和频率的联合分布。图1.5.2给出了用短时傅立叶变换求出的例1.5.1的信号的能量分布，我们可清楚地看到其瞬时频率地形态。和瞬时频率相对偶的另一个概念是“群延迟（Group Delay，GD）”。设信号的傅立叶变换为，我们将写成的形式，定义图1.5.2用短时傅立叶变换求出的例1.5.1信号的能量分布，或 （1.5.3）为的群延迟。另外，定义 ，或 （1.5.4）为的相位延迟。群延迟是频率的函数，它反映了在频谱中频率为的分量所具有的延迟，其单位为时间。现从系统的角度来解释群延迟的含意。设是一低通滤波器，通带为B，设输入信号是一幅度调制信号，即，且是一慢变信号，那么该系统的输出 即群延迟反映了x(t)包络的延迟，而相位延迟反映了x(t)载波的延迟。1.6信号号的分解将一个实际的物理信号分解为有限或无限小的信号“细胞”是信号分析和处理中常用的方法。这样做，一方面可有助于我们了解信号的性质，了解它含有那些有用的信息以及学会如何提取这些信息，另一方面，对信号的分解过程也是对信号“改造”和“加工”的过程，它有助于去除噪声及信号中的冗余(如相关性)，这对于信号的压缩，编码是十分有用的。信号分解的方法有无穷多。例如，对一离散信号,我们可把它分解成一组kronecker 函数的组合，即 (1.6.1)式中 (1.6.2)但这种分解无实用意义，因为的权重即是信号自己。另一种分解的方法是把N点数据看成是N维空间的一个向量，我们选择该空间的单位基向量作为分解的“基”，即 (1.6.3)按照这种分解方法，各正交向量的权仍是信号自己的各个分量，应无太大意义，但这一分解已体现了“正交”分解的概念。一般，我们可把信号看成N维空间中的的一个元素，可以是连续信号，也可以是离散信号。N可以是有限值也可以是无穷。设是由一组向量所张成，即 （1.6.4）这一组向量可能是线性相关的，也可能是线性独立的。如果它们线性独立，我们则称它们为空间中的一组“基”。各自可能是离散的，也可能是连续的，这视而定。这样，我们可将按这样一组向量作分解，即 （1.6.5）式中是分解系数，它们是一组离散值。因此，（1.6.5）式又称为信号的离散表示（discrete representation）。如果是一组两两互相正交的向量，则（1.6.5）式称为的正交展开，或正交分解。分解系数是在各个基向量上的投影。若N=3，其含意如图1.6.1所示 图1.6.1信号的正交分解为求分解系数，我们设想在空间中另有一组向量：，这一组向量和满足如下关系： （1.6.7）这样，用和（1.6.5）式两边做内积，我们有 （1.6.8）即 （1.6.9a）或 （1.6.9b）上式对应连续时间信号，下式对应离散时间信号。（1.6.9）式称为信号的变换，“变换”的结果即是求出一组系数；（1.6.5）式称为信号的“综合”，或反变换。称为的“对偶基”，或”倒数（reciprocal）基”。（1.6.7）式的关系称为“双正交（biorthogonality）”关系，或双正交条件。在此须特别指出的是，双正交关系指的是两组基之间各对应向量之间具有正交性。但每一组向量之间并不一定具有正交关系，如图1.6.2所示，在二维空