概率习题课二.pdf

概率论概率论 概率统计 习题课 概率统计 习题课 二二 概率论概率论 一 填空题 一 填空题 1 1 k k p由解 由解 1 2 1 5 1 k k A即即 5 1 A得得 1 设离散型随机变量 设离散型随机变量X分布律为分布律为 2 1 2 1 5 kAkXP k 则则 A 5 1 概率论概率论 一 填空题 一 填空题 2 已知随机变量 已知随机变量X的密度为的密度为 xf 其它 XP 则 则 a b 1 dxxf由解 由解 1 2 1 0 b a dxbax得得 8 5 28 3 5 0 1 5 0 ba dxbaxXP又又 2 1 1 ba解得 解得 1 2 1 概率论概率论 3 设 设 2 2 NX 且且3 0 42 XP 则则 0 XP 5 0 2 XP解 由对称性得解 由对称性得 3 0 20 XP 0 XP所以所以 20 2 XPXP 2 0 2 0 一 填空题 一 填空题 概率论概率论 二 二 选择题 选择题 1 设 设 2 NX 那么当那么当 增大时 增大时 XP A 增大 增大 B 减少 减少 C 不变 不变 D 增减不定 增减不定 XP解 由解 由 1 0 0 0 1 5 0 x xe x D dttfxF x 其中 其中1 dttf 的性质由解 的性质由解 xF 1 0 xF不减不减 xF 0 F1 F 右连续右连续 xF 正确得以及正确得以及Bxf0 B 概率论概率论三 三 解答题解答题 1 从一批有 从一批有10个合格品与个合格品与 3个次品的产品中一件 一件地抽取产品 各种产品被抽到的可能性相 同 求在二种情况下 直到取出合格品为止 所 需抽取次数的分布率 个次品的产品中一件 一件地抽取产品 各种产品被抽到的可能性相 同 求在二种情况下 直到取出合格品为止 所 需抽取次数的分布率 1 放回 放回 2 不放回 不放回 放回 解 放回 解 1 X设抽取次数为随机变量设抽取次数为随机变量 的所有可能取值为则的所有可能取值为则X 2 1 X 2 1 13 10 13 3 1 kkXP k 分布律为 分布律为 概率论概率论三 三 解答题解答题 1 从一批有 从一批有10个合格品与个合格品与 3个次品的产品中一件 一件地抽取产品 各种产品被抽到的可能性相 同 求在二种情况下 直到取出合格品为止 所 需抽取次数的分布率 个次品的产品中一件 一件地抽取产品 各种产品被抽到的可能性相 同 求在二种情况下 直到取出合格品为止 所 需抽取次数的分布率 1 放回 放回 2 不放回 不放回 不放回 解 不放回 解 2 X设抽取次数为随机变量设抽取次数为随机变量 的所有可能取值为则的所有可能取值为则X4 3 2 1 X 13 10 1 XP分布律为 分布律为 12 10 13 3 2 XP 11 10 12 2 13 3 3 XP 10 10 11 1 12 2 13 3 4 XP 概率论概率论 2 设随机变量 设随机变量X的密度函数为的密度函数为 x Aexf x 求 求 1 系数 系数A 2 10 XP 3 分布函数分布函数 xF 三 三 解答题解答题 dxxf 1 由解 由解 dxAe x 0 2dxAe x 12 A 2 1 A得 得 1 0 2 1 10 2 dxeXP x e 1 1 2 1 概率论概率论 2 设随机变量 设随机变量X的密度函数为的密度函数为 x Aexf x 求 求 1 系数系数A 2 10 XP 3 分布函数分布函数 xF 三 三 解答题解答题 3 xXPxF 解 解 x tt x t xdtedte xdte 0 0 0 2 1 2 1 0 2 1 0 2 1 1 0 2 1 xe xe x x 概率论概率论三 三 解答题解答题 其它 的密度函数为直径解 其它 的密度函数为直径解 0 1 3 bxa abxfX 3 对球的直径作测量 设其值均匀地分布 在 对球的直径作测量 设其值均匀地分布 在 ba 内 求体积的密度函数 内 求体积的密度函数 3 6 XY 体积体积 yYPyF Y yXP 3 6 3 6 y XP dxxf y 3 6 概率论概率论 3 33 3 6 1 66 1 6 0 3 6 by byadx ab ay yF y a Y yFyf YY 其它其它 0 66 1 33 3 6 bya ab y 其它 其它 0 66 62 33 3 2 bya y ab 概率论概率论 4 设在独立重复实验中 每次实验成功概率 设在独立重复实验中 每次实验成功概率 为为5 0 问需要进行多少次实验 才能使 问需要进行多少次实验 才能使 至少成功一次的概率不小于至少成功一次的概率不小于9 0 三 三 解答题解答题 次 设需要解 次 设需要解 N 4 5 0 NbX由由 至少成功一次概率 至少成功一次概率 1 XP 11 01 0 hXP由题意得由题意得 01 01 hXP即即 01 0 7 168 1 h 326 2 7 168 h 3 184 h 概率论概率论 四 证明题四 证明题 设随即变量设随即变量X的参数为的参数为2的指数分布 证明 的指数分布 证明 X eY 2 1 在区间在区间 1 0上服从均匀分布 上服从均匀分布 的概率密度为证明 的概率密度为证明 X 其它其它 0 0 2 2 xe xf x yYPyF Y yeP X 2 1 1 1 10 2 1ln 0 0 y y y XP y 概率论概率论 1 1 10 2 0 0 2 1ln 2 y ydxe y yF y x Y yFyf YY 其它其它 0 10 2 2 1ln 2 1ln 2 ye y y 其它 其它 0 10 1y 概率论概率论 例例 已知 2 2 NX且 P 2 X 4 0 3 求 P X 0 解解 20 0 XP 2 1 2224 42 XP 0 2 3 0 8 0 2 2 0 0 XP 概率论概率论 例 将一枚硬币连续抛5次 假设5次中至少有一次国徽不 出现 试求国徽出现次数与不出现次数之比Y的概率分布 解 设X为五次抛掷中国徽出现的次数 则x为离散型 随机变量 X的可能取值为0 1 2 3 4 5 X服从 二项分布B 5 1 2 5 5 11 0 1 25 22 kkk P XkCk 5 5 X XY X 当不 为 时 Y可能的取值为0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 P YkPXkXk 5 5 5 1 2 1 1 5 1 2 k C P Xk P X 概率论概率论 例 利用一批同类型的仪器作试验 每相隔5s顺次接通一个 每个仪器在接通后16s开始工作 当对任意一个仪器获得满 意结果时立即结束试验 如果对每个仪器获得满意结果的 概率为p 试求获得满意结果而接通仪器的个数的概率分布 与至少要接通6个仪器才获得满意的结果 解 设随机变量X为获得满意结果而接通仪器的个数 X可能取值为 4 5 6 7 4 1 4 5 k P Xkppk 2 42 6 6 1 1 k k q P Xpppq q 概率论概率论 21 1 0 2 4 2 1 0 xx f xx ee Yg X x g xP XX x 例 已知随机变量的概率密度为 试求 1 随机变量的概率分布 其中函数 0 1 0 211 2 xx Y PYPX d x ee 解 是 离 散 型 随 机 变 量 1 1 1 1 2 P YP Y 概率论概率论 4 2 2 24 4 2 2 PX PXX PX fxd x fxd x 例 设点随机地落在以原点为中心 半径为